2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(6)

2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（6）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}

B ．{x |x ＞1}

C ．{2，3，4}

D ．{1，2，3，4，5}

2．（5分）若z =i 2020+3i 1+i

，则z 的虚部是（ ）

A ．i

B ．2i

C ．﹣1

D ．1

3．（5分）已知α∈(?π2

，0)，sin(π?2α)=?12

，则sin α﹣cos α＝（ ） A ．

√5

2

B ．?√5

2

C ．

√62

D ．?√6

2

4．（5分）若a →

，b →

，c →

满足，|a →

|=|b →

|=2|c →

|=2，则(a →

?b →

)?(c →

?b →

)的最大值为（ ） A ．10

B ．12

C ．5√3

D ．6√2

5．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△P AB 是等边三角形，若四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，则球O 的表面积为（ ） A ．56π

B ．54π

C ．52π

D ．50π

6．（5分）数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则S 4＝（ ） A ．8

B ．12

C ．16

D ．24

7．（5分）已知函数f(x)=sin(2x ?π

3)，则下列关于函数f （x ）的说法，不正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于x =?π

12对称

B ．f （x ）在[0，π]上有2个零点

C ．f （x ）在区间(π

3，5π

6)上单调递减 D ．函数f （x ）图象向右平移

11π6

个单位，所得图象对应的函数为奇函数

8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知： ①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁； ②乙不在原始森林，也不在远古村寨；

③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；

④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．

若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

9．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列四个结论： ①f （x ）的最小正周期为π

2；

②f （x ）的最小值为﹣4；

③（π，0）是f （x ）的一个对称中心； ④函数f （x ）在区间（?2

3

π，?

5

12

π）上单调递增． 其中正确结论的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

10．（5分）函数y =

x

e x +e ?x

的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．（5分）已知椭圆

x 2a +

y 16

2=1与双曲线

x 2m ?

y 5

2=1有公共焦点F 1，F 2，且两条曲线

在第一象限的交点为P 点，则△PF 1F 2的面积为（ ）

A ．

112

B ．

212

C ．4√5

D ．8√5

12．（5分）已知函数f(x)=ln(x +√x 2+1)满足对于任意x 1∈[12

，2]，存在x 2∈[12

，2]，

使得f(x 12

+2x 1+a)≤f(lnx

2x 2

)成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．[ln2

2?8，+∞) B ．[ln22?8，?5

4?2ln2]

C ．(?∞，ln2

2?8]

D ．(?∞，?5

4?2ln2]

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）(√x 3

?2

x )4的展开式中，常数项是 ． 14．（5分）函数f （x ）＝（1

2）|x

﹣1|

+2cos πx （﹣4≤x ≤6）的所有零点之和为 ．

15．（5分）已知椭圆C ：

x 2a 2+y 2

b 2

=1(a ＞b ＞0)，A 为右顶点．过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于N （2，0），椭圆C 的离心率为2

3，则椭圆C 的标准方程为 ．

16．（5分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 2

，则c b

+

b c

的最大值为 ．

三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

17．（12分）设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n +1+a n ﹣1（n ≥2），a 3+a 4＝12． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{

1a n a n+2

}的前n 项和．

18．（12分）在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝3，AD ＝AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点． （1）求证：BD ⊥EG ；

（2）求二面角G ﹣DE ﹣F 的平面角的余弦值．

19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：

表1：新农合门诊报销比例

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%

根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：

表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内

70%10%15%5%各门诊就诊人次

占李村总就诊人

次的比例

如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．

（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？

（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，0），若以线段PQ为直径的圆与y轴相切．

（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若C 上存在两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →?OB →

=32，且△P AB 的周长为2|AB |+2，求|AB |的值．

21．（12分）已知函数f(x)=x 2?2ax ?ln 1

x

，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；

（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，A 点的直角坐标为(√3+2cosα，1+2sinα)（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+

π

6

)=m ．（m 为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）

（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围． 五．解答题（共1小题）

23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；

（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．

2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（6）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}

