几种周期性函数证明

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(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是

(A)（0,62+） (B)（1,22）

【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a 可以取最大值，可知AD=3，SD=21a -，则有21a -<2+3，即22843(62)a <+=+，即有a<62+

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;

综上分析可知a ∈（0,62+）

函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究问题2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

几种特殊性质的函数的周期

几种特殊性质的函数的周期： ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ) (1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数； ④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数 y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数 sin y x = ⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数； ⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。正切型函数则只有一个。 ⑧0)()(=+=a x f x f ，或)0)(() (1)(≠= +x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01， -上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于对称； ②)(x f 的周期为； ③)(x f 在（1，2）是函数（增、减）； ④）时，，（若10∈ x )(x f =x 2，则=)(log 18 21f 。例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间 [2，3]上 )(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。 4．函数（图象）的对称性 1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题

高中一年级函数单调性完整版

函数的单调性学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程【学习导航】知识网络学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、函数的单调性 1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时函数的单调性单调性的定义定义法证明函数的单调性增函数减函数单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =

函数周期性结论总结

精品文档 . 函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明：令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得： f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称关于直线x=b 对称

用函数单调性定义证明

用函数单调性定义证明例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数，且，则 = 由得，由得， . ，，即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数，且，则由得，由得

.又， . 于是即 . 在上是减函数. 小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数例1、函数在上是减函数，求的取值集合. 分析：首先需要对前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究. 解：当时，函数此时为，是常数函数，在上不具备增减性. 当时，为一次函数，若在上是减函数，则有，解得 .故所求的取值集合为 . 小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调函数．分析：由于函数的单调性不易直接判断，而且含有字母系数，求解过程中需要讨论字母的范围，因此可以从单调性定义出发，从定义求解释一种基本的方法，不可忽视．解：在[]+∞,0上任取1x ，2x ，使得21x x < )()(21x f x f -

)(11212 221x x a x x --+-+= )(1 12122 212 2 21x x a x x x x --+++-= )1 1)( (22 21 2121a x x x x x x -++++-= （Ⅰ）当1≥a 时，因为11 122 21 21<++++x x x x ， 01 122 21 21<-++++a x x x x ，又 021<-x x ，所以0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f > 所以当1≥a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数（Ⅱ）当10<