湖北孝感2013年中考数学试题(1)

(第10题)

主视图

俯视图

2013年孝感市高中阶段学校招生考试

数 学

一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题

给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）

1、计算2

3-的值是 A 、9 B 、9- C 、6 D 、6- 2．太阳的半径约为696 000km ，把696 000这个数用科学记数法表示为

A 、3

6.9610?

B ．5

69.610?

C ．5

6.9610?

D 、6

6.9610?

3、如图，1=2∠∠，3=40∠?．则4∠等于 A 、120? B 、130?

C 、140?

D 、40?

4、下列计算正确的是 A 、3

2

3

2

a a a a -÷=? B 、2

a a =

C 、2

2

4

23a a a +=

D 、（a －b ）2=a 2

－b 2

5、为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm ）为：

16 9 14 11 12 10 16 8 17 19

则这组数据的中位数和极差分别是

A ．13，16

B ．14，11

C ．12，11

D ．13，11

6、下列说法正确的是

A 、平分弦的直径垂直于弦

B 、半圆（或直径）所对的圆周角是直角

C 、相等的圆心角所对的弧相等

D 、若两个圆有公共点，则这两个圆相交 7、使不等式x －1≥2与3x －7＜8同时成立的x 的整数值是

A 、3，4

B 、4，5

C 、3，4，5

D 、不存在

8、式子2

2cos30tan 45(1tan 60)?-?--?的值是

A 、232-

B 、0

C 、23

D 、2

9、在平面直角坐标系中，已知点E (－4,2)，F (－2,－2)，以原点O 为位似中心，相似

比为

1

2

，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是 A 、(－2,1) B 、(－8,4) C 、(－8,4)或(8,－4) D 、(－2,1)或(2,－1)

10、由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图

12

34

(第3题)

F

E

D

A

C

B

(第12题)

(第15题)

α

β

A

B

C

D

和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图是

A 、

B 、

C 、

D 、 11、如图，函数y x =-与函数4

y x

=-

的图像相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为 A 、2 B 、4 C 、6 D 、8

12、如图，在△ABC 中，AB AC a ==，()BC b a b =>．在△ABC 内依次作

CBD A ∠=∠，DCE CBD ∠=∠，EDF DCE ∠=∠．则EF 等于

A 、3

2b a

B 、32a b

C 、43b a

D 、4

3a b

二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果 直接填写在答题卡相应位置上）

13、分解因式：2

23ax ax a +-= 。

14、在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料

的概率为 （结果用分数表示）。

15、如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的 俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 m （结果不作近似计算）。

16、用半径为10cm ，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的高是 cm 。

17、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：

x

O

D

C

A

B

y

(第11题)

x /分

O 4 12

8

10

20

y /升

30

(第18题)

称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 。

18、一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的

4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水 又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完． 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内 的水量y (单位：升)与时间x （单位：分）之间的 部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完。

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分．解答写在答题卡上） 19、（本题满分6分）先化简，再求值：

111

()x y y x

÷--，

其中32x =+，32y =-。

20、（本题满分8分）如图，已知△ABC 和点O 。

（1）把△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（4分） （2）用直尺和圆规作△ABC 的边AB ，AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的

交点P （要求保留作图痕迹．．，不写作法）；指出点P 是△ABC 的内心，外心，还是重心？（4分）

1

5

12

22

(第17题)

地点

(第21题)

10 20

人数

30 A B

C D

21、（本题满分10分）暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A ，B ，C ，D 四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示。

（1）去B 地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B 地的人数？（4分） （2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定。父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？（6分）

22、（本题满分10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）与销售价格x （元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数。

（1）求y 与x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（4分）

（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的

利润P 最大？（6分）

23、（本题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，B ∠=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP AC =。

(第23题)

P

D

A

C

O

B

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（5分） （2）若3PD =，求⊙O 的直径。（5分）

24、（本题满分10分）已知关于x 的一元二次方程22

(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x 。

（1）求实数k 的取值范围；（4分）

（2）是否存在实数k 使得2

2

1212x x x x ?--≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说

明理由。（6分）

25、（本题满分12分）如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上， 若AEF ∠=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F 。

（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE EF =，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）

（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）。 ①AE EF =是否总成立？请给出证明；（5分）

②在如图所示的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线

21y x x =-++上，求此时点F 的坐标．（4分）

2013年孝感市高中阶段学校招生考试

数学参考答案及评分说明

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B

C

C

A

D

B

A

B

D

B

D

C

二、填空题

13．(3)(1)a x x +-；

14．

2

5

； 15．123； 16．8；

17．51；

18．8．

三、解答题

19．解：原式=

1x y

x y xy

-÷

- ……………………………………… 2分

=

1xy

x y x y

--?

