高等数学习题详解第7章多元函数微分学(精品文档)
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：
A (2，1,-6)，
B (0，2，0)，
C (-3，0,5)，
D (1，-1，-7).
解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则
(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).
(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).
同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).
3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即
(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.
解之得z =11，故所求的点为M (0，0，
149
). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2
12
14M M =，2
2
13236,6M M M M ==
所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.
解：所求平面方程为1235y x z
+
+=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为
Ay +Bz =0.
又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为
Ax +Cz +D =0.
又点M 1和M 2都在平面上，于是
A D C D +=??
+=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.
显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？
解：表示以点（1，-2，0
9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.
解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
1. 下列各函数表达式:
(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,
求(f x y -； (2)
已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).
解：（1
）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2
）2
222(()2f x y x y x y -=+=-+
所以22(,)2f x y x y =-
2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1
z x y =+-；
(2) z =
(3) (,))f x y x y =-；
(4) 22(,)f x y =
解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠
故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。 （2）由
2210
10x y ?-≥?-≥?
可得11
11x y y -≤≤??≥≤-?
或
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。 （3）由
10
0x x y -≥??->?
可得
1
x y x ≥??
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐
标1x ≥的部分。 （4）由
222
131
0x y x y ?-≤--≤?-≥?
可得
222
24
x y y x ?≤+≤?≤?
故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。 3. 说明下列极限不存在：
(1) 00
lim x y x y
x y
→→-+；
(2) 362
00
lim x y x y
x y →→+.
解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有
(,)(0,0)0 (1)1
lim lim (1)1x y x y kx
x y k x k x y k x k →→=---==+++。
显然，此时的极限值随k 的变化而变化。 因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。 （2）当点P (x ,y )沿曲线3
y kx =趋于点(0,0)时，有 3
3662262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kx
x y kx k
x y k x k →→===+++。 显然，此时的极限值随k 的变化而变化。 因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。
4. 计算下列极限：
(1) 01
lim x x y e y
x y →→++； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x
→;
(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y
→++；
(4)
(,)(0, 0)
lim
x y →.
解：（1）因初等函数(,)x e y
f x y x y
+=+在(0,1)处连续，故有
001
1
lim 201
x x y e y e x y →→++==++
（2）
(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()
lim
lim 3x y x y xy xy y x xy →→==
（3）33332
233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y
→→++=-+=++ （4
）(,)(0, 0)
(,)(,)1lim
lim lim 4x y x y x y →→→===。 5. 究下列函数的连续性：
(1) 22
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ?-≠?
+=??=?
(2) 22
22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?-≠?
=+??=?
解：(1)22
(,)(0,0)(,)(0,0)
lim lim ()0(0,0)x y x y x y x y f x y →→-=-==+
所以f(x,y)在(0,0)处连续.
(2) 22222
222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kx
x y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.
6. 下列函数在何处间断？ (1) 221z x y =-；
(2) ln z =解：(1)z 在{(x ,y )| x y =}处间断. (2)z 在{(x ,y )| 22
1x y +≥}处间断.
习题7-3
1. 求下列函数偏导数：
(1) z =x 3+3xy +y 3；
(2) 2
sin y z x
=;
(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠， (5) z y
u x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y ??=+=+??
(2) 222sin 1,cos 2.y z z y y x y x x
??=-=?? (3) 13,.33z z x x y y x y
??-==?-?-
(4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y --??=+=+=+??
(5)
12,ln ().z
z
y y u z u z x x x x y y y
-??==-?? 1ln ()z
y u x x z y ?=?
(6) 22sin()2,z u
x y e x x
-?=--+? 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --?=--+-=-+?
