高斯定理
高斯定理陈述报告
班级：电气121班
姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102
高斯定理
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系
由曲面向外定义为其方向，为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。其微分形式；其中，为电荷密度(单位 C/m3)。在线性材料中，等式变为。其中为材料的电容率。
基本定义：高斯定理（Gauss Law）也称为高斯公式（Gauss Formula），
或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
设空间有界闭合区域Ω，其边界?Ω为分片光滑闭曲面。函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么[1]：
图一（高数上的高斯公式）
（由于百科不支持很多格式及字符，故本词条使用一些截图，本公式请见右侧图一）
（如图一）其中?Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为?Ω的外法向量的方向余弦。
高斯投影
称向量场
的散度(divergence)。[1]
即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
其他高斯定理：高斯定理2
定理：凡有理整方程
至少有一个根。
推论：一元n次方程
有且只有n个根（包括虚根和重根）。
高斯定理3
正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。
适用条件：任何电场
静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即
公式
这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。
当存在电介质并用电位移D描写电场时,高斯定理可表示成▽·D=ρ。
它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和
Σq o，与自由电荷的分布情况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质，电位移
与电场强度成正比,D=εrεo E,εr称为介质的相对介电常数，这是一个无量纲的量。如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常数为εr的线性介质中(其余空间区域可以充任何介质)，高斯定理(2)又可写成在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。
高斯定理微分形式：
高斯定理在空间对称引力场中的应用解析
本科毕业论文 题目：高斯定理在空间对称引力场的应用 姓名：石宇 学号：20120341006 院别：工程技术学学院 专业：物理学 年级：2012级1班 指导教师：黄永超
目录 1引言 (1) 2引力场建立的背景及初步认识 (2) 2.1引力场建立的背景 (2) 2.2引力场的初步认识 (2) 3静电场中高斯定理的理解与应用 (3) 3.1静电场中高斯定理的理解 (3) 3.1静电场中高斯定理的应用 (4) 4静电场与万有引力场的分析与类比 (5) 4.1静电场与万有引力场的分析 (5) 4.2静电场与万有引力场的类比 (5) 5高斯定理在空间对称引力场中的应用 (8) 5.1质量分布具有球对称性 (8) 5.2质量分布具有轴对称性 (9) 5.3质量分布具有面对称性 (10) 6结束语 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
摘要 在静电场中，当电荷具有某种对称性时，场强的计算可以通过应用高斯定理而简化计算。所以，本文将通过比较静电场和引力场，从而用类比的方法把静电场中高斯定理的形式推广到万有引力场中。在此基础上，通过万有引力场中的“高斯定理”，从而解决在空间对称引力场中的相关问题。 关键词：高斯定理；万有引力；空间对称引力场；应用
Abstract In the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry. Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E
静电场的高斯定理复习题,DOC
－选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔〕 答案：()D 2. ()A q 3.面的电通量为1φ，2φ，()A φ()B φ()C φ()D φ 4. () A () B () C () D 〔〕答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=；()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==；()D 120,/q φφφε<=。 〔〕 q S 2
答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外；()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内；()D 将高斯面半径缩小。 7.A q -()A ()B 小为()C ()D 〔〕8. ( (9. (Q 60 ε ()C 穿过每一表面的电通量都等于 Q 30 ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0 24Q ε 〔〕 答案：()D 10.高斯定理0 nt i d ε∑?= ?q S E S ()A 适用于任何静电场。
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B
高斯定理
电场与磁场的散度定理和旋度定理磁通连续性原理 散度定理(高斯定理)：一个矢量通过包围它的闭合面的总通量（矢量的面积分）等于该矢量的散度（和算子点乘）在该闭合面构成的体积内的体积分。散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。散度定理可用一个球图示。 散度定理是高斯定理在物理中的应用.即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 旋度定理（斯托克斯定理）：一个矢量的闭合线积分等于矢量的旋度（和算子叉乘）在该闭合线围成的开放面上的面积分。旋度定理搭建了线积分与面积分之间的转换桥梁。旋度定理可用一个环图示。 散度定理和旋度定理是将麦克斯韦方程从积分形式向差分形式转化的基础，而麦克方程的差分形式方才便于求解。 高斯散度定律有"两个"，分别是对电通密度矢量和磁通密度矢量而言，也即分别描述电场和磁场。高斯定律描述的是流出闭合面的电通/磁通总量与电场源/磁场源之间的对应关系。 1)对电场来说（闭合面内有电场源，对应流出闭合面的是电通总量），高斯定律描述如下：电通密度矢量D在S上的闭合面积分，等于电荷体密度在该闭合面围成的体积内的体积分。D单位C/m^2，电荷体密度单位C/m^3。电场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总电通量等于闭合面内包围的总正电荷。 也就是说，电场源是独立的，电场是一去不返的，从正电荷出发，到负电荷终止。其微分方程如下: 表示电场是有散场，这
是由于自然界存在着自由电荷，因此，▽·E ≠0的地方，味着此处一定存在着净的正电荷或净的负电荷. （1）自然界存在着自由电荷，电子电荷的绝对值e 就是自由电荷的基本值. （2）静电场的场线即E 线始发于正电荷并终止于负电荷，也就是说静电场的E 线不是闭合曲线，它们没有涡旋状结构.即无旋.静电场的这种性质，反映在电场高斯定理和环路定理中. 2)对磁场来说（对应流出闭合面的是磁通总量）(磁通连续性原理)，高斯定律描述如下：磁通密度矢量B在S上的闭合面积分，等于0。B单位Wb/m^2。磁场高斯定律的物理意义是：通过任意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零。也就是说，自然界不存在独立的磁场源，磁场是有来有去的，磁力线通过任意闭合面后必然会从相反方向再次通过。磁力线是闭合的！ 式子 这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.
