七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案)(最新整理)
七年级数学：相交线与平行线培优复习
例题精讲
例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3 的度数。
解：∵a∥b，l
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） 3
∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
4
∴∠1＝∠2 (等式性质) 2 b
则3x+70＝5x+22 解得x=24
即∠1＝142°
∴∠3＝180°-∠1＝38°图(1)
评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。
例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG 平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。
A B
解：∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） E F
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° C
D ∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）
则∠B+∠D=96°（等式性质）
∵∠B-∠D=24°（已知）图
(2)
∴∠B=60°（等式性质）
即∠BEF=60°（等量代换）
∵EG 平分∠BEF（已知）
1
∴∠GEF= 2 ∠BEF=30°（角平分线定义）
例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。
C D 解：过E 作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行公理）
B ∴∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）
∵∠DEB=∠DEF-∠BEF E
∴∠DEB =∠D-∠B=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。
图（3）
例 4．平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？
解：2 条直线产生 1 个交点，
第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；
第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个 交点； …
1
则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)= n(n-1)
2
评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考， 从中发现规律。
例 5．6 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？
解：6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条
直线，即能确定的直线为 15-2=13 条。 另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的 3 点最多有 3×3=9
条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条 1
评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)= n(n-1)
2
例 6．10 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；
3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段， 每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域； 同理：
4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域；
…
∴ 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域
推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+…+n=1+ 1 n(n+1)= 1
(n 2+n+2)块不同
2
2
的区域
思考：平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
巩固练习
1．平面上有 5 个点，其中仅有3 点在同一直线上，过每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条
A．6 B．7 C．8 D．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是（）
A．3 B．1 或3 C．1 或2 或3 D．不一定是1，2，3
3.平面上6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A．36 条B．33 条C．24 条D．21 条
4.已知平面中有n 个点A, B, C 三个点在一条直线上，A, D, F , E 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条不同的直线，这时n 等于（）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
5.若平行直线AB、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A．4 对B．8 对C．12 对D．16 对
6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=()
A．90°B．135°C．150°D．180°
A
E G 3 A 1
A B 1
C
F G C D B
C D
2 F 2 D
H F
第 5 题第 6 题
第7 题
7.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系；
8.平面上有5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还
有交点
A 9.平面上3 条直线最多可分平面为个部分。
C 10.如图，已知AB∥CD∥EF，PS GH 于P，∠FRG=110
E °，则∠PSQ＝。
11.已知A、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分
线与直线的交点个数是。
G
P B
Q D S
l F
R
第10题H
12.平面内有4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。
13.已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B A
D E
C
第13 题14.已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
B
E
G
C D
15.如图，已知CB⊥AB，CE 平分∠BCD，DE 平分∠CDA，
∠EDC+∠ECD =90°，
求证：DA⊥AB
第14 题A D
E
B
第 15 题
16.平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？
17.平面上5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？
18.一直线上5 点与直线外3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？
19.平面上有8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。
答案
1. 5 个点中任取2 点，可以作4+3+2+1＝10 条直线，在一直线上的3 个点中任取2 点，可
作2+1＝3 条，共可作10-3+1＝8（条）故选C
2.平面上3 条直线可能平行或重合。故选D
3.对于3 条共点的直线，每条直线上有4 个交点，截得3 条不重叠的线段，3 条直线共有9
条不重叠的线段
对于3 条不共点的直线，每条直线上有 5 个交点，截得4 条不重叠的线段，3 条直线共有12条不重叠的线段。
故共有21 条不重叠的线段。故选D
4.由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出n(n -1)
条直线，若A, B, C 三点不在一条2
直线上，可以画出 3 条直线，若A, D, E, F 四点不在一条直线上，可以画出6 条直线，
∴n(n -1)
- 3 - 6 + 2 = 38.
2
整理得n 2 -n - 90 = 0,(n - 10)(n + 90) = 0.
