复变函数与积分变换(练习题) (答案)
复变函数与积分变换
第一章 练习题
1． 计算
(1)(2)
i i i --；
解：（1）
10
3)
31)(31()31(312
3)
2)(1(2
i i i i i i
i i i i i i i +-=
+-+=
-=
+-=
--；
（2）10
310
)
2)(1()
2)(2(1)1)(1()2)(1()
2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=
---=
----------=
--。
2． 解方程组1212
2(1)43z z i i z iz i -=??++=-?；
解：消元法，)2()1(+?i 得：i z i 33)31(1-=+，
解得：5
63)
31)(31()31)(33(31331i i i i i i
i z --=
-+--=
+-=
，
代入)1(得：5
1765
6322i
i i z --=
---?
=。
3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值；
解：]arg arctan arctan
,arctan arg ππππ，（，，三
，二一，四
-∈???
?
?
????
-+=z x y x y x
y z ， ??
?
???-+-=
--)43s i n ()43c o s (21ππi i ；
[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=
+-ππi i 。
4
．用复数的三角表示计算3
12??
- ? ???
、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(2313
3
-=-+-=??? ??
-+-=???
?
??-ππππi i i ； 3,2,1,0,424
3s i n 4243c o s 2)43s i n
43(c o s 2283
4
1
=????
?
?
?
?
+++=??
???
?
+k k i k i ππππππ，
??? ??+=163sin 163cos 28
30ππi z ，??
? ??
+=1611sin 1611cos 283
1ππi z ，
??? ??+=1619sin 1619cos 2832ππi z ，??? ?
?+=1627sin 1627cos 283
3ππi z 。 5．解方程310z +=； ππs i n c o s 13i z +=-=，
()2,1,0,3
2sin
3
2cos
sin cos 3
1
=+++=+=k k i k i z π
ππ
ππ
π，
,2
32
10i z +
=
,11-=z i z 2
32
12-
=
。
6．用复数形式的参数方程表示连接1i +与14i --的直线段； 解：10,z z ：10,)(010≤≤-+=t t z z z z ， 10,)52(1≤≤--++=t t i i z 。 7．证明：2
2
2
12
1
2
122Re()z z z z z z -=+-。
证明：z z z =2
， 21212
2
21212121212
2
1))(()()(z z z z z z z z z z z z z z z z --+=--=--=-，
)R e (2212
22
121212
22
1z z z z z z z z z z -+=--+=。
第二章 解析函数
1．(34)Ln i -+=（ ），主值为（ ）； 解： ,2,1,0),2(arg ln ln ±±=++=+=k k z i z iArgz z Lnz π， ,2,1,0),234arctan
(5ln )43(±±=+-+=+-k k i i Ln ππ，
)3
4a r c t a n (5ln )43ln(-+=+-πi i 。
2．当a =（ ）时，2
2
()ln()arctan
y f z a x y i x
=++在区域0x >内解析；
解：C-R 方程x
v
y u y v x
u ??-
=????=
??,，
x
y
v y x a u a r c t a n ),ln(22=+=，
2
2
2
22
2
111,
2y
x x x
x
y y
v y
x x a
x
u +=
?
+
=
??+=??，
得到2
1=
a 。
3．函数()2arg(3)f z z =-在复平面除去实轴上一区间（ ]3,(-∞ ）外是解析的； 4．函数Im R e w z z z =-在其可导处的导数为（ ）； 解：2)(,iy x xy x y iy x w iy x z +-=-+=+=，
2
,y v x xy u =-=，C-R 方程：
y y
v x
v x y
u y x
u 2,
0,
,
1=??=??=??-=??，
可导点i z -=， 2)(-=??+??=
-'-=-=i
z i
z x
v i
x
u i f 。
5．计算3i e π+、(23)Ln i -+
、、1i 的值；
3333)s i n (c o s e i e e e e i i -=+=?=+ππππ；
,2,1,0),22
3arctan
(13ln
)32(±±=+-+=+-k k i i Ln ππ，
,2,1,0,1
22)
21(ln 21
22
±±====+k e
e e
i
k k i Ln ππ，
,2,1,0,12)
21(ln 1
±±====-+k e
e
e k k i i iLn i
π
π。
6．问函数23
()2f z x y i =+在何处可导？何处解析？并求(3)f i '+，(32)f i '+；
解：C-R 方程 3
22,y v x u ==，
2
6,
0,
0,
2y y
v x
v y
u x x
u =??=??=??=??，
2
3y x =?处可导，(3)f i '+6=，(32)f i '+不存在，
处处不解析。
7．1212ln()ln ln z z z z =+是否正确？若不正确，举例说明； 错误， 1212ln()ln ln z z z z =+，2121arg arg )arg(z z z z +=，
2121)(L n z L n z z z Ln +=，2121)(Argz Argz z z Arg +=， L n z L n z L n z L n z 22≠+=，0≠-=Lnz Lnz z
z Ln
，Lnz n
z Ln n
1≠
。
8．已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u iv =+，并单独用z 的形式表示；
解：C-R 方程：
2
233,
6x y x
v y
u xy y
v x
u -=??-
=??-=??=??， ),(3)1(2y y x u ?+-=?
