三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值
三元均值不等式：
例1、求函数)0(,322>+=x x
x
y 的最大值
例2、求函数)01y x x =<<的最大值。
例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
练习：
1、求函数)(,422+∈+=R x x x
y 的最小值。
2、0>x 时，求236x x y +=
的最小值。
3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-=
的最大值。
4、若10< y -=的最大值。 5、若0>>b a ，求证：) (1b a b a -+的最小值。 绝对值不等式 例1、证明（1） b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+ 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+ 例5、已知 .6,4a y a x <<求证：a y x <-32。 练习： 1、已知 .2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知 .6 ,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。 解含绝对值不等式 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 例3、解不等式 52312≥-++x x 。 例4、解不等式 512≥-+-x x 。 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 练习： 1、423+≤-x x . 2、x x -≥+21. 3、1422<--x x 4、212+>-x x . 5、 42≥-+x x 6、.631≥++-x x 7、 21<++x x 8、.24>--x x 课后练习 1．解下列不等式： （1）2 132≤ -x （2） 1743<+ 2．解不等式：（1） 112-<-x x （2）112>-+x x 3．解不等式：（1） 321>+++x x （2）.0312>+--+x x 4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式 34-+-x x 5．已知 .3,3,3s c C s b B s a A <-<-<-求证： （1） s c b a C B A <++-++)()(；（2）.)()s c b a C B A <-+--+ 6．已知 .,a y a x <<求证：.a xy < 7．已知 .0,>> x < 8．求证.111b b a a b a b a +++≤+++ 9．已知.1,1< b a 10．若βα,为任意实数， c 为正数，求证：.)11()1(222βαβαc c +++≤+ （βαβαβα2222++≤+，而2112222βαβαβαc c c c +≤?=） 含绝对值的不等式 [学习要求] （1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。 （2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| 评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。 例2：型如：|x| 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点． 三、教学建议 （1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例． （2）课前复习应充分．建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备． （3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？ 大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨． （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论． （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神． 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 学习必备欢迎下载 不等式的性质与绝对值不等式典题探究 例 1 解不等式 2＜｜ 2x－ 5｜≤ 7． 例 2 解关于x的不等式： (1) ｜ 2x＋ 3｜－ 1＜a( a∈ R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．例 3 解不等式 | x－ |2 x＋ 1|| ＞1． 例 4.求证：a2b2ab a b 1 演练方阵 A档（巩固专练） 1．下列各式中，最小值等于2的是（） x y B．x 25 C．tan 1x2x A ． 2D．2 y x tan x4 2x, y R 且满足x3y2 ，则 3x27 y 1 的最小值是（） ．若 A．339B．122C．6D．7 3．不等式 |8 － 3x| ＞0 的解集是 () A．B． R C． { |≠8 ，∈R} D ．{ 8 } x 3 3 4．下列不等式中，解集为R的是() A．｜x＋ 2｜＞ 1B．｜ x＋2｜＋1＞1 C． ( x－ 78)2＞－ 1 D ． ( x＋ 78)2－1＞0 5．在数轴上与原点距离不大于 2 的点的坐标的集合是() A．｛x｜－ 2＜x＜ 2 }B ．｛x｜ 0＜x≤ 2 }C ．｛x｜－ 2≤x≤ 2｝ D ．｛x｜x≥ 2 或x≤－ 2｝ 6．不等式｜ 1－ 2x｜＜3的解集是( ) A．｛x｜x＜1 } B ．｛x｜－ 1＜x＜ 2 }C．｛ x｜ x＞2｝D．｛ x｜ x＜－1或 x＞2｝ 7．若a b 0 ，则a1的最小值是 _____________。 b(a b) 12 8．函数 f ( x) 3x x 2 ( x 0) 的最小值为 _____________。 9．不等式｜ x ＋ 4｜＞ 9 的解集是 __________． 10．当 a ＞0 时，关于 x 的不等式｜ b －ax ｜＜ a 的解集是 ________． B 档（提升精练） 1．不等式｜ x ＋ a ｜＜ 1 的解集是 ( ) A ．｛ x ｜－ 1＋ a ＜x ＜ 1＋ a B ．｛ x ｜－ 1－ a ＜ x ＜ 1－ a} C ．｛ x ｜－ 1－｜ ｜＜ ＜ 1－｜ a ｜ } D ．｛ x ｜ ＜－ 1－｜ a ｜或 x ＞ 1－｜ a ｜｝ a x x 2．不等式 1≤｜ x －3｜≤ 6 的解集是 ( ) A ．｛ x ｜－ 3≤ x ≤2 或 4≤ x ≤ 9｝ B ．｛ x ｜－ 3≤ x ≤ 9｝ C ．｛ x ｜－ 1≤ x ≤2｝ D ．｛ x ｜4≤ x ≤9｝ 3．下列不等式中，解集为｛ x ｜ x ＜ 1 或 x ＞ 3｝的不等式是 ( ) A ．｜ x －2｜＞ 5 B ．｜ 2x － 4｜＞ 3 C ． 1－｜ x － 1｜≤ 1 D ．1－｜ x －1｜＜ 1 2 2 2 2 4．