∵n+9＞0 ∴ n = 10, ∴选B。
5.直线EF、GH 分别“截”平行直线AB、CD，各得2 对同旁内角，共4 对；直线AB、CD 分别“截”相交直线EF、GH，各得6 对同旁内角，共12 对。因此图中共有同旁内角4+6＝16 对
A
E G 3 A 1
A B 1
F G C D C
C D
H F
第 5 题2
B E 2
第 6 题D
6.∵FD∥BE
∴∠2=∠AGF
∵∠AGC=∠1-∠3
∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180°∴选B7．解：∵AB∥CD （已知）∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 （已知）
∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）
即∠EAD=∠FDA
∴AE∥FD
∴∠E＝∠F
8.解：每两点可确定一条直线，这5 点最多可组成10 条直线，又每两条直线只有一个交
点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）
又因平面上这5 个点与其余4 个点均有4 条连线，这四条直线共有3+2+1＝6 个
交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30 个交点，所以有交点的个数
应为45-30＝15 个
9.可分7 个部分10．解∵AB∥CD∥EF
∴∠APQ＝∠DQG=∠FRG=110°同理∠PSQ=∠APS
∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ
=110°-90°=20°
11．0 个、1 个或无数个
G
A P B
C Q D
S
E l F
R
第10题H
1）若线段AB 的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；
2）若AB⊥L，但L 不是AB 的垂直平分线，则此时AB 的垂直平分线与L 是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0 个；
3）若AB 与L 不垂直，那么AB 的垂直平分线与直线L 一定相交，所以此时公共点的个数为1 个
12．4 条直线两两相交最多有1+2+3＝6 个交点
F A
13.证明：过E 作EF∥BA
∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）DE∥CB，
D E
EF∥BA
∴∠1=∠B（两个角的两边分别平行，这两个角相等）
C
∴∠1+∠2=∠B+∠A（等式性质）
即∠AED=∠A+∠B
14.证明：分别过点E、F、G 作AB 的平行线EH、PF、GQ，
A
则AB∥EH∥PF∥GQ（平行公理）B ∵AB∥EH E
∴∠ABE＝∠BEH（两直线平行，内错角相等）P F 同理：∠HEF＝∠EFP G
∠PFG＝∠FGQ
∠QGD＝∠GDC D ∴∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC＝∠BEH+∠HEF+
∠FGQ+∠QGD（等式性质）
即∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD
15.证明：∵DE 平分∠CDA CE 平分∠BCD∴∠EDC=∠
A ADE ∠ECD =∠BCE (角平分线定义)
∴∠CDA +∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE
=2（∠EDC+∠ECD）＝180° E
∴DA∥CB
又∵CB⊥AB
∴DA⊥AB
16.两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4 个交点，三条
直线最多有3 个不同的交点，即最多交点个数为：2+4×3+3=17
D 第 15 题
17．（1）2 个圆相交有交点2×1＝1 个，
第 3 个圆与前两个圆相交最多增加2×2＝4 个交点，这时共有交点2+2×2＝6 个
第4 个圆与前3 个圆相交最多增加2×3＝6 个交点，这时共有交点2+2×2+2×3＝12 个第5 个圆与前4 个圆相交最多增加2×4＝8 个交点
∴ 5 个圆两两相交最多交点个数为：2+2×2+2×3+2×4＝20
（2）2 个圆相交将平面分成 2 个区域
3个圆相看作第3 个圆与前2 个圆相交，最多有2×2＝4 个不同的交点，这4 个点将第3 个圆分成4 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×2＝4 块区域，这时平面共有区域：2+2×2＝6 块
4个圆相看作第4 个圆与前3 个圆相交，最多有2×3＝6 个不同的交点，这6 个点将第4 个圆分成6 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×3＝6 块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×3＝12 块
5个圆相看作第5 个圆与前4 个圆相交，最多有2×4＝8 个不同的交点，这8 个点将第5 个圆分成8 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×4＝8 块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×4＝20 块
18.∵ 直线上每一点与直线外3 点最多确定3×5=15 条直线；直线外3 点间最多能确定3
条直线，
∴ 最多能确定15+3+1=19 条直线
19.将这8 条直线平移到共点后，构成8 对互不重叠的对顶角，这8 个角的和为180°
假设这8 个角没有一个小于23°,则这8 个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不可能的.因此这8 个角中至少有一个小于23°,
∴在所有的交角中至少有一个角小于23°
20.平面上有10 条直线，若两两相交，最多可出现45 个交点，题目要求只出现31 个交点，就要减少14 个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5 条直线互相平行，则可减少10个交点；若有6 条直线互相平行，则可减少15 个交点；故在这个方向上最多可取5 条平行线，这时还有4 个交点需要减去，转一个方向取3 条平行线，即可减少3 个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2 条直线在第三个方向上互相平行即可。
如图这三组平行线即为所求。
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!