2
2233)(3x y y x y
u -='+-=???
?，得到：c y y y y +=='3
2)(,3)(??
,332c y y x u ++-=?
()()c iz x xy i c y y x z f +=+-+++-=?3323233)(。
9．如果函数()f z u iv =+在区域D 内解析，并且满足条件892003u v +=，试证()f z 在D 必为常数。
解：方程892003u v +=两边对y x ,求偏导数得：
098=??+??x
v x
u ，09
8
=??+??y
v y
u ，
C-R 方程：
x v y u y v x
u ??-=????=
??,，解得：0=??=??=??=??x
v
y u y v x u ，()f z 在D 必
为常数。
第三章 复变函数的积分
1．2
||1
22
z dz z z ==++?
（ 0 ）；2
|1c o s ()
z z
dz z π=
=-?
（ 0 ）
； 2、计算积分2
(2)C
iz dz +?，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段；
解：(1,0)A ，(0,1)B 的直线段的复数形式的参数方程为：10,)1(1≤≤-+=t t i z
2
(2)C
iz dz +?
dt i t i i )1()])1(1(2[2
1
--++=
?
3．计算积分（1）22
z
C
e
dz z z
+?
，:||2C z =；
（2）2
|2|1
cos z i z dz
z
-=?
；
解：（1）:||2C z =内有奇点1,021-==z z ，
22
z
C
e
dz z z
+?
?
?
++
+=
2
1
2
22
2C z
C z
dz z
z e
dz z
z e
?
?
++
+=
2
1
1
122C z
C z
dz z z e
dz z
z e
1
20
2212-==++=z z
z z
z
e
i
z e
i
ππ
)1(22--=e i π；
（2）12=-i z 内没有奇点
2
|2|1
cos z i z dz z
-=?
0=
4．计算(21)(2)
C
zdz I z z =
+-?
，其中C 是
(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; （3）1|1|2
z -=
； （4）||3z =
解：（1）(21)(2)
C
zdz I z z =
+-?
5
22212
122
12
11
i z z
i dz z z z
z z ππ=
-??=+
-=
-
==?
；
（2）(21)(2)
C
zdz I z z =
+-?
5
41
222122
1
2i z z
i dz z z z
z z ππ=
+?=-+=
==-?
；
（3）)(z f 在1|1|2
z -=内处处解析，故(21)(2)
C
zdz I z z =
+-?
0=；
（4）(21)(2)
C
zdz I z z =+-?
i i i dz z z z
dz z z z
z z πππ=+
=
-++
-+=
?
?
=-=5
45
)
2)(12()
2)(12(1
21
。
5、计算积分3
(1)z
C
e
dz z z -? ，其中C 是不经过0与1的简单光滑闭曲线．
解：（1）3
(1)
z
C
e
dz z z -?
;0=
（2）3
(1)
z
C
e
dz z z -?
;2)
1(2)
1(0
33
2
i z e
i
dz z
z e
z z
C z
ππ=-=-=
=?
（3）3
(1)
z
C
e
dz z z -?
;!22)1(2
1
3
3
i e z
e i dz z z e
z z
C z
ππ-="
???
?
??-=--==?
（4）3
(1)
z
C
e
dz z z -? i e dz z z e
dz z
z e
C z
C z
π)2()
1()1(23
3
3
2
-=-+
-=
?
?