已知集合 A ＝ { x || x － 1| ＜2} ， B ＝ { x || x － 1| ＞ 1} ，则 A ∩ B 等于 ( ) A ． { x | －1＜ x ＜ 3} B ． { x | x ＜0 或 x ＞ 3} C ． { x | －1＜ x ＜ 0} D ． { x | － 1＜ x ＜ 0 或 2＜ x ＜ 3} 5． 若 x ( ,1) ，则函数 y x 2 2x 2 有（ ） 2x 2 A ．最小值 1 B ．最大值 1 C ．最大值 1 D ．最小值 1 6．设 a,b, c R ，且 a b c 1，若 M ( 1 1)( 1 1)( 1 1) ，则必有（ ） a b c A ．0 M 1 1 M1C ．1M8D ．M8 8 B ． 8 7．已知不等式｜ x －2｜＜ a ( a ＞ 0) 的解集是｛ x ｜－ 1＜ x ＜ b } ，则 a ＋ 2b ＝ ． 8．不等式 | x ＋ 2| ＞ x ＋ 2 的解集是 ______． 9．解下列不等式： (1)|2 －3x | ≤ 2； (2)|3 x － 2| ＞ 2． 10．求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值。 C 档（跨越导练） 1．若 log x y 2，则 x y 的最小值是（ ） 33 2 23 3 3 3 2 2 A ． B ． C ． D ． 2 3 2 3 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值不等式的解法 (3) 学习目标：1. 掌握绝对值不等式的几种解法;并解决绝对值不等式的求解问题 2. 理解含绝对值不等式的三种解法思想：去掉绝对值符号，等 价转化，数形结合。 一课前准备，复习： 根据公式：|x| x<－4. ii ）当 时，原不等式可化为x+3+3-x>8，6>8矛盾，此时不等式无解。 iii ）当x ≥3时，原不等式可化为 ，即x>4.此时不等式的解为x>4. 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法二：利用绝对值的几何意义，借助 求解。 解 如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为 ，因此区间[－3,3]上的数 不等式的解．设在A 点左侧存在一点A1，使得A1到A ，B 的距离之和为8，即|A1A|＋|A1B|＝8，设点A1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ . 同理，设点B 的右侧存在一点B1，使|B1B|＋|B1A|＝8，设点B1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ . 从数轴上可以看到，A1与B1之间的点到A 、B 的距离之和都 ，而点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都 8. 所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键. 解 原不等式可转化为 >0， 构造函数y ＝ ，即y ＝??? －2x －8 x ≤－3 ，－2 －3 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 第1节绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 \ 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． ' 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| · B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 ： B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ? 123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 、 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 《含绝对值不等式的解法》导学案 学习目标： 1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2.理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化 学习重点：简单的含绝对值不等式的解法 学习难点：含参数的绝对值不等式的解法 一、课前准备（请在上课之前自主完成）： 1．绝对值的定义：||a ??=??? 2. 绝对值的几何意义： （1）实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离. （2）任意的两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ， 那么 || a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式： ①0a b ?>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++. ②0a b ?<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++. ③0=ab 时，易得|| |||| a b a b ++ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程 知识点1：含绝对值不等式的解法 1.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示. 2.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示. 3．设a 为正数, 则 (1).()f x a ? ; (3).设0b a >>, 则()a f x b ≤-213 例2：解不等式7324≤- 含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a ＜-6，化简26a -得() +6 2.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|＜3}，B ={x ||x -1|≥1}，则A ∩B 等于() A.{x |-1＜x ＜5} B.{x |x ≤０或x ≥2} C.{x |-1＜x ≤0} D.{x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是（） 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2｜x ｜-3＞0 3.已知全集U =R ,A ={x ｜x 2-2x -8＞0},B ={x ｜｜x +3｜＜2},求： (1)A ∪B ,C u （A ∪B ）(2)C u A ,C u B ,（C u A ）∩（C u B ） 4.解不等式3≤|x －2|＜97.解不等式|3x －4|＞1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式|x +1|+|x －2|<4.含绝对值的不等式
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