基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
基本不等式及其应用
1．基本不等式 若a>0,，b>0，则
a ＋
b 2
≥ab ，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式
(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．
2
a b
+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和
2
b
a +≥a
b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2
b a +）2
.
(3)ab≤
2
2
?
?
?
?
?+b
a
(a，b∈R)．
(4)
b
a
＋
a
b
≥2(a，b同号且不为0)．
(5)
2
2
?
?
?
?
?+b
a
≤
a2＋b2
2
(a，b∈R).
（6）
b
a
ab
b
a
b
a
1
1
2
2
2
2
2
+
≥
≥
+
≥
+()0
,>
b
a
(7)abc≤
a3＋b3＋c3
3
;()
,,0
a b c>
(8)
a＋b＋c
3
≥
3
abc；()
,,0
a b c>
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥.
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.
设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( )
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，
当且仅当a＝b＝3
2
时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，
则ab的最大值为( )
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1
2
.当且仅当a
＝1，b＝1
2
时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
＜v＜ab＝ab
＜v＜a＋b
2
＝
a＋b
2
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝
2s
s
a
＋
s
b
＝
2ab
a＋b
＜
2ab
2ab
＝ab.
又v－a＝2ab
a＋b
－a＝
ab－a2
a＋b
＞
a2－a2
a＋b
＝0，∴v＞a.故选A.
(2014·上海)若实数x，y满足xy
＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.
解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x
2≥22，当且仅当x ＝±4
2时等号成立.故
填22.
点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第
一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.
解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1， 所以mn ≤?
????m ＋n 22＝1
4， 当且仅当m ＝n ＝1
2
时取等号，
∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 21
4＝－2，故填－2.
类型一利用基本不等式求最值
(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）
x＋1
(x＞－1)的值域.
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）
m
＝m＋4
m
＋5≥2m·
4
m
＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故y min＝9.
又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
(2)下列不等式一定成立的是( )
>lg x(x>0) ＋
1
sin x
≥2(x≠kπ，k∈Z)
＋1≥2||x(x∈R) >1(x∈R)
解：A中，x2＋1
4
≥x(x＞0)，当x＝
1
2
时，x2＋
1
4
＝x.
B中，sin x＋
1
sin x
≥2(sin x∈(0，1])；
sin x＋
1
sin x
≤－2(sin x∈[－1，0)).
C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).
D中，
1
x2＋1
∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.
点拨：
这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋c
x＋d
的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以
将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋
e
x＋d
＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用
单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1
t
的最小值为.
解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1
t
＝t＋
1
t
－4≥－2，
当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值.
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得8
x
＋
2
y
＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝8
x
＋
2
y
≥2
8
x
·
2
y
＝
8
xy
，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝
8y
y－2
，∵x＞0，∴y＞2，
则x＋y＝y＋
8y
y－2
＝(y－2)＋
16
y－2
＋10≥18，
当且仅当y －2＝
16
y －2
，即y ＝6，x ＝12时等号成立. 解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
则x ＋y ＝? ????
8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2
2x
y
·
8y
x
＝18，当且仅当y
＝6，x ＝12时等号成立.
类型二 利用基本不等式求有关参数范围
若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4
＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )
∈M ，0∈M ?M ，0?M ∈M ，0?M ?M ，0∈M
解法一：求出不等式的解集：(1＋k 2
)x ≤k 4
＋4?x ≤k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)＋5
k 2＋1
－
2?x ≤?
?????（k 2
＋1）＋5k 2＋1－2min ＝25－2(当且仅当k 2＝5－1时取等号). 解法二(代入法)：将x ＝2，x ＝0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R .
故选A. 点拨：
一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：
(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；
(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.
已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e 是自然对数的底数.若关于x的不等式
mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.
解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.
令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－
t－1
t2－t＋1
＝－
1
t－1＋
1
t－1
＋1
对任意t
＞1成立.
∵t－1＋
1
t－1
＋1≥2（t－1）·
1
t－1
＋1＝3，
∴－
1
t－1＋1
t－1＋1
≥－
1
3
，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立.
故实数m 的取值范围是? ?
???－∞，－13.
类型三 利用基本不等式解决实际问题
围建一个面积为360 m 2的矩形场
地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝360 x
，
所以y＝225x＋3602
x
－360(x≥2).
(2)∵x≥0，∴225x＋3602
x
≥2225×3602＝10800，
∴y＝225x＋3602
x
－360≥10440，
当且仅当225x＝3602
x
，即x＝24时等号成立.
答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).
解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y＝k
ab
，其中k是比例系数且k＞0.
依题意要使y最小，只需ab最大.
由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，
即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).
∵a＋2b≥22ab，
∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.
解法二：同解法一得b≤30－a
a＋2
，代入y＝
k
ab
求解.
1.若a ＞1，则a ＋1
a －1的最小值是( )
解：∵a ＞1，∴a ＋
1a －1＝a －1＋1a －1
＋1≥2（a －1）·
1
a －1
＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.
2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( ) ＜1＜
a 2＋
b 2
2
＜1≤
a 2＋
b 2
2
＜ab ＜
a 2＋
b 2
2
≤
a 2＋
b 2
2
≤1
解：运用不等式ab ≤?
????a ＋b 22
?ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)?2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜
a 2＋
b 2
2
，故选A.
3.函数f (x )＝5－4x ＋x 2
2－x 在(－∞，2)上的最小值是( )
解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝1
2－x
＋(2－
x )≥2·
12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x
＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.
4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
元 元 元
元
解：假设底面的长、宽分别为x m ，4
x
m ，由条件知该容器的最低总造价为y
＝80＋20x ＋80
x
≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.
故选C.
