新编人教A高中数学选修2-1全册导学案

人教版高中数学选修2-1

全册导学案

1.1.1命题及其关系

1.1.2四种命题的关系

1.2.1充分条件

1.2.2充要条件

1.3.1逻辑联结词1

1.3.2简单的逻辑联结词2

1.4全称量词与存在量词

2.1.1曲线与方程(1)学案

2.1.2曲线与方程(2)学案

2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案

2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案

2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案

2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案

2.3.1双曲线及其标准方程学案

2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案

2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案

2.4.2抛物线的简单几何性质（1）

2.4.2抛物线的简单几何性质（2）

2.5曲线与与方程学案

第二章圆锥曲线与方程复习学案

3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.2 空间向量的数乘运算

3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1 空间向量及其运算

3.2 立体几何中的向量方法一

3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离

3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角

3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法

§1.1.1 命题及四种命题

一．自主学习

预习课本2—6页完成下列问题

1、命题：；

2、真命题：假命题：。

3、命题的数学形式：。

4、四种命题：。

（1）互逆命题：。（2）互否命题：。

（3）互为逆否命题：。

注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。

二、自主探究：

〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；

（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？

x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；

（5）215

（7）明天下雨；（8）312

〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。

（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。

〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：

（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。

课堂小结

三、巩固练习：

1、下列语句中是命题的是（）

A 、周期函数的和是周期函数吗？

B 、0sin 451=

C ．2210x x +->

D 、梯形是不是平面图形呢？

2、在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}

2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命

题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）

A 、都真

B 、都假

C 、否命题真

D 、逆否命题真 3、设,M N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（）

A 、如果M N ?，那么M N M ?=

B 、如果M N ?，那么M N M ?=

C 、如果M N ?，那么M N M ?=

D 、如果M N M ?=，那么M N ? 4、下列命题中为真命题的是

A 、命题“若x y >，则x y >”的逆命题

B 、命题“若1x >，则21x >”的逆命题

C 、命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题

D 、命题“若20x >，则1x >”的逆否命题

5、命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题

是。

6、命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是。

7、原命题：已知函数()f x 为R 上的增函数，,a b 均为实数，若0a b +≥ ，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-。

（1）判断原命题的真假，并证明；（2）写出它的逆命题，判断其真假，并证明。

§1.1.2 四种命题间的相互关系

一、自主学习

预习课本6—8页完成下列问题

1、四种命题间的相互关系：

2、反证法证题的步骤：

3、常见的反设：

二、自主探究：

〖例1〗：原命题：“若x y =,则22x y =”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

〖例2〗：判断下列命题的真假：

（1）命题“当1m <时，抛物线22y x x m =++与x 轴存在交点”的逆否命题。

（2）若x y ≠且x y ≠-，则22x y ≠。

〖例3〗：若,x y 都为正实数，且2x y +>。求证：

12x y +<和12y x +<中至少有一个成立。

课堂小结

三、巩固练习：

1、命题“,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是（）

A 、,a b 都不是奇数，则a b +是偶数

B 、a b +是偶数，,a b 都是奇数

C 、a b +不是偶数，,a b 都不是奇数

D 、a b +不是偶数，,a b 不都是奇数

2、用反证法证明命题：“,a b N ∈，ab 能被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”

时，假设的内容是（）

A 、,a b 都能被5整除

B 、,a b 都不能被5整除

C 、,a b 不都能被5整除

D 、a 不能被5整除，或b 不能被5整除

3、若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（）

A 、逆命题

B 、否命题

C 、逆否命题

D 、以上都不正确

4、设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情

况是（）

A 、原命题真，逆命题假

B 、原命题假，逆命题真

C 、原命题与逆命题均为真命题

D 、原命题与逆命题均为假命题

5“ABC ?中,若090C ∠=,则,A B ∠∠都是锐角”