22sin()()z z u
x y e e z
--?=--+-? 22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);
(2) 22
(,
)arctan x y f x y x y
+=-;求(1,0)x f
(3) 2
2arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；
(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 2
1
(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==
+故
因此11(1,0).112
x f =
=+ (3) 222arctan(1
(,2)ln(4)sin(1)2
x f x x
x e =++-
因此
2222arctan(4)
22arctan(12(,2)cos(1)224
sin(1)x x x x x f x x x e
x x e ++=+-++-
所以arctan(11
(1,2)25
x f e =+.
(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z y
z f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz --===---
故11
(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.
22
x y z f f f ==-=
3．设r =，证明： (1) 2
2
2
1r r r x y z ?????????++= ? ?
??????????; (2) 222222
2r r r r x y z
???++=???; (3) 2222222(ln )(ln )(ln )1r r r x y z r ?
??++=???.
证明：r x ??=,x r = 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ??,y r =r z ??.
z r
=
(1)
()
()
2
2
2
2222
221x y z r r r r x
y z r r
++?????++
=== ??????
(2) 2
222
2223
r x r x r r r x x r x r r r ?--?-?===? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：22
2222
2323
,r y r r r z y r z r -??-==
?? 222
222222233322.r x y r r r r r x y z r r
--???∴++===???
(3) 222222
2(ln )1ln ln(),2r x x r x y z x x y z r
?=++==?++ 2
222
244
2(ln )2r r x r r r x x x r r ?-?-?==
? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：
222222
2424
(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ?-?-==?? 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1
r r r r x y z x y z r r
???-++∴++==???.
4. 求下列函数的二阶偏导数22z x ??,22z y ??,2
z y x
???： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.
解：(1) 2
22
212631,246.z z x xy y x y x x
??=+--=+??
222361,6.z z
x xy x y y
??=-+=-?? (2) 2222
211
ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+??=++=+=?++?++
222
,.()z x z x y x y y x y ??==-?+?+ 5. 某水泥厂生产A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作x ,y (单位：吨)，总成本(单位：
元)为
C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,
求当x =4,y =3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：(,)6010,(,)1040,x y C x y x y C x y x y =+=+ (4,3)270,(,)160.x y C C x y ∴==
经济含义:当A ,B 两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B 水泥产量不变，而A 水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A 水泥产量不变，而B 水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。
6. 设某商品需求量Q 与价格为p 和收入y 的关系为
Q =400－2p +0.03y .
求当p =25,y =5000时，需求Q 对价格p 和收入y 的偏弹性，并解释其经济含义. 解：
(,)2,(,)0.03,p y Q p y Q p y =-= (25,5000)2,(25,5000)0.03.p y Q Q =-=
经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.
习题7-4
1. 求下列函数的全微分：
(1) z =4xy 3+5x 2y 6；
(2) z
(3) u =ln(x －yz )； (4) sin
2
yz y
u x e =++ 解：(1) 36225410,1230,z z y xy xy x y x y ??=+=+??
所以 3323
z 2(2)d 6(2)d .d y xy x xy xy y =++5+5 (2)
z z
x y ??==?? 所以
z .d x y =
(3) 1,,,y u u z u x x yz y x yz z x yz
-??-?===?-?-?-
所以 1 u d d .y z d x y dz x yz x yz x yz
--=++---
(4) 11,cos ,,22yz yz y
u u u ze ye x y z
???==+=???
所以 1
u d (cos )d .22
yz yz y d x ze y ye dz =+++ 2. 计算函数z =x y 在点(3，1)处的全微分. 解：1,ln ,y y z z yx x x x y -??==??
所以 1
z d ln d .y y d yx x x x y -=+ (3,1) d 3ln 3d .dz x y =+
3. 求函数z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2的全增量与全微分.
解：,,z z y x x y
??==??所以(2,3)(2,3)3,2,z z x y ??==??
(2,3)(2,3)
0.30.40.7z z
z x y x y ???≈
?+?=+=?? (2,3) 3d 2d .dz x y =+
4. 计算 (1.04) 2.02的近似值.
