华工网络线性代数与概率统计随堂练习答案-全
1.计算？（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
2.行列式？
A．3
B．4
C．5
D．6
答题： A. B. C. D. （已提交）
3.利用行列式定义计算n阶行列式：=?( ) A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
4.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。A．1, 4
B．1，-4
C．-1，4
D．-1，-4
答题： A. B. C. D. （已提交）
5.计算行列式=？（）
A．-8
B．-7
C．-6
D．-5
答题： A. B. C. D. （已提交）
6.计算行列式=？（）
A．130
B．140
C．150
D．160
答题： A. B. C. D. （已提交）
7.四阶行列式的值等于（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
8.行列式=？（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
9.已知，则？A．6m
B．-6m
C．12m
D．-12m
答题： A. B. C. D. （已提交）
10.设＝，则?
A．15|A|
B．16|A|
C．17|A|
D．18|A|
答题： A. B. C. D. （已提交）
11. 设矩阵，求=？
A．-1
B．0
C．1
D．2
答题： A. B. C. D. （已提交）
12. 计算行列式=?
A．1500
B．0
C．—1800
D．1200
答题： A. B. C. D. （已提交）
13. 齐次线性方程组有非零解，则=？（）
A．-1
B．0
C．1
D．2
答题： A. B. C. D. （已提交）
14. 齐次线性方程组有非零解的条件是=？（）A．１或－３
B．１或３
C．－１或３
D．－１或－３
答题： A. B. C. D. （已提交）
15. 齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有___解。A．零零
B．零非零
C．非零零
D．非零非零
答题： A. B. C. D. （已提交）
16. 设，，求=？（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
17. 设矩阵，，为实数，且已知
，则的取值分别为？（）
A．1，-1，3
B．-1，1，3
C．1，-1，-3
D．-1，1，-3
答题： A. B. C. D. （已提交）
18. 设, 满足, 求=？（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
19. 设，，求=？（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
20. 如果，则分别为？（）
A．0，3
B．0，-3
C．1, 3
D．1，-3
答题： A. B. C. D. （已提交）
21. 设,矩阵，定义，则=？（）
A．0
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
22. 设,n为正整数，则=？（）
A．0
B．-1
C．1
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
23. 设为n阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是（）
A．为对称矩阵
B．对任意的为对称矩阵
C．为对称矩阵
D．若可换，则为对称矩阵
答题： A. B. C. D. （已提交）
24. 设为m阶方阵，为n阶方阵，且,,,则=？（）A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）25. 下列矩阵中，不是初等矩阵的是：（）
A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）26. 设，求=？（）A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
27. 设，求矩阵=？（）A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
28. 设均为n阶矩阵，则必有（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
29. 设均为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（）A．若，则都可逆
B．若，且可逆，则
C．若，且可逆，则
D．若，且，则
答题： A. B. C. D. （已提交）
30. 设均为n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（）A．
B．
C．（k为正整数）
D．（k为正整数）
答题： A. B. C. D. （已提交）
31. 利用初等变化，求的逆=?（）A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
32. 设，则=?()
A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
33. 设,是其伴随矩阵，则=？（）
A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
34. 设n阶矩阵可逆，且，则=？（）
A． B．
C． D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
35. 阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是（）。A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
36. 设矩阵的秩为r，则下述结论正确的是（）
A．中有一个r+1阶子式不等于零
B．中任意一个r阶子式不等于零
C．中任意一个r-1阶子式不等于零
D．中有一个r阶子式不等于零
答题： A. B. C. D. （已提交）
37. 初等变换下求下列矩阵的秩，的秩为？（）A．0
B．1
C．2
D．3
答题： A. B. C. D. （已提交）
38. 求的秩为？（）
A．2
B．3
C．4
D．5
答题： A. B. C. D. （已提交）
39. 44．，且，则=？（）
A．1
B．-3
C．1或-3
D．-1
答题： A. B. C. D. （已提交）
40. 求矩阵的秩=？
答题： A. B. C. D.
