高考物理重点专题突破 (57)

第3节洛伦兹力的应用

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道

半径与粒子的运动速度成正比，与粒子质量成正

比，与电荷量和磁感应强度成反比，即r＝m v Bq。

2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，运

动周期与质量成正比，与电荷量和磁感应强度

成反比，与轨道半径和运动速率无关，即T＝

2πm

Bq。

3．回旋加速器的电场周期和粒子运动周期相同。

4．质谱仪把比荷不相等的粒子分开，并按比荷顺

序的大小排列，故称之为“质谱”。

一、带电粒子在磁场中的运动

1．用洛伦兹力演示仪显示电子的运动轨迹

(1)当没有磁场作用时，电子的运动轨迹为直线。

(2)当电子垂直射入匀强磁场中时，电子的运动轨迹为一个圆，所需要的向心力是由洛伦兹力提供的。

(3)当电子斜射入匀强磁场中时，电子的运动轨迹是一条螺旋线。

2．带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动

(1)运动性质：匀速圆周运动。

(2)向心力：由洛伦兹力提供。 (3)半径：r ＝m v

Bq 。

(4)周期：T ＝2πm

Bq ，由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而与运动半径和运动速率无关。

二、回旋加速器和质谱仪 1．回旋加速器

(1)主要构造：两个金属半圆空盒，两个大型电磁铁。 (2)工作原理(如图所示)

①磁场作用：带电粒子垂直磁场方向射入磁场时，只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期与半径和速率无关。

②交变电压的作用：在两D 形盒狭缝间产生周期性变化的电场，使带电粒子每经过一次狭缝加速一次。

③交变电压的周期(或频率)：与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(或频率)相同。 2．质谱仪

(1)功能：分析各化学元素的同位素并测量其质量、含量。 (2)工作原理(如图所示)

带电粒子在电场中加速：Uq ＝1

2m v 2①

带电粒子在磁场中偏转：x

2＝r ②

Bq v ＝m v 2

r ③

由①②③得带电粒子的比荷：q m ＝8U

B 2x

2。

由此可知，带电离子的比荷与偏转距离x 的平方成反比，凡是比荷不相等的离子都被分

开，并按比荷顺序的大小排列，故称之为质谱。

1．自主思考——判一判

(1)带电粒子进入磁场一定做匀速圆周运动。(×)

(2)匀强磁场中，同一带电粒子垂直磁场方向的速度越大，圆周运动半径越大。(√)

(3)匀强磁场中带电粒子垂直磁场方向的速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的周期越小。(×)

(4)回旋加速器中的交流电源U越大，则粒子的最终速度越大。(×)

(5)回旋加速器中交变电压周期等于带电粒子在磁场中的运动周期。(√)

2．合作探究——议一议

(1)在满足什么条件时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动？

[提示]当带电粒子满足以下三个条件时，在磁场中做匀速圆周运动。

①带电粒子的速度方向与磁场方向垂直。

②磁场为匀强磁场或粒子所经位置的磁感应强度方向始终与粒子速度方向垂直，且磁感应强度大小不变。

③带电粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，或虽受其他力作用，但除洛伦兹力以外的其他力的合力为0。

(2)对交流电源的周期有什么要求？带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？

[提示]交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期。

当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即r m＝m v m

Bq，再由动能定理得：E km＝

q2B2r m2

2m，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径r m。

(3)为什么带电粒子加速后的最大动能与加速电压无关呢？

[提示]加速电压高时，粒子在加速器中旋转的圈数较少，而加速电压低时，粒子在加速器中旋转的圈数较多，最终粒子离开加速器时的速度与加速电压无关。

解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基本思路—找圆心→定半径→画轨迹

(1)圆心的确定

带电粒子进入一个有界磁场后的轨迹是一段圆弧，如何确定圆心是解决此类问题的前提，也是解题的关键。一个最基本的思路是：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，举例如下：

甲

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。

②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M 为出射点)。

乙

(2)运动半径的确定

画出入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形，求出半径的大小。

(3)运动时间的确定

由t＝θ

2πT确定通过某段圆弧所用的时间，其中T为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间越长。

(4)几个有关的角及其关系

如图所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角(或圆心角)，AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为：φ＝α＝2θ，θ与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°。