为；

6、“若{}|1P x x =<，则0P ∈”的等价命题是；

7、分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。

8、已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少

有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。

§1.2.1 充分条件与必要条件

自主学习

预习课本9-10页，完成下列问题

1．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ?,并且说p 是q 的条件，q 是p 的条件。注意：所谓的“充分”，即要使q 成立，有p 成立就足够了；所谓的必“要”，即q 是p 成立的必不可少的条件，缺其不可。

2．若p q ?，但q p ?，则称p 是q 的条件，q 是p 的条件。注意：判断充分、必要条件的关键是分清谁是条件，谁是结论，若由条件p 推出结论q 成立，则条件p 是结论q 的充分条件；若由结论q 推出条件p 成立，则条件p 是结论q 的充分条件。思考:如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件概念?

自主探究：

〖例1〗下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）若5x >，则10x >

〖例2〗下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？

（1）若x y =，则22x y =；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若a b >，则ac bc >

〖例3〗不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2

A. a ≤-2

B.a ≥2

C.a<-2

D.a>2

变式：设非空集合 {}2135A x a x a =+≤≤-，{}

B x y ==

则A B ?的一个充分不必要条件是（）

A ．1≤a ≤9 B. 6

课堂小结:

巩固练习:

1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（）.

A.平行四边形对角线相等

B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分

D.四边形的对角线垂直

2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（）.

A.0x y +=

B.220x y +>

C.0x y -=

D.330x y +≠

3.平面//α平面β的一个充分条件是（）.

A.存在一条直线,//,//a a a αβ

B.存在一条直线,,//a a a αβ?

C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα??

D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα??

4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的条件.

5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的条件.

6. 判断下列命题的真假

（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；

（2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.

7. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .

(1)如果A B ?,那么p 是q 的什么条件?

(2)如果B A ?,那么p 是q 的什么条件?

§1.2.2 充要条件

自主学习：

预习课本11-12页，完成下列问题

1．一般地，如果既有p q ?，又有q p ?，就记作：p q ?, 这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的条件，简称条件。其中?叫做等价符号。p q p q q p ???表示且

2．传递性：若,,p q q r ??则。

思考：判断充要条件关系的主要方法有哪些？

自主探究：

【题型一】充要条件的判断

例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?

(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；

(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >

(3) p : a b > ， q :a c b c +>+

变式：下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?

（1）在△ABC 中，p :∠A>∠B,q :BC>A C ；

(2) p : a+b<0,且ab>0, q :a<0,b<0；

【题型二】充要条件的证明

已知A ，B 是直线L 上任意两点，O 是L 外一点。

求证：点在直线上的充要条件是,,op xOA yOB x y R =+∈其中，且x+y=1。

课堂小结：

巩固练习：

1. 下列命题为真命题的是（）.

A.a b >是22a b >的充分条件

B.||||a b >是22a b >的充要条件

C.21x =是1x =的充分条件

D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件

2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（）. A.132x -<< B.102x -<< C.132

x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.

(1).3x >是5x >的

(2).3x =是2230x x --=的

( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的

6 .求证：ABC ?是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，

这里,,a b c 是ABC ?的三边.

§1.3.1简单的逻辑联结词

自主学习

预习课本14-18页，完成下列问题

Ⅰ“且”或”“非”逻辑联结词的含义：

1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”

2.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”.

3.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ” 或“ ”.

注意（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，含逻辑联结词的命题叫复合命题。

（2）命题p q ∧、p q ∨、p ?与集合的交、并、补运算联系密切，可以借助集合的关

系理解他们的含义。

Ⅱ 命题p q ∧、p q ∨、p ?的真假判断：

自主探究

【题型一】用逻辑联结词构成新命题

例1．分别写出有下列各组命题构成的p q ∧、p q ∨、p ?形式的复合命题：

（1）p : 是无理数 q 大于1 （2）p : N Z ? q :0N ∈

（3）p : 21x +>x-4 q :21x +

【题型二】判断复合命题的构成

例2．指出下列命题的形式及构成它的简单命题：

（1）方程2

30x -=没有有理根；

（2）两个角是45度的三角形是等腰直角三角形；

（3）如果xy<0,则点（x,y ）的位置在第二、四象限。

课堂小结

巩固练习

1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.命题P ：在ABC ?中，C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件；命题q ：a b >是22ac bc >的充分不必要条件，则（）.