41. 设，则？
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
42. 用消元法解线性方程组，方程的解为：A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
43. 齐次线性方程组有非零解，则必须满足（）
A．
B．
C．
D．
答题： A. B. C. D. （已提交）
44. 已知线性方程组：无解，则=？（）
A．-1
B．0
C．1
D．2
答题： A. B. C. D. （已提交）
45. 非齐次线性方程组中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵的秩为r，则（）A．r=m时，方程组有解
B．r=n时，方程组有唯一解
C．m=n时，方程组有唯一解
D．r 答题： A. B. C. D. 46. 设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（）A．的列向量组线性相关 B．的列向量组线性无关 C．的行向量组线性无关 D．的行向量组线性无关 答题： A. B. C. D. （已提交） 47. 线性方程组：有解的充分必要条件是=？（） A． B．-1 C． D．1 答题： A. B. C. D. （已提交） 48. 求齐次线性方程组的基础解系是（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. 49. 求齐次线性方程组的基础解系为（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 50. 设n元非齐次方程组的导出组仅有零解，则（） A．仅有唯一解 B．必有无穷多解 C．必无解 D．未必有解 答题： A. B. C. D. （已提交） 51. 设为矩阵，线性方程组的对应导出组为，则下面结论正确的是（）A．若仅有零解，则有唯一解 B．若有非零解，则有无穷多解 C．若有无穷多解，则有非零解 D．若有无穷多解，则仅有零解 答题： A. B. C. D. （已提交） 52. 写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。 A．样本空间为，事件“出现奇数点”为 B．样本空间为，事件“出现奇数点”为 C．样本空间为，事件“出现奇数点”为 D．样本空间为，事件“出现奇数点”为 答题： A. B. C. D. （已提交） 53. 写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：从0,1,2三个数字中有放回的抽取两次，每次取一个，A:第一次取出的数字是0。B：第二次取出的数字是1。C：至少有一个数字是2,下面那一句话是错误的？（） A．用表示“第一次取到数字，第二次取到数字”则样本空间 。 B．事件可以表示为 C．事件可以表示为 D．事件可以表示为 答题： A. B. C. D. （已提交） 54. 向指定的目标连续射击四枪，用表示“第次射中目标”，试用表示四枪中至少有一枪击中目标（）： A． B． C． D．1 答题： A. B. C. D. （已提交） 55. 向指定的目标连续射击四枪，用表示“第次射中目标”，试用表示前两枪都射中目标，后两枪都没有射中目标。（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. 56. 向指定的目标连续射击四枪，用表示“第次射中目标”，试用表示四枪中至多有一枪射中目标A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 57. 一批产品由8件正品和2件次品组成，从中任取3件，则这三件产品全是正品的概率为（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 58. 在上题中，这三件产品中恰有一件次品的概率为（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 答题： A. B. C. D. 61. 袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 62. 一个袋子中有m个白球，n个黑球，无放回的抽取两次，每次取一个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为（） A． 1.（单选题 ） 计算 2.（单选题 ） 行列式 B ．4; ？ 3.（单选题 ） 计算行列式 B ．18； 4.（单选题 ） 计算行列式 C ．0； ？ 2.（ 单选题 ） 计算行列式 D ． . B ． 1， -4; 1.（ 单选题 ） 计算行 列式 1.（ 单选题 ） 利用行列式定义，计算 n 阶行列 式： =? 2.（ 单选题 ） 计算行列式 展开式中 的系数。 A 6m D ．18|A|. B ．0; 1.（ 单选题 ） 计算行列式 B ．-7; 2.（ 单选题 ） 计算行列式 D ．160. 3.（ 单选题 ） 四阶行列式 D ． 4.（ 单选题 ） 行列 式 =？ =？ 的值等于多 少？ =？ 1.（设 2. 单选题 ） 设矩阵 3.（ 单选题 ） 计算行列式 =? ．1； ．１或－３ ; ．唯一解 ; ．只有零解 ; .（单选题 ） 齐次线性方程组 总有 ___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有 ．零 ,非零 ; ．1，-1，3; .（ 单选题 ） 设矩阵 =？ ．-1800; .（ 单选题 ） 齐次线性方程组 有非零解，则 =？ ．1; .（ 单选题 ） 齐次线性方程组 有非零解的条件是 =？ .（ 单选题 ） 如果非线性方程组 系数行列式 ，那么，下列正确的结论是 .（ 单选题 ） 如果齐次线性方程组 的系数行列式 ，那么，下列正确的结论 解。 .（ 单选题 ） 设 ，求 =？ .（ 单选题 ） 设矩阵 ，则 为实数，且已知 的取值分别为什 么？ 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 《线性代数与解析几何》勘误表 第1章：行列式 p.13, 例题 4.1: 解的第二个等号后，应加一个负号。 p.15,第三行（等号后）：去掉; p.17, 第7-8行: (t=1,2,…, j-1,j+1,…,n) p.19,倒数第4-5行：假设对于n-1阶范德蒙行列式V_{n-1}结论成立，… p ．20，第2行: D_{n-1}改为V_{n-1} p.20, 第6行,定理5.2中: 去掉“若”字 p.21, 倒数第3行： …展开代入而得, p.24,倒数第1行: (-1)的指数应为“1+2+…+k +1+2+…+k ” 习题1： 第1题（2）答案有误：应为sin2x-cosx^2. 第6题（3）答案有误：（3） n(3n-1)/2, 当n=4k 或者n=4k+3时为偶数,当n=4k+1或4k+2时为奇数. 