设函数f (x ,y )=x y .x =1,y =2,Δx =0.04,Δy =0.02.
f (1,3)=13=1,f x (x ,y )=yx y -1,f y (x ,y )=x y ln x ,
f x (1,2)=2,f y (1,2)=0.
由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得
(1.05) 3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.
5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm ，内半径为4 cm ，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm ，求容器外壳体积的近似值.
解：解 设圆柱的直径和高分别用x ，y 表示，则其体积为
221(,)()24
x V f x y πy πx y ===.
于是，将所需的混凝土量看作当x +Δx =8+2×0.1，y +Δy =20+0.1与x =8，y =20时的两个圆柱体的体积之差ΔV (不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式
ΔV ≈d V =f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy .
又211
(,),(,)24
x y f x y πx y f x y πx ==，代入x =8，y =20，Δx =0.2，
Δy =0.1，得到
211
d 8200.280.117.655.264.24
V V πππ?≈=???+??=≈(m 3).
因此，大约需要55.264m 3的混凝土.
习题7-5
1. 求下列函数的全导数：
(1) 设z =e 3u +2v ，而u =t 2,v =cos t ,求导数
d d z t
； (2) 设z =arctan(u －v ),而u =3x ,v =4x 3,求导数d d z
x ;
(3) 设z =xy +sin t ,而x =e t ,y =cos t ,求导数d .d z
t
解： (1)
d d d d dz z u z v dt u t v t
??=?+??? 3232322(sin )u v u v e t e t ++=?+?-
22
32cos 32cos 62sin t t t t te te ++=-
(2)
d d d d dz z u z v dx u x v x
??=?+??? 2
2
113121()1()x u v u v -=?+?+-+- 32
3(14).1(34)x x x =?-+- (3) d d d d y
dz z x z z dt x t y t t
???=?+?+???
(sin )cos t y e x t t =?+?-+
cos sin cos t t t e e t t =?-+
2. 求下列函数的偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数)：
(1) 设z =u 2v －uv 2，而u =x sin y ,v =x cos y ，求z
x ??和z y
??；
(2) 设z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求z
x ??和z y
??；
(3) 设u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求u
x ??和u y
??；
(4) 设w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求w x ??,w y ??,w
z
??.
解：(1)22(2)sin (2)cos z z u z v
uv v y u uv y x u x v x
?????=
?+?=-+-????? 222222(sin 2cos )sin (sin sin 2)cos x y x y y x y x y y =-+-
22(2)cos (2)sin z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y
?????=?+?=---????? 222222(sin 2cos )cos (sin sin 2)sin x y x y x y x y x y x y =-+- (2) 令223,42,v u x y v x y z u =+=+=则. 16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x
-?????=?+?=?+?????? ()
()
421
422222226343ln(3)x y x y
x x y x y x y +-+=++++
12ln 2v v z z u z v
vu y u u x u y v y -?????=?+?=?+?????? ()
()
421
422222222323ln(3)x y x y
y x y x y x y +-+=++++
(3)
21232w
f f xy f y z x
?=+?+?? 2232w f x f xyz y ?=?+??
23w
f xy z
?=?? 3. 应用全微分形式的不变性，求函数arctan
1x y
z x y
+=-的全微分. 解：令,1,arctan u
u x y v xy z v
=+=-=则
2
22111(arctan )1()1()
u u
dz d du dv u u v v v v v
==-++ 而,du dx dy dv ydx xdy =+=--
故2
()()11
[]1111x y ydx xdy dz dx dy xy xy x y xy +--=+---+??
+ ?-??
22
.11dy dx x y
=+++ 4. 已知sin xy －2z +e z =0,求z x
??和z
y ??..
解：两同时对x 求偏导，可得
cos 20.z z z
y xy e x x
??-+=??
故cos .2z
y xy
z x e ?=?- 两边同时对y 求偏导，可得
cos 20.z z z
x xy e y y ??-+=??