B ．{x |x ＞1}

C ．{2，3，4}

D ．{1，2，3，4，5}

【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}． 故选：C ．

2．（5分）若z =i 2020+3i 1+i ，则z 的虚部是（ ）

A ．i

B ．2i

C ．﹣1

D ．1

【解答】解：z =i 2020+3i 1+i =1+3i 1+i =(1+3i)(1?i)(1+i)(1?i)

=2+i ，

∴z 的虚部是1． 故选：D ．

3．（5分）已知α∈(?π

2，0)，sin(π?2α)=?1

2，则sin α﹣cos α＝（ ） A ．

√5

2

B ．?√5

2

C ．

√62

D ．?√6

2

【解答】解：因为sin(π?2α)=?1

2，所以sin2α=?1

2，2sinαcosα=?1

2， 所以（sin α﹣cos α）2＝1?2sinαcosα=3

2， 又α∈(?π

2

，0)，

所以sin α＜cos α，sin α﹣cos α=?√6

2

．

故选：D ．

4．（5分）若a →

，b →

，c →

满足，|a →

|=|b →

|=2|c →

|=2，则(a →

?b →

)?(c →

?b →

)的最大值为（ ） A ．10

B ．12

C ．5√3

D ．6√2

【解答】解：a →

，b →

，c →

满足，|a →

|=|b →

|=2|c →

|=2，

则(a →

?b →

)?(c →

?b →

)=a →

?c →

?a →

?b →

?b →

?c →

+b →2

=2cos ＜a →

，c →

＞?4cos ＜a →

，b →

＞?2cos ＜

b →

，c →

＞+4≤12，

当且仅当a →，c →同向，a →

，b →，反向，b →

，c →

反向时，取得最大值． 故选：B ．

5．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△P AB 是等边三角形，若四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，则球O 的表面积为（ ） A ．56π

B ．54π

C ．52π

D ．50π

【解答】解：四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，如图：四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值9√3，只有平面P AB 与底面ABCD 垂直，并且底面ABCD 面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为AB ＝AD ＝CD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，可得ABCD 是正六边形的一半，设AB ＝AD ＝CD ＝a ， 则四棱锥的体积的最大值为：1

3×

√3

2a ×3a 2×√32

a =9√3， 解得a ＝2√3．

此时，底面ABCD 的外心为E ，外接球的球心为O ，外接球的半径为R ， 所以R =(1

3

×

3

2

×2√3)2+(2√3)2=√13，

所以外接球的表面积为：4π×(√13)2=52π． 故选：C ．

6．（5分）数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则S 4＝（ ） A ．8

B ．12

C ．16

D ．24

【解答】解：数列{a n }是公差d 为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，

可得a 42＝a 1a 13，即（a 1+6）2＝a 1（a 1+24）， 解得a 1＝3，

则S 4＝4a 1+6d ＝4×3+6×2＝24． 故选：D ．

7．（5分）已知函数f(x)=sin(2x ?π

3)，则下列关于函数f （x ）的说法，不正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于x =?

π

12

对称

B ．f （x ）在[0，π]上有2个零点

C ．f （x ）在区间(π

3，5π

6)上单调递减 D ．函数f （x ）图象向右平移

11π6

个单位，所得图象对应的函数为奇函数

【解答】解：函数f(x)=sin(2x ?π3

)，

在A 中，函数f(x)=sin(2x ?π3

)的对称轴方程满足2x ?

π3=k π+π

2，k ∈z ， 整理得x =kπ

2+5π

12，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，对称轴为x =?π

12，故A 正确； 在B 中，函数f(x)=sin(2x ?π

3)在[0，π]上有2个零点，故B 正确； 在C 中，函数f(x)=sin(2x ?π3)的增区间满足： ?π

2

+2kπ≤2x ?π3≤π

2

+2kπ，k ∈Z ， 解得?

π12+kπ≤x ≤5π12

+kπ，k ∈Z ， ∴f （x ）在区间（π3

，5π5

）上单调递增，故C 错误；

在D 中，函数f(x)=sin(2x ?π

3)图象向右平移11π6

个单位，

得到的函数为f （x ）＝sin[2（x ?

