人教A版数学高二选修1-2单元测试第二章推理与证明2

阶段质量检测(二)

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()

A．小前提错误B．大前提错误

C．推理形式错误D．结论正确

2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()

A．9(n＋1)＋n＝10n＋9

B．9(n－1)＋n＝10n－9

C．9n＋(n－1)＝10n－1

D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10

3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()

A．■B．△C．□D．○

4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()

A．各正三角形内任一点

B．各正三角形的某高线上的点

C．各正三角形的中心

D．各正三角形外的某点

5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()

A．28 B．76 C．123 D．199

6．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()

A．a>b B．a

C．a＝b D．a、b大小不定

7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2

8．已知a n ＝????13n

，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：

记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.????1367

B.????1368

C.????13111

D.???

?13112 9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ??

??

n (n ＋1)2

C.n (n ＋1)2

D.n (n ＋1)2

f (1)

10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )

A ．S n ＝n 2

B ．S n ＝n 3

C ．S n ＝n 4

D ．S n ＝n (n ＋1)

11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )

A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7

B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7

C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8

D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8

12．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1

a n ，则a 2 016等于( )

A.1

2

B ．－1

C ．2

D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假

设应为________．

14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1类似的性质为________．

15．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1

n [f (x 1)＋f (x 2)

＋…＋f (x n )]≤f ??

??

x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)

上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．

16．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac

a

＜ 3.

18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋1

2，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c

中至少有一个不小于1.

19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1

c

成等差数列． (1)比较

b a

与c

b

的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．

21．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n

2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列．

22．通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； …

(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.

将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2

.

类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．

答案

1．解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.

2．解析：选B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n －1)＋n ＝10n －9. 3．解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．

4．解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．

5．解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4， f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.

通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47; f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.

6．解析：选B 要比较a 与b 的大小，由于c >1， 所以a >0，b >0，

故只需比较1a 与1

b 的大小即可，

而1a ＝1c ＋1－c ＝c ＋1＋c ， 1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1， 显然1a >1

b

，从而必有a

7．解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.

8．解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝????13112

.故选D.

9．解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，

令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ?

f (n )＝nf (1)，

所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)

2f (1)．所以A ，D 正确．

又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ??

??

n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.

10．解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33；

∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.

11．解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)

＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2???

?????q ＋122＋34

. ∵b n ＞0，q ＞1，

∴－b 4(q －1)2·?

??

?????q ＋122＋34

＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.

12．解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1

a n ，

∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1

a 2＝2，

a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1

a 4

＝－1，

a 6＝1－1

a 5

＝2，

∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.

13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．

答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)

14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1类似的性质为：过椭

圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b

2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1

15．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以1

3(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，

即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.

因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是33

2.

答案：332

16．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n

17．证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0. 要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，

因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0， 所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立， 故原不等式成立．

18．证明：假设a ，b ，c 都小于1， 即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则a ＋b ＋c ＜3.

∵a ＋b ＋c ＝????x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋7

2＝2????x －122＋3，且x 为实数， ∴2???

?x －1

22＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1. 19．解：(1)选择(2)式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34

.

(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.

证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)

＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.

法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3

4.

证明如下：

sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝

1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)

2

－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1

4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.

20．解：(1)b a

＜c b

. 证明如下： 要证

b a

＜c b ，只需证b a ＜c b . ∵a ，b ，c ＞0， ∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1

c

成等差数列，

b a

c ac

∴b 2≤ac .

又a ，b ，c 均不相等，

∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．

(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 2

2ac ＞0，

这与cos B ＜0矛盾， 故假设不成立．

所以角B 不可能是钝角．

法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边， 即b ＞a ，b ＞c ， 所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1

b

＞0，

则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2

b 矛盾， 故假设不成立．

所以角B 不可能是钝角． 21．证明：(1)因为S n ＋1＝4a n ＋2， 所以S n ＋2＝4a n ＋1＋2，

两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，

变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )， 因为b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)， 所以b n ＋1＝2b n ，

由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， 得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3. 故b n ＝3·2n －

1.

因为c n ＝a n

2n (n ＝1,2，…)，

所以c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－

a n

2n

2n 12

n 1将b n ＝3·2n

－1

代入得c n ＋1－c n ＝3

4

(n ＝1,2，…)．

由此可知，数列{c n }是公差d ＝3

4的等差数列．

22．解：23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …

(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， 将以上各式两边分别相加，得

(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋32＋…＋n 2 ＝1

3????(n ＋1)3－1－n －3×n (n ＋1)2 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)

6

.