故cos .2z
x xy
z y e ?=?- 5. 若f 的导数存在，验证下列各式：
(1) 设u =yf (x 2－y 2)，则2u u y x y x u
x y
??+=??；
(2) 设()y
z x y x f x =+，则z z x y z x y x y
??+=+??.
证：(1) 22'()2u
yf x y x x ?=-??,22222()2'().u f x y y f x y y
?=---? 所以232222222'()2[()2'()]u u y xy y f x y x xy f x y y f x y xu x y
??+=-?+---=??.
(2) 21()'()()y y
z y f xf x x x x
?=++?-?,1'().y z x xf y x x ?=+?
所以11[()'()()]['()]y y y
z z x y x y f f y x xf z xy x y x x x x x ??+=++?-++=+??.
6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f 具有二阶连续偏导数)：
(1) arctan 1x y
z x y +=-；
(2) z =y ln x ；
(3) z =f (xy ,x 2－y 2).
解：(1)由第3题可知
2
2
1,.11dy z z
x y x y ??==??++ 故222222222222,,0(1)(1)y z x z z z
x y y x x x y y -?-???====?????+?+. (2) ln ln 11ln ,ln .x x z z y y xy x x y
-??==??
故2ln 2ln 22211ln ln x x z y y y y x x x ?=-?, 2ln 22ln (ln 1),x z
x x y y
-?=-? 22ln 1ln 1ln 1111
ln ln (1ln ln )x x x z z y x y y y x y x y y x x x x
---??==+??=+????. (3) 122,z
f y f x x ?=+?122.z f x f y y
?=-?
故2111222(2)2z y f y f x f x ?=++?22212211122222(2)442.x f y f x y f xyf x f f ++=+++ 22211122212211122222(2)22(2)442.z
x f x f y f y f x f y x f xyf y f f y
?=----=-+-? 22221111221221111222(2)2(2)(22)4.z z
f y f x yf x f x yf f xyf x y f xyf x y y x
??==+-+-=++--???? 7. 求由下列方程所确定的隐函数z =f (x ,y )的偏导数,z z
x y ????：
(1) x 2+y 2+z 2－4z =0；
(2) z 3－3xyz =1.
解：(1)两边同时对x 求偏导得2240,z z x z
x x ??+-=??故2.42z x x z
?=?- 两边同时对y 求偏导得2240,z z y z y y
??+-=??故2.42y
z y z ?=?-
(2) 两边同时对x 求偏导得233()0,z z
z y z x x ??-+=??故23.33yz z x z y ?=?- 两边同时对y 求偏导得故23.33z xz y z x
?=?-
习题7-6
1. 求下列函数的极值：
(1) f (x ,y )=x 2+y 3－6xy +18x －39y +16； (2) f (x ,y )=3xy －x 3－y 3+1.
解：(1) 先解方程组2
(,)26180
(,)36390x y
f x y x y f x y y x =-+=???=--=?? 得驻点为(-6,1),(6,5).
()()2,,6,,y,xx xy yy f f x y f x y ==-=6
在点(-6，1)处，Δ=AC -B 2=2×6-36<0,所以f (-6，1)不是极值； 在点(6，5)处，Δ= AC -B 2=2×30-36>0，又A >0，所以函数在(6，5)处有极小值f (6，5)=-90.
(2) 先解方程组2
2
(,)330
(,)330x y
f x y y x f x y x y ?=-=??=-=?? 得驻点为(0,0),(1,1).
()()6,,3,,y,xx xy yy f x f x y f x y =-==-6
在点(0，0)处，Δ=AC -B 2=-9<0,所以f (0，0)不是极值；
在点(1，1)处，Δ=AC -B 2=27>0,又A <0，所以函数在(1，1)处有极大值f (1，1)=2.
2. 求函数f (x ,y )=x 2－2xy +2y 在矩形区域D ={(x ,y )|0≤x ≤3,0≤y ≤2}上的最大值和最小值.
解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组 (,)220
(,)220 x y f x y x y f x y x =-=???