11π6）?π

3

]＝2sin （2x ﹣4π）＝2sin2x ， 所得图象对应的函数为奇函数，故D 正确． 故选：C ．

8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知： ①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁； ②乙不在原始森林，也不在远古村寨；

③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件； ④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．

若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【解答】解：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁，则甲在千丈瀑布或原始森林， ②乙不在原始森林，也不在远古村寨，则乙在千丈瀑布或百里绝壁，

③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；若丙在远古村寨，则甲在原始森林，

④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨，则丁在千丈瀑布或原始森林， 故乙在百里绝壁，甲在原始森林，丙在远古村寨，丁在千丈瀑布， 故选：D ．

9．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列四个结论： ①f （x ）的最小正周期为π

2；

②f （x ）的最小值为﹣4；

③（π，0）是f （x ）的一个对称中心；

④函数f （x ）在区间（?2

3π，?5

12π）上单调递增． 其中正确结论的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【解答】解：由图象知T ＝2（π3

?

π12

）＝2×

π4=π

2，即2πω=π2，得ω＝4，故①正确， 则f （x ）＝A sin （4x +φ），由五点对应法得4×π

12+φ=π

2，得φ=π

6， 则f （x ）＝A sin （4x +π

6），f （0）＝A sin

π6

=1

2

A ＝2，得A ＝4，

即f （x ）＝4sin （4x +π6），最小值为﹣4，故②正确，

f （π）＝4sin （4π+π

6）＝4sin π6

=4×1

2=2≠0，则（π，0）不是f （x ）的一个对称中心；

故③错误，

当?23π＜x ＜?512π时，?8π3＜4x ＜?5π3，?8π3＜4x +π6＜?3π2，此时函数f （x ）在（?8π

3，?3π

2）上递增，故④正确， 故正确的是①②④， 故选：B ．

10．（5分）函数y =x

e x +e ?x 的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：根据题意，设f(x)=

x

e x +e ?x

，则f(?x)

=

?x

e ?x +e x =?f(x)，所以函数

f （x ）

是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ， 且当x →+∞时，f(x)=x

e x +e ?x →0，排除D ， 故选：A ． 11．（5分）已知椭圆

x 2a 2

+

y 16

2=1与双曲线

x 2

m 2

?

y 5

2=1有公共焦点F 1，F 2，且两条曲线

在第一象限的交点为P 点，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．

112

B ．

212

C ．4√5

D ．8√5

【解答】解：由题意，|PF 1|﹣|PF 2|＝2|m |，|PF 1|+|PF 2|＝2|a |， ∴|PF 1|＝|m |+|a |，|PF 2|＝|a |﹣|m |， ∵椭圆

x 2a 2

+

y 16

2=1与双曲线

x 2

m 2

?

y 5

2=1有共同的焦点，

∴a 2﹣16＝m 2+5， ∴a 2﹣m 2＝21，

∴cos ∠F 1PF 2=2m 2+2a 2?4(a 2?16)2(a 2?m 2)

=2a 2?42+2a 2?4(a 2?16)42=11

21． ∴sin ∠F 1PF 2=8√5

21．

∴△PF 1F 2的面积为1

2|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=12×21×8√5

21=4√5．

故选：C ．

12．（5分）已知函数f(x)=ln(x +√x 2+1)满足对于任意x 1∈[12，2]，存在x 2∈[12

，2]，

使得f(x 12

+2x 1+a)≤f(lnx

2x 2

)成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．[

ln2

2

?8，+∞) B ．[

ln22?8，?5

4

?2ln2]

C ．(?∞，ln2

2?8] D ．(?∞，?5

4?2ln2]

【解答】解：∵f （﹣x ）+f （x ）=ln(?x +2+1)+ln(x +√x 2+1)=ln 1＝0，x ∈R ， ∴函数f(x)=ln(x +√x 2+1)为奇函数，且在[0，+∞）单调递增， ∴f （x ）在R 上单调递增，

