高中基本不等式及其延伸不等式总结及其证明
1、22
2a b ab +≥。 证明：()2
22220
202a b a b ab a b ab
-≥∴+-≥∴+≥ 基本变形：
a b +≥
2
a b +≤，用来去根号很好
2a ≤
22222a b a b ++??≥ ???
)a b ≥
+，用来去根号很好。 2a b b a +≥ 2
2b a b a
+≥ ()22
a b ab +≤
推论1：
222a b c ab bc ac ++≥++
证明：
()()()()
2222222220
22()a b a c b c a b c ab ac bc a b c ab bc ac
-+-+-≥∴++≥++∴++≥++
推论的变形： ()22223
a b c a b c
++++≥ 推论2：
a b c ++≥推论的变形：
3
a b c ++≥3
3a b c abc ++??≤ ???
，当遇到三个因子相乘时用很好。比如 ()()()()3827
a b c a c b c a b +++++≤ 推论3：
123n a a a a +++≥ 柯西不等式：
()()()2
22222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++
证明：构造函数
()()()()()2222112233n n f x a x b a x b a x b a x b =-+-+-++-
即
()()()()2222222221231122331232n n n n f x a a a a x a b a b a b a b x b b b b =++++-+++++++++
易知0?≤
所以()()()22212n a a +
+
推论： ()()()2
222212121122a a b b a b a b ++≥+
调和平均数和平方平均数：
0,22a b ze
ab a b a b a b <≤+≤≤≤≤≤+
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
2021-2022年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练43基本不等式理
2021年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练43基本 不等式理 1．(xx·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①???x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ??x ＋2y ＋1≤0， x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③???x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④???x ＋2y ＋1≤0， －x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.
3．(xx·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y≥0，x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大 值为( ) A.2 3 B ．1 C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 .
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
基本不等式练习题
3.４基本不等式 重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求:①了解基本不等式的证明过程。 ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题:若a，ｂ,c都是小于1的正数,求证：，，不可能同时大于． 当堂练习: 1．若,下列不等式恒成立的是（) A。Ｂ。 C。 D. 2. 若且,则下列四个数中最大的是（） Ａ． B.Ｃ．２ａb Ｄ。a ３。设ｘ>0,则的最大值为 ( ）Ａ．3 B. C。 D．-1 4．设的最小值是( ) A． 10 B. C. Ｄ。 5. 若x, ｙ是正数,且，则ｘy有( ） A．最大值１６Ｂ．最小值Ｃ．最小值１6 Ｄ．最大值 6. 若a， b，ｃ∈R，且ab+ｂc+cａ=１, 则下列不等式成立的是 ( ) A． B． C.Ｄ。 7。若ｘ〉0， y＞０，且x＋y4,则下列不等式中恒成立的是 ( ）
Ａ. B。 C。 D。 8。ａ，b是正数，则三个数的大小顺序是（） A.B。 C．Ｄ. 9．某产品的产量第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,设这两年平均增长率为ｘ，则有( ) A.Ｂ． C．D。 １0．下列函数中，最小值为4的是 ( ） Ａ。B． C． D． １１. 函数的最大值为。 1２. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每ｍ2 的造价为２00元和１5０元，那么池的最低造价为元． 13。若直角三角形斜边长是１，则其内切圆半径的最大值是。 1４。若x, ｙ为非零实数,代数式的值恒为正，对吗？答。 1５．已知：, 求mx+ny的最大值. 16。已知.若、, 试比较与的大小,并加以证明. 1７。已知正数a， b满足ａ+b＝1(１）求ab的取值范围；（2）求的最小值. 18. 设.证明不等式对所有
高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .
【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .
【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中数学基本不等式专题复习
第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0<-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
（2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值
浅谈高中数学不等式的证明方法
浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
高中数学基本不等式练习题
一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立∴原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．
高中数学基本不等式练习题
一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为．
全国高中数学竞赛专题不等式
全 国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的 性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>? >>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）. ||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，
专题复习：高中数学基本不等式经典例题
基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且 仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
高中数学不等式证明的常用方法经典例题
关于不等式证明的常用方法 重难点归纳 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果 作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要 有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不 等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 典型题例 例1证明不等式n n 213 12 11<+ ++ + Λ(n ∈N *) 知识依托 本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 例2求使 y x + ≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 例3已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a + a 1)( b +b 1)4 25 证法一 (分析综合法） 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法） 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法） 巩固练习 1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且 y b x a +=1，x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足 a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是_________ 3 若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________ 4 已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1 求证 (1)a 2+b 2+c 2≥ 3 1 (2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明 x ，y ，z ∈［0，3 2 ］ 6 证明下列不等式 (1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则 c b a y b a c x a c b ++ +++22z 2 ≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(z y x 1 11++) 7 已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n (1)证明 n i A i m ＜m i A i n (2)证明 (1+m )n ＞(1+n )m 8 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证 a +b ≤2，ab ≤1 不等式知识的综合应用 典型题例 例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度) 知识依托 本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值 例2已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1
基本不等式练习题及答案.doc
双基自测 1 1．( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数 y ＝ x ＋ x ( x ＞0) 的值域为 ( ) ． A ．( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) B ．(0 ，＋∞) C ．[2 ，＋∞ ) D ．(2 ，＋∞) 2 a ；② a ＋b 2 ＋ 2 1 ≥ ，其中正确的个数是 ．下列不等式：① a ＋ ＞ ≤2；③ x 2 1 2 x 1 ab ＋1 ( ) ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ．若 a ＞ ，b ＞ ，且 a ＋ 2 b － ＝ ，则 ab 的最大值为 ( ) ． 3 0 0 2 0 B ．1 C ．2 D ． 4 ． ·重庆 若函数 f x ＝ x ＋ 1 x ＞ 在 x ＝ a 处取最小值，则 a ＝ ． 4 (2011 ) ( ) x －2 ( 2) ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 ．已知 t ＞ ，则函数 y ＝ t 2－ t ＋ 1 5 0 t 的最小值为 ________． 考向一 利用基本不等式求最值 1 1 【例 1】?(1) 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋y ＝1，则 x ＋y 的最小值为 ________； x 2 (2) 当 x ＞0 时，则 f ( x) ＝x 2＋1的最大值为 ________． 1 【训练 1】 (1) 已知 x ＞1，则 f ( x) ＝ x ＋ x － 1的最小值为 ________． 已知 ＜x 2 x － x 2 的最大值为 (2) ＜ ，则 y ＝ ________． 0 5 2 5 (3) 若 x ，y ∈ (0 ，＋∞ 且 2 x ＋ y － xy ＝ ，则 x ＋ y 的最小值为 ． ) 8 0 ________ 考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例 2】?已知 a ＞0， b ＞ 0， c ＞ 0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a ＋b ＋c. ．