=-+=??
得唯一驻点(1,1),且f (1,1)=1.
(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.
在边界x =0,02y ≤≤上, f (x ,y )=2y ，因此最大值为f (0,2)=4，最小值为f (0,0)=0； 在边界x =3,02y ≤≤上, f (x ,y )= -4y +9，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (3,2)=1； 在边界y =0,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (0,0)=0；
在边界y =2,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2－4x +4，因此最大值为f (3,2)=1，最小值为f (2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (3,0)=9为最大值，f (0,0)=0为最小值. 3. 求函数f (x ,y )=3x 2+3y 2－x 3在区域D :x 2+y 2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组
2
(,)6630
(,)60 x y f x y x y x f x y y ?=+-=??
==??
得驻点(0,0), (2,0)，且f (0,0)=0， f (2,0)=4.
(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.
在边界x 2+y 2=16上，f (x ,y )=48－x 3, 因此最大值为f (0,4)=48，最小值为f (4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (0,4)=48为最大值，f (4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z =xy ，x +y =1；
(2) u =x －2y +2z ， x 2+y 2+z 2=1.
解：(1) 作拉格朗日函数L (x ,y ,λ)=xy +λ(x +y －1).写出方程组
0010x y L y L x L x y λλλ=+=??
=+=??=+-=? 得到11(,)22P ,因此，z =xy 在11(,)22P 处取得最大值1
4
.
(2) 作拉格朗日函数L (x ,y ,z ,λ)= x －2y +2z +λ(x 2+y 2+z 2－1).写出方程组
222120220
22010x y z L x L y L z L x y z λλλλ=+=??
=-+=??
=+=?
?=++=?－ 得到1122(,,)333P -,1122
(-,,-)333
P . 因此，u =x －2y +2z 在1122
(-,,-)333
P 处取得最小值-3. 5. 要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，则问题就是在约束条件
xyz =8
下求函数S =2(xy +yz +xz )的最大值. 构成辅助函数
F (x ，y ，z )= 2(xy +yz +xz )+λ(xyz －8)，
解方程组
(,,)220,(,,)220,
(,,)220,8x y z F x y z y z yz F x y z x z xz F x y z x y xy xyz λλλ=++=??
=++=??
=++=??=?
得2x y z ===,这是唯一可能的极值点.
因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m 3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积24.S =
6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为
C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元),
要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？
解：问题是在约束条件x +y =42(x >0，y >0)下，函数
C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元)
的条件极值问题.令
(,,)L x y λ221000812(42)x xy y x y λ=++++-－
由160,240,42x y L x y L x y x y λλ=-+==-++=+=得x =25,y =17.
根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.
7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R (单位:万元)与电视广告费x (单位:万元)和报纸广告费y (单位:万元)之间的关系为
R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2，
(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.
(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策
略.
解：(1)R 14840,328200.x y y x R x y =--==--=令得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x +y =2(x >0，y >0)下，函数
R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2
的条件极值问题.令
(,,)L x y λ221514328210(2)x y xy x y x y λ=++++-－－－ 由14840,832200,2x y L y x L x y x y λλ=--+==-+-+=+=
解得x =0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元
时，广告策略最佳。
由x +y =2，可得y =2-x ,代入R 得
R (x ,y )=-4 x 2+6x +39
令0,0.75x R x ==得.因此y=1.25.
复习题7 （A ）
1.
设1)z f =，且已知y =1时，z =x 则()f x =3(1)1x +-
,1z x =-.
解：由y =1时，z =x
，得1)= 1.f x -
3331=t.(1),()(1) 1.()(1)1x t f t t f x x =+=+-=+-得因此即
，1z x =
-. 2. 设3
22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ?≠?
=+??=?，则(0,0)x f = 1 , (0,0)y f = 0 .
解：00(0,0)(0,0)(0,0)lim
lim 1,x x x f x f x
f x
x ?→?→+?-?===??