又对于任意x 1∈[12，2]，存在x 2∈[12，2]，使得f(x 12

+2x 1+a)≤f(lnx

2x 2)成立，

∴f(x 12

+2x 1+a)max ≤(lnx

2x 2)max ，

∴(x 12+2x 1+a)max ≤(

lnx 2

x 2)max

， ∵y ＝x 2+2x +a 在区间[1

2

，2]上单调递增，

∴y max ＝22+2×2+a ＝8+a ． 令h （x ）=

lnx x

， 则h ′（x ）=

1?lnx

x 2＞0． ∴h （x ）在区间[1

2，2]上单调递增， ∴h （x ）max ＝h （2）=ln2

2． ∴8+a ≤ln2

2， ∴a ≤ln2

2?8， 故选：C ．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）(√x 3

?2

x

)4的展开式中，常数项是 ﹣8 ． 【解答】解：二项式(√x 3

?2x

)4的展开式的通项公式为 T r +1=?4r ?（√x 3

）4﹣

r ?（﹣2）r ?x ﹣

r =?4r ?

（﹣2）r ?x 4?4r 3．

令x 的幂指数

4?4r 3

=0，解得r ＝1，

∴展开式中的常数项为： T 2=?41?（﹣2）1＝﹣8． 故答案为：﹣8．

14．（5分）函数f （x ）＝（1

2）|x

﹣1|

+2cos πx （﹣4≤x ≤6）的所有零点之和为 10 ．

【解答】解：由f （x ）＝0，得（12

）|x ﹣1|

＝﹣2cos πx ，设y ＝（1

2

）|x

﹣1|

和y ＝﹣2cos πx ，

作出两个函数的图象， 则y ＝（1

2）|x

﹣1|

y ＝关于x ＝1对称，

分别作出函数y ＝（12

）|x

﹣1|

和y ＝﹣2cos πx 图象如图：

由图象可知两个函数共有10个交点，它们中有5组关于x ＝1对称， 不妨设关于x 对称的两个零点的横坐标分别为x 1，x 2， 则

x 1+x 22

=1，

即x 1+x 2＝2，

∴所有10个零点之和为5（x 1+x 2）＝5×2＝10， 故答案为：10．

15．（5分）已知椭圆C ：

x 2a 2+y 2

b 2

=1(a ＞b ＞0)，A 为右顶点．过坐标原点O 的直线交椭圆

C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于N （2，0），椭圆C 的离心率为2

3，则椭圆C 的标准方程为

x 236

+

y 220

=1 ．

【解答】解：设P （x ，y ），则由A （a ，0）； 线段AP 的中点为M ，则M （

x+a 2

，y

2

）；

由题意，Q ，N ，M 三点共线，k MN ＝k NQ ；

即1

2y?0x+a

2

?2=

0?(?y)2?(?x)

；

可得x +a ﹣4＝2+x ；

所以a ＝6，由椭圆C 的离心率为2

3，得c ＝4，b 2＝20；

故椭圆C 的标准方程为：x 236

+

y 220

=1．

故答案为：

x 236

+

y 220

=1．

16．（5分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 2

，则c

b

+b c 的最大值为 2√2 ．

【解答】解：因为 S △ABC =1

2

?a ?a

2

=1

2

bc sin A ，

即a 2＝2bc sin A ；

由余弦定理得cos A =b 2

+c 2?a 2

2bc

， 所以b 2+c 2＝a 2+2bc cos A ＝2 bc sin A +2bc cos A ； 代入得c

b +

b c

=

b 2+

c 2bc

=2sin A +2cos A ＝2√2sin （A +π

4），

当A =π4时，c

b

+b 4

取得最大值为2√2．

故答案为：2√2．

三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）

17．（12分）设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n +1+a n ﹣1（n ≥2），a 3+a 4＝12． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{

1a n a n+2

}的前n 项和．

【解答】解：（1）依题意，由2a n ＝a n +1+a n ﹣1（n ≥2）可知数列{a n }是等差数列． 设等差数列{a n }的公差为d ，则

a3+a4＝（a1+2d）+（a1+3d）＝2+5d＝12，解得d＝2．

∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．

（2）由（1）知，1

a n a n+2=

1

(2n?1)(2n+3)

=

1

4

（

1

2n?1

?

1

2n+3

），

设数列{1

a n a n+2

}的前n项和为T n，则

T n=

1

a1a3

+1

a2a4

+1

a3a5

+?+1

a n?2a n

+1

a n?1a n+1

+1

a n a n+2

=14（1?15）+14（1

3

?