[特别提醒]

(1)若从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

(2)粒子运动时间的确定关键是确定粒子运动的周期T 及粒子运动的圆弧所对应的圆心角。

[典例] 如图所示，在xOy 平面内，y ≥0的区域有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一质量为m 、电荷量大小为q 的粒子从原点O 沿与x 轴正方向成60° 角方向以v 0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。

[思路点拨] 确定粒子的电性→

判定洛伦兹力方向→画出运动轨迹

→

确定圆心、半径、圆心角→确定运动时间及

离开磁场的位置

[解析] 当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC ，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，

则

q v 0B ＝m v 02R ，R ＝m v 0qB ， T ＝

2πm

qB

，

故粒子在磁场中的运动时间 t 1＝

240°360° T ＝4πm

3qB

， 粒子在C 点离开磁场OC ＝2R ·sin 60°＝3m v 0

qB

故离开磁场的位置为? ?

?

??

－

3m v 0qB ，0

当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE 所示，同理求得粒子在磁场中的运动时间t 2＝120°360°T ＝2πm

3qB

离开磁场时的位置为? ??

?

?3m v 0qB ，0。

[答案]

4πm 3qB ? ????－3m v 0qB ，0或2πm 3qB ? ????

3m v 0qB ，0

带电粒子在有界磁场中的运动规律

有界磁场是指在局部空间存在匀强磁场，带电粒子从外界垂直磁场方向入射，经历一段时间后又离开磁场，通常有如下几种类型：

解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是关键。解决此类问题时应注意下列结论。

(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中的运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。

(3)当比荷相同，速率v 变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。

1.如图所示，一束电子(电荷量为e )以速度v 由A 点垂直射入磁感应强度为B 、宽度为d 的有界匀强磁场中，在C 点穿出磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角为θ＝30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？

解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力F 作用，故其轨迹AC 是圆周的一部分，又因为F 垂直于v ，故圆心在电子进入和穿出磁场时所受的洛伦兹力指向的交点上，如图中的O 点。由几何知识可知，AC 所对圆心角为θ＝30°，OC 为半径r ，则r ＝

d sin 30°

＝2d ，由r ＝m v eB 得m ＝2deB

v 由于AC 所对圆心角是30°，

因此穿过磁场的时间为t ＝30°360°·T ＝1

12T

又T ＝2πr v ，故t ＝112·2πr v ＝πd

3v 。

答案：

2deB v πd 3v

2.如图所示，有一半径为R 、有明显边界的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B 。今有一电子沿x 轴正方向射入磁场，恰好沿y 轴负方向射出。如果电子的荷质比为e

m

。求：

(1)电子射入磁场时的速度大小； (2)电子在磁场中运动的时间。

解析：由题意可确定其轨迹如图所示。

m v

qB 得

(1)由几何知识可求轨迹的半径为r ＝R 。结合半径公式r ＝电子的速度大小为v ＝eBR

m

。

(2)轨迹所对的圆心角为90°，所以电子在磁场中运动的时间t ＝1

4T ＝πm 2eB 。

答案：(1)eBR m (2)πm

2eB

1．回旋加速器的电场和磁场作用

(1)磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。其周期在q 、m 、B 不变的情况下与速度和轨道半径无关，带电粒子每次进入D 形盒都运动半个周期????

πm qB 后平行电场方向进入电场加速。如图所示。

(2)电场的作用：回旋加速器的两个D 形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D 形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。根据动能定理：qU ＝ΔE k 。