00(0,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0.x x x f y f f y
y ?→?→+?-===?? 3. 设arctan
x y
z x y
+=-,,则d z = . 解：令,,arctan u
u x y v x y z v
=+=-=则
2
22111(arctan )1()1()
u u
dz d du dv u u v v v v v
==-++ 而,du dx dy dv dx dy =+=-
故2
()()11
[]11x y dx dy dz dx dy x y x y x y xy +-=+---+??
+ ?-??
22
.xdy ydx
x y -=
+
4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2
22
u u x y x y x ??+=??? . 解：21'()()'(),y y u x x yf g xg x x y y y
x ??
?=-++ ????
2224322111
''()'()'()'()''(),y y y y u x x x yf yf g g xg x x y y y y y x
x x y ???=++++ ????
2222322322''()'()'()''()'(),y y y y u x x x x x x
f f
g g g x x y y y x
x x y y y ???=----- ????
所以22
2u u x y x y x
??+=???0.
5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( D )
A 有极限
B 连续
C 可微
D 以上三项都不成立
解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC 三项不一定正确. 6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件
C 充要条件
D 即非充分也非必要条件 解：同5.
7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2
,则下列结论正确的是( D )
A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点
B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点
C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点
D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限： (1)
22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y
→+； (2) (,)(0, 0)
11
lim
x y x y →+-.
解：(1) 因为22(,)(0,0)
1lim ()0x y x y xy →+=，而sin
有界.所以22(,)(0,0)1
lim ()sin 0.x y x y xy
→+=
(2)
(,)(0, 0)
(,)(,)11(11)(11)lim
lim lim ()(11)()(11)
x y x y x y xy xy xy x y xy x y xy →→→+-+-++==++++++ =0
9. 设u =e 3x －
y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0
d d t u t =.
解：由x 2+y =t 2,x －y =t +2,可得 22,1,dy dy dx dx x t dt dt dt dt +=-=所以 2122,2121
dy dx t t x dt x dt x +-==++. 因此，33212232121x y x y dy du du dx du t t x e e
dt dx dt dy dt x x --+-=+=-++. 令0,2,41, 1.t x y x y ==-=-==-得或
故2
40d 5.d 33
t u e e t -==或 10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求22
2,,.z z z x x y
x ???????
解：两边同时对x 求偏导，得
0,,y z z z z z x z y y z x x x x x y y x y
+????++++==-=-
???+?+因此由对称性可得.
22222
()()()22.()()()
y z z x y y z x y y z x y y z z x x x y x y x y +?-+--+-+++??=-=-=?+++ 2
22
2
(1)()()(1)()2.()()()z x z x y y z x y y z y x y z z
x y x y x y x y ?+++-+-+--?+?=-=-=??+++ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f u v
??+=??，又221
(,)[,()]2g x y f x y x y =-,
试证
22222
2g g
x y x y
??+=+??. 证：221
,(),(,)(,).2
u xy v x y g x y f u v ==-=设则则
,g f f f f u v y x x u x v x u v ???????=+=+???????,g f f f f u v x y y u y v y u v
???????=+=-??????? 2222222222
22,g f f
f f f f u v
y x y x x x v v x u v u v
?????????=++=++????????? 2222222222
22,g f f
f f f f u v x y x y y y v v y u v u v
?????????=--=+-????????? 所以222222g g
x y x y
??+=+??.
12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.
解：先解方程组2
2
(,)2(2)0
(,)2ln 10x y
f x y x y f x y x y y ?=+=??=++=?? 得驻点为(0,1).
()()221
2(2),,4,,2,xx xy yy f y f x y xy f x y x y
=+==+
在点(0，1)处,Δ=AC -B 2=6×1-0>0,又A >0,所以函数在(0，1)处有极小值f (0，1)=0.
（B ）
1. 设z =e －x +f (x －2y )，且已知y =0时，z =x 2,则z x
?=
? .