1

7

）+

1

4（

1

5

?

1

9

）+?+

1

4（

1

2n?5

?

1

2n?1

）+

1

4（

1

2n?3

?

1

2n+1

）

+14（

1

2n?1

?

1

2n+3

）

=14（1?15+13?17+15?19+?+1

2n?5?1

2n?1

+1

2n?3

?1

2n+1

+1

2n?1

?1

2n+3）

=14（1+13?1

2n+1?1

2n+3）

=13?n+1

(2n+1)(2n+3)．

18．（12分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝4，EF＝3，AD＝AE＝BE＝2，G是BC的中点．

（1）求证：BD⊥EG；

（2）求二面角G﹣DE﹣F的平面角的余弦值．

【解答】解：（1）证∵EF⊥平面ABE，AE?平面AEB，BE?平面AEB，

∴EF⊥AE，EF⊥BE，

又AE⊥EB，

∴FE，BE，AE两两垂直．

以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴

建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），

C （2，4，0），F （0，3，0），

D （0，2，2）， G （2，2，0）．

∴EG →

=(2，2，0)，BD →

=(?2，2，2)， ∴DB →

?EG →=?2×2+2×2+2×0=0， ∴BD ⊥EG ．

（2）由已知得EB →

=(2，0，0)是平面DEF 的法向量． 设平面DEG 的法向量为n →

=(x ，y ，z)， ∵ED →

=(0，2，2)，EG →=(2，2，0)，

∴{ED →

?n →

=0EG →?n →=0，即{y +z =0x +y =0，令x ＝1，得n →=(1，?1，1)． 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ， 则cos θ=

|n →?EB →

|

|n →

|?|EB →|

=√3

3 ∴平面EDG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为

√33

．

19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例

医院类别 村卫生室 镇卫生院 二甲医院 三甲医院 门诊报销比例

60%

40%

30%

20%

根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：

表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

一个结算年度内

各门诊就诊人次

占李村总就诊人

次的比例

70%10%15%5%

如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．

（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？

（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望．

【解答】解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为2000×70%＝1400，2000×10%＝200，2000×15%＝300，2000×5%＝100，

而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：100×80%＝80人，

设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记

为A，则P（A）=C802

C100

2

=316

495；

（Ⅱ）由题意可得随机变量X的可能取值为：50﹣50×0.6＝20，100﹣100×0.4＝60，200﹣200﹣200×0.3＝140，500﹣500×0.2＝400

p（X＝20）＝0.7，P（X＝60）＝0.1，P（X＝140）＝0.15，P（X＝400）＝0.05，

所以X的发分布列为：

所以可得期望EX＝20×0.7+60×0.1+140×0.15+400×0.05＝61

20．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知点P （1，0），若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切． （Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）若C 上存在两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →

?OB →

=32，且△P AB 的周长为2|AB |+2，求|AB |的值．

【解答】解：（Ⅰ）设点Q （x ，y ），圆心N （x 0，y 0）， 圆与y 轴相切于点C ，则|PQ |＝2|NC |， ∴√(x ?1)2+y 2=2|x 0|， 又点N 为PQ 的中点，∴x 0=

x+1

2

∴√(x ?1)2+y 2=|x +1|，整理得：y 2＝4x ． ∴点Q 的轨迹方程为：y 2＝4x ；

（Ⅱ）P （1，0）恰为y 2＝4x 的焦点，设直线AB 的方程为：x ＝my +t ，即x ﹣my ﹣t ＝0， 联立方程组{y 2=4x x =my +t

，得y 2﹣4my ﹣4t ＝0，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2＝﹣4t ，y 1+y 2＝4m ，