A.p 真q 假

B.p 假q 假

C.“p 或q ”为假

D.“p 且q ”为真

3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60?；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

4.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是，真命题是 .

5. 已知p ：2||6x x -≥，q ：,,x Z p q q ∈∧?都是假命题，则x 的值组成的集合为

6. 写出下列命题，并判断他们的真假：

（1）p q ∨，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈；（2）p q ∧，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈；

(3) p q ∨，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数

(4) p q ∧，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数.

7.判断下列命题的真假：

（1）52>且73> （2）78≥ （3）34>或34<

§1.3.2简单的逻辑联结词

自主学习

预习课本14-18页，完成下列问题

1.若p q ∧为真，则p,q 必为；若p q ∧为假，则p,q 必有一个为

2.若p q ∨为真，则p,q 必有一个为；若p q ∨为假，则p,q 必为

3.p ?形式的命题与命题p 的真假 .

思考：p ?形式的命题叫命题的否定，注意将其与否命题进行区别

自主探究

【题型一】由复合命题的真假判定简单命题的真假

例1．若p q ∨为假命题，则（）

A.命题p ?与q ?的真值不同

B. 命题p ?与q ?至少有一个假命题

C. 命题p ?与q ?的真值相同

D. 命题p ?与q ?都是真命题

【题型二】两命题之间的关系

例2．设p ：2()21f x x mx =++在(0,)+∞内单调递增，q ：43

m ≥，则p ?是q ?的（） A ．充分不必要 B 。必要不充分 C 。充分必要Ｄ。既不充的分也不必要

【题型三】利用命题的真假求参数的取值范围

例3．已知命题:210p x -≤≤，22

:210q x x a -+-≥（a>0），若p ?是q 充分不必要条

件，求a 的取值范围.

课堂小结

巩固练习

1．如果p q ∨为真，p ?为假命题，那么（）

A ．p 真q 假

B 。p 真q 真

C 。p 假q 真

D 。p 真q 可真可假

2．已知条件:32p x -≤≤，条件2

:56q x x ->，则ｐ是q ?的（）

A ．充分不必要

B 。必要不充分

C 。充分必要Ｄ。既不充分也不必要

3．设p,q 是两个命题，则复合命题p q ∨为真，p q ∧为假的充要条件是( )

A. p,q 中至少有一个真

B. p,q 中至少有一个假

C. p,q 中有且只有一个是真

D. p 真，q 假

4．若命p,q 中至少有一个真题()p q ?∨为假命题，则（）

A. p,q 均为真

B. p,q 均为假

C. p,q 中至少有一个真 D p,q 中至多有一个真 .

5. 如果p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件；那么（）.

A.p r ???

B.p r ???

C.p r ???

D.p r ?

6．命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题q ：方程244(2)10x m x +++= 无实数根，若p q ∨为真命题，求m 的取值范围.

§1.4 全称量词与存在量词

自主学习

预习课本21-25页，完成下列问题

1. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符

“ 表示，含有的命题，叫做全称命题.其基本形式为：

,()x M p x ?∈，读作：

2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用

“ 表示，含有的命题，叫做特称称命题.