高斯定理
简析高斯定理在电场中的应用 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 () 1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 步骤： 1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过 该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n 与E 平行时， E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面； 3．计算电通量???S d E 和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。 应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 典型例题： 例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3) 带电面右半空间
高斯定理[4]
高斯公式又叫高斯定理(或散度定理） 矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式。是研究场的重要公式之一。 公式为：∮F·dS=∫▽·Fdv ▽是哈密顿算符 F、S为矢量 高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛。 如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M). 解：div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量， 本例说明静电场E是无源场。 应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。 现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理， 设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为 E·dS=Ecosθds =Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的介电常数 显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2 故E·ds= Q/(4πε0)dΩ 因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0 场强学过普通物理的多数人都知道 下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V,边界为封闭面S，通过界面流出的电流应等于体积V内电量的减小率， 即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量， dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号） ρ-电荷密度 注：J=Ρv’ V’---为速度矢量 用高斯公式进行积分变换, ∮J·dS=∫▽·JdV 可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0， 此式称电流的连续性方程。 高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。公式表达：
高斯定理
§4 高斯定理 一、电力线 1、引入目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。 2、引入方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面方向 大小，在 电场中人为地作出许多曲线，作法如下： （1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致； （2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该点场的大小成正比 ⊥ ??∝ S N E 其中⊥ ??S N 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度，参见 图1-15。 (a) 垂直时：S N ?? (b) 非垂直时： θ cos S N S N ??= ??⊥ 图1-15 在SI 制中，比例系数取1，则⊥ ??= S N E ，即S E S E N ?=??=?θcos 。更精 确地有：ds E s d E dN θcos =?= 。 例：点电荷Q 均匀辐射N 条电力线，各向同性，半径为r 的球面上电力线数密度为 2 4r N π；而场强2 04r Q E πε= ，两者一致，且0 εQ N = ，球面立体角Ωd 中 E E ΔS ΔS n θ
占有（N d π 4Ω）条。 3、电力线的普遍性质 (1) 电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处）， 不会在没有电荷的地方中断——不中断； (2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上 去——不多余； (3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交（否则，场则不唯一）； (4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。 4、说明 (1) 电力线非客观存在，是人为引入的辅助工具； (2) 电力线可用实验演示； (3) 展示几种带电体电力线的分布（图略）。 二、电通量 静电场是用E 描述的矢量场。一般地，研究矢量场时常引入矢量的通量概念，如：流体力学中的流量θcos s v s v ?=?? 等，静电场中虽无什么在流，但可藉此研究静电场。 1、定义电通量E Φ 在电场中通过一曲面元s ?的电通量E ?Φ定义为： )(c o s N s E s E E ?=??=?=?Φ θ 式中n s s ?=?。因θ可锐角、钝角，故E ?Φ可正、可负。 对于非无限小的曲面，有 ?? ?= = ΦS S E s d E ds E cos 其中，任意曲面S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向n 取何方向无关紧要。 对于闭合曲面，其电通量定义为： ? ??== ΦS S E s d E ds E θcos
高斯定理
高斯定理陈述报告 班级：电气121班 姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158
