初中数学-《一元一次方程》全章复习知识讲解

初中数学-《一元一次方程》全章复习知识讲解

【学习目标】

1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；

2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；

3．会根据实际问题列方程解应用题．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、一元一次方程的概念

1．方程：含有未知数的等式叫做方程．

2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

要点诠释：

（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方

程的标准形式．

（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；

②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．

3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．

要点二、等式的性质与去括号法则

1．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．3．去括号法则：

（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．

要点三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．

(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．

(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．

(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．

(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解

b

x

a

(a≠0)．

(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．

要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型

1.行程问题：路程＝速度×时间

2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率

3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价

4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量

5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数

6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =?+?+?+.

【典型例题】

类型一、一元一次方程的相关概念

1．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值．

【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．

【答案与解析】

解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程， 所以3m -4＝0且5-3m ≠0．

由3m -4＝0解得43m =

，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ??--?= ??

?，解得83x =-． 所以43

m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三： 【高清课堂：一元一次方程复习等式和方程例3】

【变式】下面方程变形中，错在哪里：

(1)方程2x=2y 两边都减去x+y ，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.

（2）3721223

x x x -+=+，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x ，去括号得：

9-21x=4x+2+2x.

【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.

（2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.

2.如果5(x+2)＝2a+3与(31)(53)

35

a x a x

+-

=的解相同，那么a的值是

________．

【答案】7 11

【解析】由5(x+2)＝2a+3，解得

27

5

a

x

-=．

由(31)(53)

35

a x a x

+-

=，解得

9

5

x a

=-．

所以279

55

a

a

-

=-，解得

7

11

a=．

【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．

举一反三：

【变式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则y x=________．

【答案】1

类型二、一元一次方程的解法

3．解方程：4621

1

32

x x

-+

-=．

【答案与解析】

解：去分母，得：2(4-6x)-6＝3(2x+1)．去括号，得：8-12x-6＝6x+3．

移项，合并同类项，得：-18x＝1．

系数化为1，得：

1

18

x=-．

【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．

举一反三：

【变式1】解方程26752254436z z z z z +---++=- 【答案】

解：把方程两边含有分母的项化整为零，得 267522544443366

z z z z z +++-=--+． 移项，合并同类项得：1122

z =，系数化为1得：z ＝1． 【高清课堂：一元一次方程复习解方程例1（2）】

【变式2】解方程：

0.10.050.20.05500.20.54x x +--+=. 【答案】

解：把方程可化为：0.520.550254

x x +--+=， 再去分母得：232x =-

解得：16x =-

4．解方程3{2x -1-[3(2x -1)+3]}＝5．

【答案与解析】

解：把2x -1看做一个整体．去括号，得：

3(2x -1)-9(2x -1)-9＝5．

合并同类项，得-6(2x -1)＝14． 系数化为1得：7213

x -=-，解得23x =-． 【总结升华】把题目中的2x -1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x -1＝a ，则原方程化为3[a -(3a+3)]＝5．

类型三、特殊的一元一次方程的解法

1．解含字母系数的方程

5.解关于x 的方程：11()(2)34

m x n x m -=+ 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．

【答案与解析】

解：原方程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+

当34m ≠时，原方程有唯一解：4643

mn m x m +=-； 当33,42

m n ==-时，原方程无数个解； 当33,42m n =≠-时，原方程无解； 【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax b =，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．

2．解含绝对值的方程

6. 解方程|x -2|＝3．

【答案与解析】

解：当x -2≥0时，原方程可化为x -2＝3，得x ＝5．

当x -2＜0时，原方程可化为-(x -2)＝3，得 x ＝-1．

所以x ＝5和x ＝-1都是方程|x -2|＝3的解．

【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x -2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x -2|＝3的解为x ＝-1和x ＝5．

举一反三：

【变式1】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，

则,,m n k 的大小关系为： ( )

A . m n k >> B.n k m >> C.k m n >> D.m k n >>

【答案】A

【变式2】若9x =是方程

123

x m -=的解，则__m =；又若当1n =时，则方程123x n -=的解是 ． 【答案】1； 9或3．

类型四、一元一次方程的应用

7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?

【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．

【答案与解析】 解：设李伟从家到火车站的路程为y 千米，则有： 151530601860y y +=-，解得：452y = 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为45

15213060

+=(小时)． 李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千米/时, 则有：

45

2271010116060

y x ===--(千米/时) 答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．

【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．

8. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?

【答案与解析】

解：设四座车租x 辆，十一座车租70411

x -辆，依题意得：

7047060601110492011

x x -?++?

?= 解得：x ＝1，704611x -= 答：公司租用的四座车和十一座车分别是1辆和6辆。

【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元”中挖掘两个等量关系构建方程求解。

举一反三：

【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

【答案】

解：设售货员最低可以打x 折出售此商品，得：

40002000(120%)x =+

解得：0.6x =

答：售货员最低可以打六折出售此商品．