其基本形式 00,()x M p x ?∈，读作：

3. 一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：

全称命题p ：,()x p p x ?∈，它的否定p ?：

4. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：

特称命题p ：00,()x M p x ?∈，它的否定p ?：。

思考：如何对含有一个量词的命题进行否定？

自主探究

【题型一】全称命题、特称命题的判断

例1．判断下列命题是不是全称命题或者存在命题

（1）对数函数都是单调函数（2）有一个实数0x ，使200230x x ++=

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）存在两个相交垂直于同一条直线

变式：判断下列命题的真假：

（1）2(5,8),()420x f x x x ?∈=--> （2）2,32a Z a a ?∈=-

【题型二】全称命题、特称命题的否定及真假判断

例2．写出下列全称命题、特称命题的否定，并判断真假

(1) p ：21,04

x R x x ?∈-+≥ （2) p ：所有的正方形都是矩形 (3) p ：2,220x R x x ?∈++≤； (4) p ：至少有一个实数x ，使310x +=

【题型三】利用命题的真假性解决问题

例3．若2

():sin cos ,():10r x x x m s x x mx +>++>,如果对于x R ?∈，

()r x 为假命题，且,()x R s x ?∈为真命题，求实数m 的取值范围.

课堂小结

巩固练习

1. 下列命题为特称命题的是（）.

A.偶函数的图像关于y 轴对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.不相交的两条直线都是平行线

D.存在实数大于等于3

2.下列命题中假命题的个数（）.

(1)2,11x R x ?∈+≥；（2）,213x R x ?∈+=；

（3）,x Z ?∈x 能被2和3整除；（4）2,230x R x x ?∈++=

A.0个

B.1个

C.2个

D.4个

3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（）.

A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤

B. 存在32,10x R x x ∈-+≤

C. 存在32,10x R x x ∈-+>

D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>

4.下列命题中

（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形

三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是特称命题是 .

5. 用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题.

(1)实数的平方大于等于0：（2）存在一对实数使2330x y ++<成立：

6. 平行四边形对边相等的否定是

7. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是。

8．把下列命题写成含有量词的命题：

（1）余弦定理；（2）正弦定理.

§2.1.1 曲线与方程（1）

1．理解曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程．

3436，找出疑惑之处）

复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

问题：能否写成y x =，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，

如果具有以下两个关系：

1．曲线C 上的点的坐标，都是的解；

2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是

的点，

那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；

曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．

注意：1? 如果……，那么……；

2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；

4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．

试试：

1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．

2．曲线220

+-=上有点(1,2)

x xy by

Q，则b= ．

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※典型例题

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)

=±．

k k>的点的轨迹方程式是xy k

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50

y-=吗？

例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)

--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)

C．中线AO（O为

B-，(2,0)

A，(2,0)

原点）所在直线的方程是0

x=吗？为什么？

反思：BC边的中线的方程是0

x=吗？

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用(,)

M x y表示曲线上的任意一点的坐标；

②写出适合条件P的点M的集合{|()}

=；

P M p M

③用坐标表示条件P，列出方程(,)0

f x y=；

④将方程(,)0

f x y=化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

※ 动手试试

练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x

-=- (3) log a

x y a =

练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

三、总结提升

※ 学习小结

1．曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程的步骤：

①建系，设点；

②写出点的集合；

③列出方程；

④化简方程；

⑤验证．

※ 知识拓展

求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．

※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（）．

A ．2

x y x

= B ．y =

C ．y =

D ．2log 2x y =

2．直角坐标系中，已知两点(3,1)

A，(1,3)

B-，若点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为( ) ．

A．射线B．直线C．圆D．线段

3．(1,0)

A，(0,1)

B，线段AB的方程是（）．

A．10

x y

-+=B．10

x y

-+=(01)

≤≤

C．10

x y

+-=D．10

x y

-+=(01)

≤≤

4．已知方程222

ax by

+=的曲线经过点

(0,)

A和点(1,1)

B，则a= ，b= ．

5．已知两定点(1,0)

A-，(2,0)

B，动点p满足

=，则点p的轨迹方程

是．

1．点(1,2)

A-，(2,3)

B-，(3,10)

C是否在方程

2210

x xy y

-++=表示的曲线上？为什么？

2 求和点(0,0)

O，(,0)

A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．