。
第四章 解析函数的级数表示
1．
3
11z
+的幂级数展开式为（
∑∞
=-0
3
)(n n
z
）
，收敛域为（ 1 1()(1) f z z = +展开成z 的幂级数，有()f z =（ ）； 2 1()(1) f z z = +∑∑∞ =-∞=--='?? ? ??--='??? ??+-=11 0)1()(11n n n n n nz z z 3． 下列幂级数的收敛半径（1）2 1 n n z n ∞ =∑ ；（2）0 ! n n z n ∞ =∑ ；（3）0 !n n n z ∞ =∑； 解：（1）2 12 )1(1,1+= = +n u n u n n ，1lim 1=+∞ →n n n u u ，收敛半径为1； （2）)! 1(1,! 11+= =+n u n u n n ，01 1lim lim 1=+=∞ →+∞ →n u u n n n n ，收敛半径为∞+； （3）)!1(,!1+==+n u n u n n ，+∞=+=∞ →+∞ →)1(lim lim 1n u u n n n n ，收敛半径为0。 4． 判断下列级数的敛散性（1）1 n n i n ∞ =∑ ；（2）1 (35)! n n i n ∞ =+∑ ；（3）1 15( )2 n n i ∞ =+∑； 解：（1）1n n i n ∞ =∑ i )5 13 11()6 14 12 1( ++- ++- + - = ∑∑ ∞ =-∞ =--+-= 1 1 1 1 21) 1(21) 1(n n n n n i n 条件收敛； （2）( ) ∑ ∞ =1 ! 34n n n ，( ) ( ) 101 34lim ! 34)! 1(34 lim 1 <=+=+∞ →+∞ →n n n n n n n ，绝对收敛； （3）∞→??? ? ?? n 226，故115()2n n i ∞ =+∑发散。 5． 把1 ()32f z z = -分别在0z =和2z =展开为泰勒级数； 解：（1）3 2 1 ()32f z z =-∑∑∞ =+∞=-=??? ???-=-?-=010******* 31121 n n n n n n z z z ； （2）3 42<-z 展开成泰勒级数， 1 ()32f z z =-∑∑∞ =+∞ =--= ??? ??--=-+ ?=+-=0 1 0)2(4 3) 1(4)2(341 4 )2(311414)2(31n n n n n n n z z z z 。 6． 将函数 2 1()1f z z = +分别在圆环域0||2z i <+<和2||z i <+<∞内展开成洛朗级数； 解：（1）0||2z i <+<内 2 1()1f z z =+i i z i z i z i z 2)(1 11 1-++= -+= ()∑∑∞ =-+∞=+? ?? ??-=??? ??+?+?-=+-?-?+=011 021********* 1n n n n n i z i i i z i z i i i z i i z ； （2）2||z i <+<∞，2 1()1f z z = +i i z i z i z i z 2)(1 11 1-++= -+= () ∑∑∞ =+-∞ =+=?? ? ??+?+=+- ?+? += ) 2(02 ) (22)(1 2111 1 n n n n n i z i i z i i z i z i i z i z 7．将2 (1)()(1) z f z z z +=-分别在圆环域（1）0||1z <<；（2）1||z <<+∞内展开为洛朗级数。 第五章 留数及其应用 1．0z =分别是 1sin z z -、 3 1z e z -的几阶极点； 解： -+-= --+ - =-! 5!3111)!5! 3(1sin 12 3 5 3 z z z z z z z z ，三阶极点； 3 3 1s i n z z z z ? -三阶极点； 31z e z -2 11z z e z ? -= ，二阶极点。 2．留数34Re [ ,2](1)(2) z s z z z -+=--( 1) 2)(1(43)2(lim 2 -=--+-? -→z z z z z z )． 3．计算积分2 1||(1) z z z e dz z π +=+? ； 解：2 1||(1) z z z e dz z π +=+? i e z z s i z ππ2]1,1 [ Re 212 =-+=+。 4． 计算积分||2 52(1) z z dz z z =--? 、1 3||1 2cos ()() z i z dz e e z i --=+-? 、55 ||2 1 (3)(1) z dz z z = --? ； 解：||2 52(1) z z dz z z =--? i z z z s i z z z s i πππ10]1,) 1(25[ Re 2]0,) 1(25[ Re 2=--+--=； 1 3 ||1 2cos ()() z i z dz e e z i --=+-? " ?? ????--+= -+= →--33 1 3 1 )(cos )(!21lim 4],) (cos [ Re 22i z z i z e e i i i z z s i e e i z ππ i e e e e i i e e i πππ-=++- ==+- =---2 2cos 21 1 1 1 （3）55 ||2 1 (3)(1) z dz z z = --? ∑==5 1 ]),([Re 2i i z z f s i π ]),([Re 2]3),([Re 2∞--=z f s i z f s i ππ ]0,1 )1([Re 2]3),([Re 22z z f s i z f s i ππ+-= 5．用留数计算积分||2 52(1)z z dz z z =--? ； 6．（1）若4 1 ()(1)(4) f z z z z =+-，计算Re [(),]s f z ∞的值；（2）用留数方法计算 积分2 (1) z C e dz z z -? ，其中C 为正向圆周2z =． 第八章 傅里叶变换 1． 求函数1, 10()1, 010,1 t t f t t t t ?+-< =-<? 的傅立叶变换的频谱函数（其中E 为常数）及振幅 频谱． 解：令? +∞ ∞ --= =dt e t f t f F w F jwt )()]([)( ? ? ----+ += 1 1 )1()1(dt e t dt e t jwt jwt ( )( )? ? '--+ '+-= ---1 1 )1(1)1(1dt e t jw dt e t jw jwt jwt ?? ?? ??'-- --+???? ??'+- +-= ? ? ------1 10 1 01 )1()1(1)1()1(1dt e t e t jw dt e t e t jw jwt jwt jwt jwt ?? ?? ?? +--+???? ?? - -=? ? ---1 1 1111dt e jw dt e jw jwt jwt ?? ??? ?--= ? ?---0 1 101dt e dt e jw jwt jwt () () ?? ? ? ??-- --= ---0 110 111jwt jwt e jw e jw jw []jw jw e e w +---= -1112 ?? ????