5.下列不等式中正确的是( ) A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a
b ≥2
b a ·a b
＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y C.若x <0，则x ＋4
x
≥－2
x ·4
x
＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2
解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－?
??
???（－x ）＋4－x ≤－2
（－x ）·
4
－x
＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x
＋2－x
≥22x ·2－x
＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.
6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) ＋2 3 ＋23 ＋4 3
＋43
解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋
4b ＝ab ，且???3a ＋4b ＞0，ab ＞0， 即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝
(a ＋b )?
????
4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b
a
·
3a
b
＝7＋43，当且仅当
4b
a
＝
3a
b
时取等号.
故选D.
7.若对任意x ＞0，
x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是.
解：因为x ＞0，所以x ＋1
x
≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，
所以有x
x 2＋3x ＋1
＝
1x ＋1x
＋3≤12＋3＝15
， 即
x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥1
5
.
8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线
mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.
解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有
|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上). 所以|PA |·|PB |≤1
2(|PA |2＋|PB |2)＝5.
当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立.故填5. 9.(1)已知0＜x ＜4
3
，求x (4－3x )的最大值；
(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值. 解：(1)已知0＜x ＜4
3
，∴0＜3x ＜4.
∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13?
????3x ＋4－3x 22＝4
3， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2
3时“＝”成立.
∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为4
3
.
(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42.
当且仅当???2x ＝4y ，x ＋2y ＝3，
即x ＝32，y ＝3
4时“＝”成立.
∴当x ＝32，y ＝3
4
时，2x ＋4y 取最小值为42.
10.已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值. 解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab.且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤1
8，∴S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )
＝2ab ＋4ab －1≤
2－12.当且仅当a ＝14，b ＝1
2
时，等号成立. 11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小
解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.
设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy.
解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤
272，即S ≤27
2
. 当且仅当2x ＝3y 时等号成立. 由???2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得???x ＝，
y ＝3.
故每间虎笼长为 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大. 解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y.
∵x ＞0，∴0＜y ＜6.
S ＝xy ＝? ?
?
??9－32y y ＝32
(6－y )y.
∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32??
????（6－y ）＋y 22＝27
2. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝. 故每间虎笼长 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S ＝xy ＝24.
设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y.
解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，
∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立. 由???2x ＝3y ，xy ＝24，解得?
??x ＝6，
y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小. 解法二：由xy ＝24，得x ＝
24
y
.
∴l ＝4x ＋6y ＝96
y ＋6y ＝6? ????
16y ＋y ≥6×2
16
y
×y ＝48，
当且仅当
16
y
＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.
故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小.
高中不等式知识点总结
1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
必修五-不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f
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基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式知识点整理
元一次不等式和一元一次不等式组 概念： 定义1：一般地，用符号“V” （或“W”），“>”（或“》”）连接的式子叫做不等式。 定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。 定义6：一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组。 定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 基本性质： 等式的基本性质”和“不等式的基本性质” 1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立女口果a=b, 那么a± c=b± c 等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成女口果a=b，那么ac=bc, a*c = b*c （c工0）2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同 三、相关知识归纳： 一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向, “>”向右, “<”向左. 2、不等式的解集在数轴上表示时，当解集的符号是“》”或“W”时，用实心圆点表示，当解集的符号是“>”或“V”时，用空心圆圈表示。 3、不等式的解与解集的联系与区别: 二者的区别在于, 不等式的解是指能使不等式成立的每一个值; 不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集, 或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。 4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方, 小于指向界点的左方。 二）、解一元一次不等式的一般步骤： 1）去分母不等式性质2或3 注意： ①勿漏乘不含分母的项； ②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； ③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变 2）去括号——去括号法则和分配律 注意： ①勿漏乘括号内每一项； ②括号前面是“-”号，括号内各项要变号 3）移项——移项法则（不等式性质1） 注意：移项要变号.
基本不等式知识点归纳
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
不等式知识点整理
不等式知识点整理 一、不等关系： 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0>-?>b a b a ； 0<-? （自反性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?> （可加性） （4）bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, （可乘性） （5）d b c a d c b a +>+?>>, （同向加法） （6）bd ac d c b a >?>>>>0,0； （同向乘法） （7）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0。 （同向乘方） 3．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0,0,2≥≥∈a a R a ， 当且仅当0a =取“=”. （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（当且仅当a b =时取“=”） （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当a b =时取“=”） 注：2 a b +——集几何平均数. （4）222()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取“=”） （5）2222()33 a b c a b c ++++≥（当且仅当a b c ==时取“=”） （6）22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当a b c d =时取“=”）（柯西不等式） 4、最值定理：设,0,x y x y >+≥由 （1）如积xy P =为定值，则当且仅当x y =时x y +有最小值 （2）如和x y S +=为定值，则当且仅当x y =时x y ?有最大值2()2 S . 即：积定和最小，和定积最大. 注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等. 5．含绝对值的不等式性质： b a b a b a +≤±≤±（注意等号成立的情况）. 二、不等式的证明方法 1．比较法 （1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号； （2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的） 2．综合法——由因导果（由前面结论）
基本不等式知识点归纳教学内容
基本不等式知识点归 纳
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
基本不等式学习知识梳理
基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。
高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-=
数学必修五第三章不等式知识点总结
数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）
5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，
高级中学数学基本不等式知识点归纳及理解练习知识题
高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ???a ＋b 22 (a ，b ∈R )； (4) a 2＋ b 22 ≥? ?? ? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24 .(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是 2 2 ? ??a ＋b 22 (a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
两个变形 (1) a 2＋ b 22 ≥? ? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋ b 22 ≥ a ＋ b 2 ≥ab ≥ 2 1 a ＋ 1 b (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.
不等式知识点总结及题型归纳
不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标