第10题（4）（5）答案有误：（4）（-1）^{（n-2）(n-1)/2}；（5）(-1)^{n-1}a_n 第11题（6）答案有误： ….,当a\neq 0时，D=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}[a^2-(n-1)x^2] p.26, 第12题（2）：改为： (33333) 3222 222111 111=+++++++++y x x z z y y x x z z y y x x z z y （3）： …= ;)1](2 )2)(1([1--+-+ n a n n a (4): …=.0 ∑=-n i i n i b a p.27, 第14题（4）：(此题较难，可以去掉！) 答案有误,应为： n x n )2 )(1( n +=,当yz x 42=。 第15题答案有误：为60(11-2) p ．27, 第16题：去掉条件“若x_1+x_2+x_3+x_4=1,则” 第二章：矩阵 p.32, 第7行： 称其为n 阶对角矩阵，….. p.35, 第5-6行： b_21和b_12互换位置（两处） p.36, 第7行： 去掉“设 A ，B ，C 分别为….矩阵,”在第10行后增加： 当然，这里假定了矩阵运算是有意义的. p.39, 第4行： 就得到一个2*2的分块矩阵。 p.46,第2行: 去掉 ′（3个） p ．46，倒数 4-6行：… 为满秩的（或非奇异的，非退化的）,…为降秩的（或奇异的，退化的），… p.47,倒数第6-7行： 去掉 “,n α”（3处 ）,另： 本页的 ”T j T i αα,”均改 第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件; 三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? : 线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k 二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ??? 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 华南理工大学期末考试（A 卷） 《2010-11线性代数（上）》试卷 注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 一、 1．设A 是n m ?矩阵，B 是列向量，那么线性方程组B AX =有解的充要条件是： 2．矩阵A 是正定二次型的矩阵的条件是： 3．设)0,16,2,3,1(---=α,)3,0,1,3,2(=β则=)det(αβT 4． 若A 为2011阶正交矩阵，则=))det((det A A T 5．将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵记为))(,(k i j P , 将矩阵A 的第i 列乘k 加到第j 列得到的矩阵= 二、 选择题（共20分） 1．如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 得到的矩阵设为))((k i P ，那么))((k i P 是正交 矩阵的充要条件是： A ， k >0， B ，-1 C ， 111()AB A B ---= ， D ， 111()A B A B ---+=+ 4．若A 是n 阶初等矩阵，* A 是A 的伴随矩阵，则以下命题哪一个不成立： A ，矩阵T A 为初等矩阵， B ，矩阵*A 为初等矩阵 C ，矩阵1A -为初等矩阵， D ，以上都不对 5．如果n （n ＞１）阶矩阵M 的行列式为0，那么： A ， M 的行向量线性无关， B ，M 的列向量线性无关 C ， M 的秩为0， D ，以M 为系数矩阵的线性方程组有非零解 三、判断下面的命题是否正确（每小题4分，共12分）（二学分的只需要给出判 断，三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例） （1） 已知A ,B 是矩阵。如果)()(B rank A rank =，那么A 可以经过初等变换化 为B 。 （2） 如果一个矩阵的行向量组线性无关，那么它的列向量组也线性无关。 （3） 如果一个对称矩阵A 的行列式大于0，那么它是正定的。 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 《线性代数与概率统计》 作业题 第一部分 单项选择题 1．计算 11221212 x x x x ++=++？（A ） A ．12x x - B ．12x x + C ．21x x - D ．212x x - 2．行列式1 111 1 1111 D =-=-- B A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．设矩阵231123111,112011011A B -???? ????==???? ????-???? ，求AB =B A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．齐次线性方程组123123123 000x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=?有非零解，则λ=？（C ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5．设? ??? ??=50906791A ，???? ?? ? ??=673563 00B ，求AB =？（D ） A ．1041106084?? ??? B ．1041116280?? ??? C ．1041116084?? ??? D ．1041116284?? ??? 6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,0 0A C B ?? = ??? ,则C =？（ D ） A ．(1)m ab - B ．(1)n ab - C ．(1) n m ab +- D ．(1)nm ab - 7．设???? ? ? ?=34 3122 321A ，求1 -A =？（ D ） A ．13 2353 22111?? ? ?-- ? ?-?? B ．132********-?? ? ?- ? ?-?? C ．13 2353 22111-?? ? ?- ? ?-?? D ．13 2353 22111-?? ? ?-- ? ?-? ? 8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ） A ．1 11[()]()()T T T AB A B ---= B ．111()A B A B ---+=+ C ．1 1() ()k k A A --=（k 为正整数） D ．1 1 ()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为正整数） 9．设矩阵m n A ?的秩为r ，则下述结论正确的是（ D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零 B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零 C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零 D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩，321321 317051A --?? ?