人教版九年级数学上册全册综合提升卷

期末综合提升卷

时间：90分钟 分值：100分

第Ⅰ卷 (选择题 共30分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

图1

2．抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是( ) A ．(1，1) B ．(2，2) C ．(1，2) D ．(1，3)

3．线段MN 在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将MN 绕点M 逆时针旋转90°得到线段M 1N 1，则点N 的对应点N 1的坐标为( )

图2

A ．(0，0)

B ．(－5，－4)

C ．(－3，1)

D ．(－1，－3)

4．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－5

2ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为( )

A ．1或4

B ．－1或－4

C ．－1或4

D ．1或－4

5．如图3，已知⊙O 的半径为13，弦AB 的长为24，则点O 到AB 的距离是( )

图3

A．6 B．5 C．4 D．3

6．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图4所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能的是()

4

A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球

B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6

C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”

7．如图5，正八边形ABCDEFGH内接于圆，点P是弧GH上的任意一点，则∠CPE 的度数为()

5

A．30°B．15°C．60°D．45°

8．如图6，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y ＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是()

图6

A．4 B．3＋ 2 C．3 2 D．3＋3

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图7，则下列说法：

①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝－1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0(m≠－1)．

其中正确的个数是()

图7

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图8，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至全部移出大三角形停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象是()

8

图9

请将选择题答案填入下表：

第Ⅱ卷(非选择题共70分)

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．平面直角坐标系内与点P(－2，3)关于原点对称的点的坐标是________．

12．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为____________．

13．抛物线的部分图象如图10所示，则当y<0时，x的取值范围是____________．

图10图11

14．一儿童行走在如图11所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是________．

15．原价为100元的某商品，连续两次降价后售价为81元．若每次降价的百分率相同，则每次降低的百分率为________．

图12

16．如图12，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为(2，5)，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为________．

三、解答题(共52分)

17．(5分)已知抛物线y＝ax2－2x＋c的对称轴为直线x＝－1，顶点为A，抛物线与y 轴正半轴交于点B，且△ABO的面积为1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在x轴上，且PA＝PB，求点P的坐标．

18．(5分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．

19．(5分)△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图13所示．

(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；

(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形；

(3)若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径的最小值为________．

图13

20．(5分)如图14，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE ︵＝AB ︵

，BE 分别交AD ，AC 于点F ，G.

(1)△FAG 的形状是________；

(2)如图②，若点E 和点A 在BC 的两侧，BE ，AC 的延长线交于点G ，AD 的延长线交BE 于点F ，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．

图14

21．(7分)已知一个矩形的周长为56厘米．

(1)当矩形的面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)矩形的面积能为200平方厘米吗？请说明理由．

22．(7分)孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为A 1级、A 2级、A 3级，其中A 1级最好，A 3级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱地看，也不告知该箱的质量等级．

两人采取了不同的选择方案：

孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．

王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不如第一箱好，他就买第三箱．

(1)三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种可能？ (2)孙明与王军，谁买到A 1级的可能性大？为什么？

23．(8分)如图15，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延长线上，∠CAD ＝45°.

(1)若AB ＝4，求CD ︵

的长；

(2)若BC ︵＝AD ︵

，AD ＝AP ，求证：PD 是⊙O 的切线．

图15

24．(10分)如图16所示，某公园在一块扇形OEF 草坪上的圆心O 处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA ，在A 处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高10

9米，

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的水流在与O 点的水平距离4米处达到最高点B ，点B 距离地面2米．当喷头A 旋转120°时，这块草坪可以全被水覆盖．

(1)建立适当的平面直角坐标系，使A 的坐标为(0，10

9)，水流的最高点B 的坐标为(4，

2)，求出此平面直角坐标系中抛物线水流对应的函数解析式；

(2)求喷水装置能喷灌的草坪的面积(结果用含π的式子表示)；

(3)在扇形OEF 的一块三角形区域地块△OEF 中，现要建造一个矩形GHMN 花坛，如图②的设计方案是使H ，G 分别在OF ，OE 上，MN 在EF 上．设MN ＝2x m ，当x 取何值时，矩形GHMN 花坛的面积最大？最大面积是多少？

图16

答案详析

1．C A 项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 项中的图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

D 项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选C. 2．A ∵y ＝x 2－2x ＋2＝x 2－2x ＋1－1＋2＝(x －1)2＋1， ∴抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是(1，1)．

3．C 如图，点N 的对应点N 1的坐标为(－3，1)．

4．B ∵x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－5

2ax ＋a 2＝0的一个根，∴4＋5a ＋a 2＝0，

∴(a ＋1)(a ＋4)＝0，解得a 1＝－1，a 2＝－4.