姓名：王天宇学号：2012230102 高斯定理 高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系 由曲面向外定义为其方向，为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。其微分形式；其中，为电荷密度(单位C/m3)。在线性材料中，等式变为。其中为材料的电容率。 基本定义：高斯定理（Gauss Law）也称为高斯公式（Gauss Formula），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。 设空间有界闭合区域Ω，其边界?Ω为分片光滑闭曲面。函数P(x,y,z)、 Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么[1]： 图一（高数上的高斯公式）
（由于百科不支持很多格式及字符，故本词条使用一些截图，本公式请见右侧图一） （如图一）其中?Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为?Ω的外法向量的方向余弦。 高斯投影 称向量场 的散度(divergence)。[1] 即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。 其他高斯定理：高斯定理2 定理：凡有理整方程
至少有一个根。 推论：一元n次方程 有且只有n个根（包括虚根和重根）。 高斯定理3 正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。 适用条件：任何电场 静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。 根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即 公式 这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
电磁场与电磁波例题详解
第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??= ?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
大物课后部分参考答案及解析
大物课后部分参考答案及解析
第一章 P17 1-2 已知j t A i v v sin 0 ，则j t A i t v dt v r cos 0 由 t A y t v x cos 0 可得A v x A y 0 cos （以出发点为原点） j t mA a m F j t A a cos cos 22 1-4 如图，在B 点时，根据其受力情 况，有 20 2 02130sin 60cos B B B mv mgl l mv mg T 解得)N (92 3 mg T B 在B 点时，根据其受力情况，有 22 21C C C mv mgl l mv mg T 解得) N (183 mg T C 1-6 由题意设kv f ，其受力方向在竖直方向上，则有 注意基本概念的理解和掌握：位移，速注意受力分析，区分出
dt dv m ma kv F mg f F mg 变形可得 dt dv kv F mg m 两边同时积分 t v dt dv kv F mg m 00 整理可得 ) 1(t m k e k F mg v 设沉降距离为y ，则dt dy v )] 1([)1(0 t m k t t m k e k m t k F mg dt e k F mg vdt y 1-9 由题意，当h=50m 时，桶中水已全部漏完，故木桶从井中提到井口所做的功为 J) (3500)(J 3430)1.011(]2.0)[(100 50 500 2 10050 50 0或 gh g h h Mgdh dh gh g m M W 1-14 （1）子弹所受的冲量 ) m /s kg (9)50050(02.0 p I 木块所受的冲量与子弹所受的冲量反向，即)m/s kg (9 木块 I （2）对木块，有) m/s kg (950 m p I 木块，因此kg 18.0 m 。 注意题意，要熟练分析题意，具体问题采注意利用运动学中各物理量之间的关系，注意动量定理的灵活应用
磁场中的高斯定理另一证明
磁场中的高斯定理另一证明 廖其力1，唐乐2，余艳1，邓娅11重庆邮电大学移通学院，重庆 【摘要】摘要用与毕奥-萨伐尔定律等价的运动电荷产生磁场的第一性原理证明了磁场中的高斯定理，该证明对进一步理解磁场的本质和大学物理教学有一定的借鉴作用。 【期刊名称】应用物理 【年(卷),期】2018(008)003 【总页数】5 【关键词】关键词运动电荷，毕奥-萨伐尔定律，高斯定理 【文献来源】https://https://www.360docs.net/doc/1116871319.html,/academic-journal-cn_applied-physics_thesis/0201264089300.html 1. 引言 1.1. 毕奥-萨伐尔定律发现简介 自丹麦物理学家奥斯特(H. C. Oersted, 1777～1851)在1820年发现电流的磁效应以来，磁场的研究得到了较快发展[1][2]，比如，法国数学家兼物理学家安培(A. M. Ampere, 1775～1836)在同年的9月得出判定电流产生磁感应强度方向的右手螺旋定则；10月法国物理学家毕奥(J. B. Biot, 1774～1862) 和萨伐尔(F.Savart, 1791～1841)发现了直线电流产生的磁感应强度跟到直线的距离成反比，跟电流强度成正比。紧接着，法国数学家、物理学家拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749～1827)在毕奥、萨伐尔、安培等人的基础上将电流产生的磁场给出了数学表达式，这就是通常所说的毕奥-萨伐尔定律。在1831年法拉第(M. F arday,1791～1867)发现了电磁感应现象，1834年他提出了力线概念，
静电场中高斯定理
静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤
试分析高斯定理与万有引力
试分析高斯定理与万有引力 在物理学发展的历程中类比方法一直就起着非常重要的作用。现本文对静电场、万有引力场进行对比，从中分析万有引力场与高斯定理的类比公式，将其用于解决对称性万有引力的问题。 标签：类比万有引力静电场高斯定理对称 前言 物理学发展史中曾出现过许多非常重要的理论，这些理论一般都会现通过类比的方式提出假设，之后通过时间的过程检验理论是否可以发展为科学理论。类比作为一种逻辑思维，属于抽象思维的一种。类比法利用联想的过程将未知、异常的研究对象对比熟悉、寻常的研究对象，之后根据二者相似关系与类似关系，由一直对象的某种思维推导出未知对象的一种性质。这种方法在物理学的发展过程中起着积极地推动意义。 一、物理学发展中类比发挥的积极作用 1.牛顿定律 类比法是牛顿探索未知事物最终原因的常用方法，牛顿将不同颜色粉末混合到一起形成新的颜色但却没有改变原来粉末颜色，与不同颜色色光混合到一起的白光不改变原有各颜色光的颜色进行了类比，解释了光色散现象。此外牛顿还将光在均匀介质中的直线传播与两种媒质分界面反射类比为网球的直线运动及平面弹性碰撞[1]。以此为基础提出了光粒子学说。牛顿甚至通过天体互相作用引力与地球物理重力进行类比，进而提出万有引力这一定律。 2.电磁学 库伦通过将万有引力与电荷相互作用作类比，以电摆实验进行了库仑定律证明。如图1。 欧姆以电现象与热现象类比得出欧姆定律。热量由高温地区传播到低温区域，介质通过界面两边热流量正比界面两边温度差类比导线中流过两点间的电流大小正比于两点间的电势差[2]。 此外法拉第也通过对比流体场（流管与流线）对磁场和电场物理图景进行了直观描述。科学家麦克斯韦通过流体力场与电场相似性类比，将流体力学数学理论带进了电场当中，并成立了关于电磁方面的理论，赋予了法拉第力线物理意义。 二、静电场与万有引力场类比