解：令2220(),(2),x x x y y f x x e z e x y e -==-=+--得因此，
所以22(2).x x y z
e x y e x
-?=+--?
2. 设f (x ,y ,z )=e x yz 2，其中z =z (x ,y )是由x +y +z +xyz =0确定的隐函数，则(0,1,1)x f -= .
解：01()0.z z
x y z xyz y z x x x
??+++=+++=??由可得
故1.1yz
z x xy
+?=-?+ 221(,,)(2)(2)1x x x x x yz z
f x y z y e z e z y e z e z x xy +?=+?=-?+
因此(0,1,1)1x f -=.
3.
设z =,则z z x y x y ??+=?? .
解：z
z x y ??==??，
所以11
2
.2z z x y x y ??+==?? 4. 设1
()()z f x y yg x y x =++,,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2
z x y
?=?? .
解：21()'()'(),y
z f xy f xy yg x y x x x
?=-+++?
2'11
()'()''()'()''()y z f xy f xy f xy x g x y yg x y x y x x x
?=-++++++?? ''()'()''()yf xy g x y yg x y =++++.
5.
函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).
A f x (0,0)，f y (0,0)都存在
B f x (0,0)存在，f y (0,0)不存在
C f x (0,0)不存在，f y (0,0)存在 D
f x (0,0)，f y (0,0)都不存在
解：000(0,0)(0,0)1(0,0)lim lim ,x x x x f x f e f x x
?→?→?→+?--==??=
000(0,0)(0,0)1
(0,0)lim lim lim .y x x x f y f f y y
?→?→?→+?--==??=
6. 设f (x ,y ),g (x ,y )均为可微函数，且g y (x ,y )≠0，已知(x 0,y 0)是f (x ,y )在约束条件
g (x ,y )=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)=0 B 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)≠0 C 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)=0 D 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)≠0
解：作拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y λλ=+，则有 0000(,,)(,)(,)0x x x L x y f x y g x y λλ=+=， 0000(,,)(,)(,)0y y y L x y f x y g x y λλ=+=.
由于g y (x ,y )≠0，所以当f x (x 0,y 0)≠0，0,λ≠因此00(,)0y g x y λ≠，从而f y (x 0,y 0)≠0. 7. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且z =z (x ,y )是由x e x －y e y =z e z 所确定的隐函数，求d u .
解：由x e x －y e y =z e z
可得.,y y
x x x x z z z z z
z
e ye z z z e xe z e xe e ze x x x y e ze e ze --???+?+=+==????++故同理. 因此x y z du
f dx f dy f dz =++
()y y x x
x y z z z z z
e ye e xe
f dx f dy f dx dy e ze e ze ++=++-++
()()y y x x x z y z z z z z
e ye e xe
f f dx f f dy e ze e ze ++=++-++.
8. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且y =y (x ),z =z (x )分别由下列两式确定：
0sin 2,d x z
x y x t e x y e t t
--==?，
求
d d u x
. 解：由2,()()0,.xy xy
xy
xy
dy dy dy e y y y
e xy e y x y x dx dx dx x
x e x --=+-+===--可得因此， 由0sin()()sin d ,(1)1sin()x x z x x
x z e x z t dz dz e t e t x z dx dx x z ---==-=-
--?可得，因此. 故()d [1]d sin()
x x y z x y z dy y e x z u dz f f f f f f x dx dx x x z -=++=-+--. 9. 设z =z (x ,y )由方程x 2+y 2－z =g (x +y +z )所确定，其中g 具有二阶连续偏导数且g ′≠－1. (1) 求d z ;
(2) 1(,)()
z z u x y x y x y ??=--??,求.u x ??