5．B 过点O 作OC ⊥AB 于点C .由垂径定理，得AC ＝BC ＝1

2AB ＝12.在Rt △AOC 中，

由勾股定理得OC ＝132－122＝5.

6．B A ．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为2

3

，不符合题意；

B ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为1

6，符合题意；

C ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为1

3，不符合题

意；

D ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为1

2，不符合题意．

7．D 连接OD ，OC ，OE ，如图所示．

∵八边形ABCDEFGH 是正八边形， ∴∠COD ＝∠DOE ＝360°

8＝45°，

∴∠COE ＝45°＋45°＝90°， ∴∠CPE ＝1

2∠COE ＝45°.

8．B 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ，连接PB ，如图．

∵⊙P 的圆心坐标是(3，a )，∴OC ＝3，PC ＝a . 把x ＝3代入y ＝x 得y ＝3，∴D 点的坐标为(3，3)， ∴CD ＝3，

∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴△PED 也为等腰直角三角形． ∵PE ⊥AB ，

∴AE ＝BE ＝12AB ＝1

2×4 2＝2 2.

∵在Rt △PBE 中，PB ＝3， ∴PE ＝32－（2 2）2＝1，

∴PD ＝2PE ＝2，∴a ＝3＋ 2.故选B.

9．C ∵抛物线与y 轴交于原点，∴c ＝0，故①正确；该抛物线的对称轴是直线x ＝

－2＋0

2＝－1，即直线x ＝－1，故②正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c .∵图象的对称轴是直线x ＝－1，

∴－b

2a ＝－1，b ＝2a .又∵c ＝0，∴y ＝3a ，故③错误；当x ＝m 时对应的函数值为y ＝am 2

＋bm ＋c ，当x ＝－1时对应的函数值为y ＝a －b ＋c ，又x ＝－1时函数取得最小值，且m ≠－1，∴a －b ＋c ＜am 2＋bm ＋c ，即a －b ＜am 2＋bm .∵b ＝2a ，

∴am 2＋bm ＋a ＞0(m ≠－1)，故④正确．

10．B ①当x ≤1时，两个三角形重叠部分的面积为小三角形的面积，∴y ＝12×1×

3

2＝

3

4，可排除选项D ；②当1＜x ≤2时，重叠三角形的边长为2－x ，高为3（2－x ）2

，∴y ＝12(2－x )×3（2－x ）2＝34x 2－3x ＋3，是二次函数，图象为抛物线的一部分，可排除选项A.又

3

4

＞0，∴抛物线开口向上，可排除C ，故选B. 11．(2，－3) 12．y ＝－2(x －2)2－3 13．x <－1或x >3

14.13 观察这个图可知，阴影区域(3块)的面积占总面积(9块)的13，故其概率为13. 15．10% 设每次降低的百分率是x . 根据题意列方程，得100×(1－x )2＝81， 解得x 1＝0.1＝10%， x 2＝1.9(不符合题意，舍去)． 即每次降低的百分率是10%.

16．(203，4 53) 过点A 作AC ⊥OB 于点C ，过点O ′作O ′D ⊥A ′B 于点D .

∵A (2，5)，∴OC ＝2，AC ＝ 5.

由勾股定理得OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（5）2＝3. ∵△AOB 为等腰三角形，OB 是底边，

∴OB ＝2OC ＝2×2＝4.

由旋转的性质得O ′B ＝OB ＝4，A ′B ＝AB ＝AO ＝3. ∵S △AOB ＝S △A ′O ′B ， ∴OB ·AC ＝A ′B ·O ′D ， ∴O ′D ＝4 5

3，

∴BD ＝O ′B 2－O ′D 2＝

42－（4 53）2＝83

，

∴OD ＝OB ＋BD ＝4＋83＝20

3，

∴点O ′的坐标为(203，4 5

3

)．

17．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴－－2

2a ＝－1，∴a ＝－1.