-+-=-1222jw jw e e w )cos 1(22 w w -= ，)cos 1(2)(2 w w w F -= 。 2．设傅氏变换[()]()F f t F ω=，证明象函数的微分性质： ()[()]d F F jtf t d ωω =-． 第九章 拉普拉斯变换 1．用拉普拉斯变换解常微分方程43t x x x e -'''++=，(0)(0)1x x '==的特解． 2．用拉氏变换解微分方程(3) 336t y y y y e -'''+++=，(0)(0)(0)0y y y '''===． 1、解：令)()]([s X t x L =，方程43t x x x e -'''++=两边拉氏变换得： 1 1)(3)0(4)(4)0()0()(2 += +-+'--s s X x s sX x sx s X s ， （1） 代入初始条件(0)(0)1x x '==到（1）式得： 1 1)(34)(41)(2 += +-+--s s X s sX s s X s ， （2） 解得：2 2 2 2 ) 1(21 147 343 ) 3()1(663 45 11 )(+++++-= ++++= +++++=s s s s s s s s s s s s X ?? ????++??????++?????? +- ==?----21111 )1(12111473143 )]([)(s L s L s L s X L t x ? ? ???? ++ + - =---213)1(121 4 74 3s L e e t t 1、拉氏变换定义：])()([)()]([)(0 t st e t u t f F dt e t f t f L s F β-+∞ -== =? ； 2、 s L 1]1[= ，a s e L at -= 1][，2 2 ][cos ω ω+= s s t L ，2 2 ][sin ω ω ω+= s t L ， 1 1 !)1(][++= +Γ=m m m s m s m t L ； 3、 性质：令)()]([s F t f L =，)()]([s G t g L = ① 线性性质：)()()]([)]([)]()([s G s F t g L t f L t g t f L βαβαβα±=±=± )()()]([)]([)]()([111t g t f s G L s F L s G s F L βαβαβα±=±=±--- ② 微分性质：)0()0()0()()]([)1(21)(-----'--=n n n n n f f s f s s F s t f L ——导数的像函数 )]([)(t tf L s F -='——像函数的导数 ③ 积分性质：)(1])([0s F s dt t f L t = ?——积分的像函数 ])([ )(t t f L d s s F s =? ∞ ——像函数的积分 ④延迟性质：)()]([s F e t f L s ττ-=- ⑤位移性质：)()]([a s F t f e L at -= ⑥卷积性质：)()()](*)([2121s F s F t f t f L ?= 4、 应用 解微分方程（组） 傅立叶变换 一、傅立叶级数：]2 ,2[T T - ，满足狄利克莱条件 1、三角形式：∑∞ =++ = 1 000)sin cos (2 )(n n n T t nw b t nw a a t f ， ? -= 22 0)(2T T T dt t f T a ，? -= 22 0cos )(2T T T n tdt nw t f T a ，? -= 22 0sin )(2T T T n tdt nw t f T b 2、复指数形式：∑ ∞ -∞ == n t jnw n T e c t f 0)(，)()(1022 0nw F dt e t f T c T T t jnw n == ? -- 二、 傅立叶积分公式：??+∞ ∞-+∞∞--????? ??= dw e dt e t f t f jwt jwt )(21 )(π 1、（连续型）傅立叶变换：? +∞ ∞ --==dt e t f t f F w F jwt )()]([)( 2、（连续型）傅立叶逆变换：? +∞ ∞ -=dw e w F t f jwt )(21)(π 三、 1 习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解： 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是 （ ） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i 2．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于 （ ） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232= -+i z 所代表的曲线是 （ ） A ．中心为i 32-，半径为2的圆周 B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为 （ ） A ． 2 B ．i 31+ C ．i -3 D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即非充分也非必要条件 6．设2 2)(y i x z f ?+=，则=+')1(i f （ ） A ． 2 B ．2 i C ．1 + i D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则 ()dz z z c ?-2 1cos （ ） A ．1sin - B ．sin1 C ．1sin 2i ?-π D ．1sin 2i ?π 8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=? zdz c arg （ ） A ． 4π B ．4πi C ．4 π (1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑ ∞ =+-1 n 22z )1n (n )2(在点z=41 处 （ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．不绝对收敛 10．幂级数n n z n ??? ??∑∞ =22sin 1 π的收敛半径R = （ ） 得分 评卷人 复查人 海南大学2015-2016学年度第1学期试卷 科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷) 学院： 专业班级： 姓名： 学 号： 成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 阅卷教师： 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试。 