人教版 21章 一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点

一、一元二次方程

1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未

知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

二、 一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2

=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）

三、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；

（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；

（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m

n c x -±=

。 2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 把一元二次方程化成一般形式

（2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这

个数；

（3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。

（4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。

（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式

(2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式；

（4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；

（2）求出ac b 42-的值；并判断方程根的情况；

（3）若042≥-ac b ，则把.,b a 及ac b 42-的值代人求根公式

a ac

b b x 242-±-=，求出21,x x 。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0（即化为一般式）；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0（即化为一般式）；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

三、一元二次方程根的判别式

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III 当△<0时，一元二次方程没有实数根

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：

①把所有一元二次方程化为一般形式；

②确定c b a .,的值；

③计算ac b 42-的值；

④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。

根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，

（1）方程有两个不相等的实数根?ac b 42-﹥0

（2）方程有两个相等的实数根?ac b 42-=0

（3）方程没有实数根?ac b 42-﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a

c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

五、一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数

量关系．这一步是解决问题的基础；

(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问

什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等

量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

(4)“解”就是求出所列方程的解；

(5)检验应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

（6）作答

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关的问题增长率问题的有关公式：

增长数（增长了多少）=基数×增长率

实际数（增长后的值）=基数＋增长数

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：

1.若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为()x

1，

a+两次增长后的值为()2

1x

a+；

2.若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值为()x

1，

a-两次降低后的值为()2

a-。

1x

两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值

知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：

（1）每件利润=销售价-成本价；

（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；

（3）销售额=售价×销售量

知识点四数与数字的关系

两位数=(十位数字)×10＋个位数字

三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字

连续的整数：设其中一数为x，另一数为x+1；（x-1，x，x+1）。

连续的奇数：设其中一数为x，另一数为x+2；（x-2，x，x+2）。

连续的偶数：设其中一数为x，另一数为x+2；（x-2，x，x+2）。

和一定的两数（和为a）：设其中一数为x，另一数为a-x

差一定的两数（差为a）：设其中一数为x，另一数为x+a

积一定的两数（积为a）：设其中一数为x，另一数为a/x

商一定的两数（商为a）：设其中一数为x，另一数为ax（x/a）

知识点五传染问题：

传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x）】

患者：第一轮后：共（1+x）个

第二轮后：共1+ x +（1+x）x =（1+x）?（1+x），即（1+x）2个

第三轮后：

共（1+x）2 + （1+x）2 ?x =（1+x）2 ?（1+x），即（1+x）3个第n轮后：共（1+x）n个

[注意：上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a，则第n轮后患者共为：a（1+X）n个]

知识点六翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

知识点七 银行利率应用题（含利滚利问题）：

年利息＝本金×年利率（年利率为a%）

存一年的本息和：本金×（1+年利率） ，即本金×（1+ a%） 存两年的本息和：本金×（1+年利率）2， 即本金×（1+a%）2 存三年的本息和：本金×（1+年利率）3， 即本金×（1+a%）3 存n 年的本息和：本金×（1+年利率）n ， 即本金×（1+a%）n

知识点八 几何类题：①等积变形，②动态几何问题，③梯子问题，④航海问题，⑤几何与图表信息，⑥探索存在问题，⑦平分几何图形的周长与面积积问题，⑧利用图形探索规律

最常见的如：求直角三角形的边。

①面积S 一定，两直角边和（和为a ）一定：设其中一边为x ，另一边为a-x ，则2

1x （a-x ）=S

②面积S 一定，两直角边差（差为a ）一定：设其中一边为x ，另一边为x+a 或（X-a ）则21x （x+a ）=S 或21x （x-a ）=S

③斜边c 一定，两直角边和（和为a ）一定：设其中一边为x ，另一边为a-x ，则x 2+（a-x ）2=c 2

④斜边c 一定，两直角边差（差为a ）一定：设其中一边为x ，另一边为x+a 或x-a 则x 2+（x+a ）2=c 2或x 2+（x-a ）2=c 2 知识点九 赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】

单循环：设参加的球队为x ，则全部比赛共21 [x （x-1）]场； 双循环：设参加的球队为x ，则全部比赛共x （x-1）场；

注：双循环公式X(X-1),单循环公式21X(X-1)，其实也就可以理解为单循环循环赛就是和每个对手比赛1次（对手数量=参赛队数量-1），而每场比赛有2队参加，就得除以2。双循环比赛场次是单循

环的2倍。类似于本题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n 个站点要设计多少种车票；一条线段上有n 个点（含两个端点），①该线段上共有n （n-1）条有向线段，②该线段上共有2

1 n （n-1）条线段。

一、二次根式的相关概念

1.平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根。

2．二次根式：形如a ()0a ≥的式子叫做二次根式；

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式．

4.最简二次根式：

满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 特别提示：二次根式a 有意义的条件是()0a ≥．

二、二次根式的性质 1.（1）三个非负性：

①

0(0)a ；　≥②2(0)a a =；≥0≥ a a =≥0(为任意实数）． 2.四个性质：

①2

(0)a a =；≥0≥ a =＝a （a ≥0）或-a(a ＜0)

③

0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =＞≥． 三、二次根式的运算： 1）二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并；

（2）二次根式的乘除法

0,0)a b ≥≥0,0)a b =＞≥ 特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式．