∴x 1x 2=y 124?y 224

=t 2，

∴OA →?OB →

=x 1x 2+y 1y 2＝t 2﹣4t ＝32，

解得t ＝8或t ＝﹣4（舍），∴直线AB 经过点（8，0）； 因为△P AB

的周长＝|P A |+|PB |+|AB |＝x 1+1+x 2+1+|AB |=y 124+y 22

4

+2+|AB |=

(y 1+y 2)2

?2y 1y 24+2+|AB |=16m 2+8t

4+2+|AB |＝2|AB |+2， 即|AB |=16m 2+8t 4=16m 2+644

=4m 2

+16， 又因为|AB |

=√(x 1?x 2)2+(y 1?y 2)2=√m 2+1

|y 1﹣y 2|=

√m 2+1√16m 2+16t =4√m 2+1√m 2+8 则4m 2+16＝4√m 2+1√m 2+8，解得m ＝±2√2， 所以|AB |＝4m 2+16＝4×8+16＝48．

21．（12分）已知函数f(x)=x 2?2ax ?ln 1

x ，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；

（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值．

【解答】解：（1）f ′（x ）＝2x ﹣2a +1x =2x 2

?2ax+1

x

，x ＞0， 令y ＝2x 2﹣2ax +1，

当△＝4a 2﹣8≤0，即?√2≤a ≤√2时，y ≥0，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜?√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个负根，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增；

当a ＞√2时，2x 2

﹣2ax +1＝0有两个正根，分别为x 1=a?√a 2?22，x 2=a+√a 2?22

，

此时f （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减． 综上可得：a ≤√2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增， a ＞√2时，f （x ）在（0，a?√a 2?2

2

），（

a+√a 2?2

2

，+∞）上单调递增，

在（

a?√a 2?2

2

，

a+√a 2?2

2

）上单调递减．

（2）由（1）可得x 1+x 2＝a ，x 1?x 2=1

2

，a ＞√2， 2ax 1＝2x 12+1，2ax 2＝2x 22+1， ∵a ＞√2，a

2＞

√22

， ∴x 1∈（0，√22），x 2∈（√2

2

，+∞），

f （x 2）﹣2f （x 1）=x 22?2ax 2+lnx 2﹣2（x 12?2ax 1+lnx 1） =?x 22+2x 12+lnx 2﹣2lnx 1+1 =?x 2

2

+2(12x 2)2+lnx 2+2ln 12x 2+1=?x 22+12x

2

2+32ln x 22+1+2ln 2， 令t =x 22，则t ＞12

，

g （t ）＝﹣t +12t +3

2lnt +1+2ln 2，

g ′（t ）＝﹣1?12t 2+32t =?2t 2

+3t?12t 2=?(2t?1)(t?1)

2t 2， 当1

2

＜t ＜1时，g ′（t ）＞0；当t ＞1时，g ′（t ）＜0，

∴g （t ）在（12

，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 g （t ）max ＝g （1）=

1+4ln2

2

f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值为

1+4ln22

．

四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，A 点的直角坐标为(√3+2cosα，1+2sinα)（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+

π

6

)=m ．（m 为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）

（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，求实数m 的取值范围．

【解答】解：（1）设A （x ，y ），又A 点的直角坐标为(√3+2cosα，1+2sinα)， ∴{x =√3+2cosαy =1+2sinα，把两式移项平方作和得：(x ?√3)2+(y ?1)2=4； （2）由2ρcos(θ+π

6)=m ， 得2ρ×

√3

2

cosθ?2ρ×12

sinθ=m ，即√3x ?y ?m =0，

如图，要使曲线C 上存在四个点到直线的距离为1，

则圆C 的圆心C （√3，1）到直线√3x ?y ?m =0的距离小于1． 即

|3?1?m|

2

＜1，解得0＜m ＜4．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；

（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3， 由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ， 由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤1

3；

当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6， 此时不等式f （x ）≥2无解，

综上，不等式f （x ）≥2的解集为[?1，1

3]．

（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤0

3?3x ，0＜x ＜3?x ?3，x ≥3

．

当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；

当0＜x ＜3时，f （x ）＝3﹣3x ∈（﹣6，3）； 当x ≥3时，f （x ）＝﹣x ﹣3≤﹣6．

∴函数y ＝f （x ）的最大值为m ＝3，则a +b +c ＝3． 由柯西不等式可得（1+1+1）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2， 即3（a 2+b 2+c 2）≥32，即a 2+b 2+c 2≥3， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 因此a 2+b 2+c 2≥3．