力学的基本概念(十)高斯定理习题及答案
第七章 静电场和恒定磁场的性质(一) 高斯定理 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ C ]1．已知一高斯面所包围的体积内电量代数和∑i q =0，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零。 (B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 (C) 穿过整个高斯面的电通量为零。 (D) 以上说法都不对。 ［ D ］2．两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b ( R a
浙江省大学物理试题库302-静电场的高斯定理
－ 选择题 题号：30212001 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 题号：30212004 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 答案：()B 题号：30214005 分值：3分 难度系数等级：4 在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则
高斯定理
高斯散度定理 本文介绍的是微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，详见“高斯定律”。 散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何上边的曲面；散度定理不可以用来计穿过 具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显 示。 高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表 现联系起来的定理。 散度的三重积分。更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的 直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 目录 1定理 2用散度表示 3用向量表示 4推论 5例子 6二阶张量的高斯公式 7参阅
定理 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数 P(x,y,z)、 Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 或 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧， cos α、 cos β、cos γ是Σ在点 (x,y,z) 处的法向量的方向余弦 这两个公式叫做高斯公式。 用散度表示 高斯公式用散度表示为： 其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 n 是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。 用向量表示 令 V 代表有一间单闭曲面 S 为边界的体积，是定义在 V 中和 S 上连续可微的矢量场。如果是外 法向矢量面元，则 推论 对于标量函数g 和向量场 F 的积，应用高斯公式可得： 对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：
大学物理3第08章习题分析与解答
习题8-6图 第八章 恒定磁场 8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为［ ］。 (A) B r 2 2π (B) B r 2 π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理，磁感线是闭合曲线，穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。正确答案为（B ）。 8-2 下列说法正确的是[ ]。 (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意点的磁感强度必定为零 分析与解 由磁场中的安培环路定理，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和一定为零。正确答案为（B ）。 8-3 磁场中的安培环路定理 ∑?=μ=?n L I 1 i i 0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。 (A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场 分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述，在恒定磁场中B 的环流一般不为零，所以磁场是涡旋场；而在恒定磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量必为零，所以磁场是无源场；静电场中E 的环流等于零，故静电场为保守场；而静电场中，通过任意闭合面的电通量可以不为零，故静电场为有源场。正确答案为（B ）。 8-4 一半圆形闭合平面线圈，半径为R ，通有电流I ，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受磁力矩大小为[ ]。 (A) B R I 2 π (B) B R I 221π (C) B R I 24 1 π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈，在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ?=n IS ，而且对任意形状的平面线圈都是适用的。正确答案为（B ）。 8-5 一长直螺线管是由直径d =0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I =0.5A 的电流时，其内部的磁感强度B =_____________。(忽略绝缘层厚度，μ0=4π×10-7N/A 2) 分析与解 根据磁场中的安培环路定理可求得长直螺线管内部的磁感强度大小为nI B 0μ=，方向由右螺旋关系确定。正确答安为（T 1014.33-?） 。 8-6 如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I ，则在圆心O 点处的磁感强度大小为 _____________，方向为_____________ 。 分析与解 根据圆形电流和长直电流的磁感强度公式，并作矢量叠加，可得圆心O 点的总的磁感强度。正确答案为（?? ? ??π-μ1120R I ，向里） 。