解：(1)()22x y z g x y z +=++由－,两边分别同时对x 、y 求偏导得
()()2'(1),2'(1).z z z z x g x y z y g x y z x x y y ????-=+++-=+++???? 因此()()()()2'2',.'1'1x g x y z y g x y z z z x y g x y z g x y z -++-++??==??++++++ ()()()
()2'2'.'1'1
x g x y z y g x y z dz dx dy g x y z g x y z -++-++=
+++++++
(2) ()()22112(,)()'1'1
x y z z u x y x y x y x y g x y z g x y z -??=
-==
-??-++++++, ()()2
2
2'2''()[1]2''()(1)'1.['()1]['()1]x g x y z z g x y z g x y z g x y z u x x g x y z g x y z -++?-+++-++++++??==?++++++ 10. 求函数u =x 2+y 2+z 2在约束条件z =x 2+y 2和x +y +z =4下的最大值和最小值.
解：由2222,44x y x y z x y x y +++=+=--z=可得.因此，问题转化为求 2224(4)4u x y x y x y x y =--+--+=--在约束条件下的极值问题. 令222(,,)4(4)(4)L x y x y x y x y x y λλ=--+--++-++, (,,)12(4)20x L x y x y x λλλ=----++=， (,,)12(4)20y L x y x y y λλλ=----++=.
2240,x y x y +-++=
解得: 2,21, 1.x y x y =-=-==或因此, .z=8或z=2 又(2,2,8)72,(1,1,2) 6.f f --== 所以最大值为72，最小值为6.
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
集合与函数概念单元测试题_有答案
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全
高等数学同济大学版课程讲解函数的极限
课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．
定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1．
集合与函数概念单元测试题(含答案)
新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ）
多元函数微分学及其应用
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
高等数学多元函数微分法
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
集合与函数概念单元测试题(含答案)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111 +=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
集合与函数概念单元测试
集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2
10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 第一章 集合与函数单元测试卷（巅峰版） 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设{ } 2 1M x x ==，则下列关系正确的是（ ） A ．1M ? B ．{}1,1M -∈ C ．{}1M -? D ．M φ∈ 【答案】C 【解析】 由题得{}1,1M =-， A. 元素“1”和集合M 的关系只能用∈?， 连接，不能用??，连接，所以该选项错误； B.{}1,1-和集合M 只能用??， 连接，不能用∈?，连接，所以该选项错误； C.{}1M -?正确； D. M φ∈，显然错误. 故选：C 2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则?B A=（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】因为2 {|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{ } 1 2 1(1,)x B x +==-+∞，所以 [3,)B C A =+∞；故选A. 3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数x ∈R ，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则实数 m 的取值范围是 A ．[2,6]? B ．[6,2]-- C ．(2,6) D ．(6,2)-- 【答案】A 【解析】对任意实数x R ∈，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则224238120m m m m --=-+≤（）， 解得26m ≤≤，即实数m 的取值范围是[] 26， ，故选A. 4．（5分）已知集合2{|2530}A x x x =++<，集合{|20}B x x a =+>，若A B ?，则a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞ B ．[3，)+∞ C ．[1，)+∞ D ．(1,)+∞ 【分析】先分别求出集合A ，B ，由A B ?，能求出a 的取值范围． 【解答】解：Q 集合23 {|2530}{|1}2A x x x x x =++<=-<<-， 集合{|20}{|}2 a B x x a x x =+>=>-， A B ?， 3 22a ∴--…，解得3a … ． a ∴的取值范围是[3，)+∞． 故选：B ． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）()212 f x x +=+的定义域是（ ） A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣11，3] C ．[7 2- ，﹣2] D ．[7 2 - ，﹣2）∪（﹣2，0] 【答案】D 【解析】 由题可知，对应的x 应满足[]216,120 x x ?+∈-?+≠?，即(]7,22,02?? - --???? U 故选：D 6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()2 4f x x x =+，则()25f x +>的解集为（ ） A ．()(),73,-∞-+∞U B ．()(),33,-∞-+∞U C ．()(),71,-∞--+∞U D ．()(),53,-∞-+∞U 【答案】A 【解析】 函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x → 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f高等数学函数极限练习题
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