=- ? ?-? ? 的秩为？（C ） 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； ,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试（A 卷） 《 2007线性代数 》试卷 20分） （1） 设A 是n m ?矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件 是： （2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθ θ-??= ?-?? ，则12007 P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A = （5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ??????是A 的n 个特征根，则1n i i E A λ=-∑ = 选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ?的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ： A ， 乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵 C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵 （2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,} r A r m n =<。集合{:,}n M X AX B X R ==∈则 A，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间 C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对 （3）若n阶方阵A，B满足，22 A B =，则以下命题哪一个成立 A，A B =±，B，()() r A r B = C，det det A B =±，D，()() r A B r A B n ++-≤ （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立： A，矩阵1A-为正交矩阵，B，矩阵-1A-为正交矩阵 C，矩阵*A为正交矩阵，D，矩阵-*A为正交矩阵 （5）4n阶行列式 111 110 100 -???-- -???- ?????? -??? 的值为： A，1，B，-1 C，n D，-n 三、解下列各题（共30分） 1．求向量 5 1 3 β ?? ? =- ? ? ?? ，在基 123 111 0,1,1 101 ααα ?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ? ?????? 下的坐标。 第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=? ?? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ?? (2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,??? ??+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换. 6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，??? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . . 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） 华南理工大学期末考试（B 卷） 《2010-11（上） 线性代数》试卷 注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 一、 1．对一个m 行n 列的矩阵做一个初等行变换相当于在这个矩阵的 边乘上一个初等矩阵。 2．设E 是单位矩阵。若3 0A =则-1()A E -= 3．设A 是一个秩为r 的m 行n 列矩阵，那么线性方程组0=AX 的基础解系包含的向量的个数为 4． 若10cos sin 0sin cos a b A θ θθθ?? ? = ? ?-?? 是一个正交矩阵， 则-1A = 5．设A 为n 阶可逆方阵，12,,,n λλλ???是A 的特征根，则-1A 的特征根为 二、 选择题（共20分） 1．如果将单位矩阵E 的第i 行与第j 行交换得到的矩阵设为),(j i P ，将单位矩阵 E 的第i 行乘以非0常数k 得到的矩阵设为))((k i P ，将单位矩阵E 的第i 行乘以常数k 加到第j 行得到的矩阵设为))(,(k i j P ）那么 A ， ))((1k i P -＝))((k i P ， B ，))(,(1k i j P -＝))(,(k i j P C ，),(1j i P -＝),(j i P ， D ， 上面的结论都不成立 2．若A ，B 为n 阶矩阵，则下面的结论一定成立的是 A ， )det()det()det( B A B A +=+， B ，)det()det()det(B A AB ?= B ， )()()(B rank A rank B A rank +=+， D ，)()()(B rank A rank AB rank ?= 3．若A ，B , C 是n 阶方阵，则以下命题哪一个成立 A ， BA A B =， B ， C AB BC A )()(= C ， 若AC AB =，则C B = D ， 若22A B =，则B A =或者B A -= 4．若M 是一个秩为m 的m 行n 列矩阵，则T M M -一定是 A ， 正交矩阵， B ， 反对称矩阵 C ， 可逆矩阵， D ， 对称矩阵 5．如果M 是m 行n 列矩阵，B 是m 维列向量,线性方程组B MX =的解集为W ，0=MX 的解集为V ，那么 A ， W 的两个向量的和在W 中， B ，V 的两个向量的和在V 中， C ， W 的向量与V 的向量的和在V 中， D ，V 的向量都在W 中 三、判断下面的命题是否正确（每小题4分，共12分）（二学分的只需要给出判 断，三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例） （1） 设A ，B 是n 阶矩阵，如果对于任意的n 维向量X ，有BX AX =，那么 B A = （2） 如果A ，B 是正交矩阵，那么AB 也是正交矩阵。 （3） 设A 是n 阶实对称矩阵，如果二次型AX X T 的秩为n 那么对于任意的实n 维非0的列向量X ，AX X T 都不为0。2019年度华南理工大学网络教学教育线性代数与概率统计随堂练习进步标准答案
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