=

2

()

xy

x y - ……………………………………… 4分 当32x =

+，32y =-时，

原式=

2

(32)(32)1

8(3232)

+-=+-+． ……………………………………… 6分 (第25题)

图1

图2

F

E

D

A

C B

x

y

E

F

D

A B (O )C

(第20题) C 1

B 1

A 1

P

O C B A 20．解：（1）△111A B C 如图所示； …………………………………………………4分 （2）如图所示； ……………………………… 6分 点P 是△ABC 的外心．……………… 8分

21．解：（1）设去B 地的人数为x ，

则由题意有：40%302010

x x =+++ …………… 2分

解得：40x =．

∴去B 地的人数为40人． …………… 4分

（2）列表：

…………… 7分 说明： 能正确画出树形图给3分. 姐姐能参加的概率()4116

4

P ==

姐，弟弟能参加的概率为()516

P =

弟 …………… 9分

∵()416

P =

姐<()516

P =

弟，∴不公平． …………… 10分

22．解：（1）设y 与x 满足的函数关系式为：y kx b =+． …………… 1分

由题意可得：36242129.

k b k b =+??

=+?，

…………… 2分

解得3108.k b =-??

=?

，

…………… 3分

∴y 与x 的函数关系式为：3108y x =-+． …………… 4分 （2）每天获得的利润为：

(3108)(20)P x x =-+- …………… 6分

4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4

3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3

2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2

1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1

1

2

3

4

2

31682160x x =-+-

2

3(28)192x =--+． ……………8分 ∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大． ……………10分

23．（1）证明：连接OA …………………1分

∵60B ∠=

，∴2120AOC B ∠=∠=

． ……2分

又∵OA OC =，∴30OAC OCA ∠=∠=

. 又∵AP AC =，∴30P ACP ∠=∠=

，

∴90OAP AOC P ∠=∠-∠=

， ………………4分

∴OA PA ⊥，

∴PA 是⊙O 的切线. ……………… 5分 （2）在Rt △OAP 中， ∵30P ∠=?，

∴2=PO OA OD PD =+． ………………7分 又∵OA OD =， ∴PD OA =， ∵3PD =，

∴2223OA PD ==．

∴⊙O 的直径为23. ……………10分 24．解：（1）∵原方程有两个实数根，

∴ 2

2

[(21)]4(2)k k k -+-+≥0 ……………1分 ∴2

244148k k k k ++--≥0

∴14k -≥0， ……………3分

∴k ≤

1

4 ． ∴当k ≤1

4

时，原方程有两个实数根． ……………4分

（2）假设存在实数k 使得22

1212x x x x ?--≥0成立．

∵1x ，2x 是原方程的两根，

∴2

121221

2x x k x x k k +=+?=+，． ……………5分

由2

2

1212x x x x ?--≥0，

得2

12123()x x x x ?-+≥0．

……………7分

P

D

A

C

O

B

(第23题)

∴223(2)(21)k k k +-+≥0，整理得：2

(1)k --≥0， ∴只有当1k =时，上式才能成立．

……………9分

又由（1）知k ≤

14

，

∴不存在实数k 使得22

1212x x x x ?--≥0成立．

……………10分

25．解：（1）如图1，取AB 的中点G ，连接EG ． ……………2分

△AGE 与△ECF 全等． ……………3分 （2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE EF =总成立． 证明：如图2，在AB 上截取AM EC =．…… 4分

∵AB BC =，∴BM BE =，

∴△MBE 是等腰直角三角形， ∴18045135AME ∠=?-?=?， 又CF 平分正方形的外角，∴135ECF ∠=?， ∴AME ECF ∠=∠． ………… 6分

而90BAE AEB CEF AEB ∠+∠=∠+∠=?, ∴BAE CEF ∠=∠， ………… 7分 ∴△AME ≌△ECF ．

∴AE EF =． ………… 8分

②过点F 作FH x ⊥轴于H ， ………… 9分 由①知，FH BE CH ==，

设BH a =，则1FH a =-，

∴点F 的坐标为( 1)F a a -，． ……… 10分 ∵点F 恰好落在抛物线2

1y x x =-++上， ∴2

11a a a -=-++，

∴2

2a =，2a =（负值不合题意，舍去），

∴1

21a --＝．

∴点F 的坐标为(2 21)F -，

．…………… 12分 注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；

2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．

G F E

D A C B H

M E

F D

A B (O )C x

y

(第25题)

图2 图1