∵△ABO 的面积为1， ∴1

2

c ×1＝1，∴c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋2. (2)∵y ＝－x 2－2x ＋2＝－(x ＋1)2＋3， ∴A (－1，3)．设P 点的坐标为(x ，0)． ∵P A ＝PB ，B (0，2)， ∴(x ＋1)2＋32＝x 2＋22，

解得x ＝－3，故点P 的坐标为(－3，0)． 18．解：(1)依题意得Δ＝22－4(2k －4)＞0， 解得k ＜5

2

.

(2)因为k ＜5

2

且k 为正整数，

所以k ＝1或2.

当k ＝1时，方程化为x 2＋2x －2＝0，Δ＝12，此方程无整数根； 当k ＝2时，方程化为x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2. 所以k ＝2，方程的整数根为x 1＝0，x 2＝－2. 19．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．

(3)5

20．解：(1)等腰三角形 (2)成立．理由如下：

∵BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠C ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C . ∵AE ︵＝AB ︵，

∴∠ABE ＝∠C ，∴∠ABE ＝∠BAD .

∵∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠ABE ＋∠AGB ＝90°，∴∠CAD ＝∠AGB ，∴F A ＝AG ， ∴△F AG 是等腰三角形．

21．解：(1)设矩形的长为x 厘米，则另一边长为(28－x )厘米．依题意有 x (28－x )＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18， 28－x ＝28－18＝10.

故长为18厘米，宽为10厘米． (2)不能．理由如下：

设矩形的长为x 厘米，则宽为(28－x )厘米，依题意有x (28－x )＝200，

即x 2－28x ＋200＝0， 则Δ＝282－4×200＜0， 原方程无实数根，

故矩形的面积不能为200平方厘米． 22．解：(1)共有六种情况：

A1，A2，A3；A2，A1，A3；A3，A1，A2； A1，A3，A2；A2，A3，A1；A3，A2，A1. (2)王军买到A1的可能性大，理由如下：

孙明买到A1的情况有两种：A1，A2，A3；A1，A3，A2. 因此孙明买到A1的概率为26＝1

3

.

王军买到A1的情况有三种：A2，A1，A3；A2，A3，A1；A3，A1，A2. 因此王军买到A1的概率为36＝1

2.

因此，王军买到A1的可能性大． 23．解：(1)如图，连接OC ，OD .

∵∠COD ＝2∠CAD ，∠CAD ＝45°， ∴∠COD ＝90°.

∵AB ＝4，∴OC ＝12AB ＝2，∴CD ︵的长＝90

180×π×2＝π.

(2)∵BC ︵＝AD ︵

，∴∠BOC ＝∠AOD . ∵∠COD ＝90°，∴∠AOD ＝45°. ∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD .

∵∠AOD ＋∠ODA ＋∠OAD ＝180°， ∴∠ODA ＝67.5°.

∵AD ＝AP ，∴∠ADP ＝∠APD .

∵∠CAD ＝∠ADP ＋∠APD ，∠CAD ＝45°， ∴∠ADP ＝1

2∠CAD ＝22.5°，

∴∠ODP ＝∠ODA ＋∠ADP ＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线．

24．解：(1)根据题意得出图象顶点坐标为(4，2)，故设解析式为y ＝a (x －4)2＋2， 将(0，109)，代入得10

9＝a (0－4)2＋2，

解得a ＝－1

18

，

∴抛物线水流对应的函数解析式为y ＝－1

18(x －4)2＋2.

(2)当y ＝0时，0＝－1

18(x －4)2＋2，

解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)， ∴扇形的半径为10米，

∴能喷灌的草坪的面积＝120π×102360＝100π

3

(米2)．

(3)如图，过点O 作OA ⊥EF 于点A ，交GH 于点B ，∵∠EOF ＝120°，OE ＝OF ＝10米，

∴∠OEF ＝∠OFE ＝30°，

∴AO ＝1

2

FO ＝5米，∴AF ＝5 3米．

∵MN＝2x米，∴AM＝BH＝x米，∴MF＝(5 3－x)米．又∵2MH＝FH，∴FH2－MH2＝MF2，

∴MH＝(5－

3

3x)米．由题意得S矩形GHMN＝2x·(5－

3

3x)＝－

2 3

3x2＋10x，

当x＝－b

2a＝5 3

2时，S矩形GHMN的值最大，为

253

2米2.