一、 判断题(每题1分，共5分) （说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。） （ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。 （ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。 （ ）3、如果 ，则z =0。 （ ）4、z =0是 的一级极点。 （ ）5、如果 在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。 二、 填空题(每题3分，共15分) 1、 。 2、设f(z)=z cos z ，则 。 )('z f =)0()2016(f 0=z e =?dz z z 2 0sin )1 sin()(z z f = 3、 的收敛半径= 。 4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。 5、 。 三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。） 1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 2、求 3、求).31(i Ln - 4、求函数?????≥<≤<≤=.3, 0,31, 2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分） 1、计算积分 dz z z z z C ?++-) 4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算 其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分） 3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。 (10分) 4、设函数 (1)把函数 f(z) 在 内展开成洛朗级数。 （10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数， =?+∞∞ dt )(-t δn n n z i ∑∞ =+0)43(.522 i i i -+. )33(31i ++∞<<||1z . )(3||dz z f z ?=,1 )/1sin()(-=z z z z f ).()()(4 4 t f t y t y dt d =+?+-C dz z z z ，) 1()1(34 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示 2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ） ；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 命题方式：独立命题 佛山科学技术学院2010—2011学年第1学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试题A答案 专业、班级：机械工程与自动化1、2、3班姓名：学号： 题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分 1)题目一：下面正确的是（ ）B A B C D 1122122212||||z z z z z z z z =+1122||||||z z z z =112221||||z z z i z z z =+111||z i z =+2)题目二：函数的可导性为（ C ）2()||f z z =A 处处可导 B 处处不可导 C 在z=0处可导 D 无法确定3)题目三：如果在区域D 内，则F (z )是f (z )的（A ）。'()()F z f z =A 原函数 B 反函数 C 像函数 D 原像函数4)题目四：设在简单正向曲线C 及其所围的区域D 内出处解析且,()f z 0z D ∈那么与积分相关的概念是：（B ）01()2c f z dz i z z π-?A 留数 B 柯西公式 C 线积分 D 泰勒级数5)题目五：是级数的：（ 01()()n n n S z c z z ∞==-∑000()...()...k c k c c z z c z z +-++-+C ）A 和 B 部分函数 C 和函数 D 调和函数6)题目六：0是的：(C) sin z z -A 孤立奇点 B 本性奇点 C 零点 D 原点7)题目七：级数：（C ）0 cos 2n n in ∞=∑A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 既不收敛又不发散、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数综合测试题（二） 一、填空题 1、设b a z a z =++?||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。 2、设6 cos 6 sin π π i z ??=，则z 的三角表示式为__________________。 3、若函数()f z 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。 4、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=∫dz z f C 。 5、若z 0是()f z 的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 6、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为__________。7、函数)6(sin 6)(633?+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。8、设a 为函数) () ()(z z z f ψ?= 的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠′=≠a a a ψψ?，则_________ __________)(Re ==z f s a z 9、设1 ()sin f z z = ，则)(z f 的定义域为__________。10、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则A z f z z =→)(lim 0 的充要条件是___________________________。二、选择题 1、函数()f z z =在z 平面上（） A．不连续B．连续且可导C．连续但处处不可导D．以上答案都不对 2、下列点集哪些是区域（） A．Im Re(1) z i >+B．0arg 4 z π <≤ C．1Im 2 z < 复变函数与积分变换重 要知识点归纳 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-复变函数与积分变换习题答案
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