(3)交变电压的作用：为保证粒子每次经过狭缝时都被加速，使之能量不断提高，需在狭缝两侧加上跟带电粒子在D 形盒中运动周期相同的交变电压。

2．对回旋加速器的进一步理解(1)速度和周期的特点

在回旋加速器中粒子的速度逐渐增大，但粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πm qB

始终不变。

(2)最大半径及最大速度

粒子的最大半径等于D形盒的半径R＝m v

qB，所以最大速度v＝

qBR

m。

(3)最大动能及决定因素

最大动能E km＝1

2m v

2＝q

2B2R2

2m，即粒子所能达到的最大动能由磁场B、D形盒的半径R、

粒子的质量m及带电荷量q共同决定，与加速电场的电压无关。

(4)粒子被加速次数的计算

粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝E km

Uq(U是加速电压大小)，一个周期加速两次。

设在电场中加速的时间为t1，缝的宽度为d，则nd＝v

2t1，t1＝

2nd

v。

(5)粒子在回旋加速器中运动的时间

在磁场中运动的时间t2＝n

2T＝

nπm

qB，总时间为t＝t1＋t2，因为t1?t2，一般认为在盒内的

时间近似等于t2。

1.

回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D 形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以使在盒间的窄缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速，两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，磁感强度为B，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为R，其运动轨迹如图所示。问：

(1)盒内有无电场？

(2)粒子在盒内做何种运动？

(3)所加交流电频率应是多大，粒子角速度为多大？

(4)粒子离开加速器时速度为多大，最大动能为多少？

解析：(1)D形盒由金属导体制成，D形盒可屏蔽外电场，盒内只有磁场而无电场。

(2)粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大。

(3)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交流电压频率要等于粒子回旋频率。 回旋频率f ＝qB

2πm

角速度ω＝2πf ＝qB

m 。

(4)粒子最大回旋半径为R ，由牛顿第二定律得 q v m B ＝m v m 2

R ， 其最大速度：v m ＝qBR

m

故最大动能E km ＝12m v m 2

＝q 2B 2R 22m 。

答案：(1)无电场 (2)见解析 (3)qB 2πm qB m (4)qBR m q 2B 2R 2

2m

2.某质谱仪的原理如图所示，a 为粒子加速器，电压为U 1；b 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B 1，板间距离为d ；c 为偏转分离器，磁感应强度为B 2。今有一质量为m 、电荷量为e 的正电子(不计重力)，经加速后，该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做半径为R 的匀速圆周运动。求：

(1)粒子的速度v 为多少？ (2)速度选择器的电压U 2为多少？

(3)粒子在B 2磁场中做匀速圆周运动的半径R 为多大？ 解析：(1)粒子通过加速电场时 eU 1＝1

2

m v 2，故v ＝

2eU 1

m

。 (2)由粒子恰能通过速度选择器知 e v B 1＝e U 2

d 故U 2＝B 1d

2eU 1m 。

(3)粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 m v 2R ＝e v B 2，故R ＝1B 2

2U 1m e 。

答案：(1) 2eU1

m(2)B1d

2eU1

m(3)

1

B2

2U1m

e

1．复合场

复合场是指重力场、磁场、电场三者或任意两者的组合或叠加。

2．受力分析

带电粒子在重力场、电场、磁场中运动时，其运动状态的改变由粒子受到的合力决定，因此，对带电粒子进行受力分析时必须注意是否考虑重力，具体情况如下。

(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。

(2)对于题目中明确说明需要考虑重力的，这种情况较简单。

(3)不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。

3．带电粒子在复合场中运动的几种情况及解决方法

(1)当带电粒子所受合力为零时，将处于静止或匀速直线运动状态。应利用平衡条件列方程求解。

(2)当带电粒子做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，其余各力的合力必为零。一般情况下是重力和电场力平衡，应利用平衡方程和向心力公式求解。

(3)当带电粒子所受合力大小与方向均变化时，粒子将做非匀速曲线运动，带电粒子所受洛伦兹力必不为零，且其大小和方向不断变化，但洛伦兹力不做功，这类问题一般应用动能定理求解。

1.如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有沿－y方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场。现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)以初速度v0沿－x方向从坐标为(3l，l)的P点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点O射出，射出时速度方向与y轴正方向夹角为45°，求：

(1)粒子从O点射出时的速度v和电场强度E。

(2)粒子从P点运动到O点过程所用的时间。

解析：根据题意可推知：带电粒子在电场中做类平抛运动，由

Q 点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O 点射出(轨迹如图所示)。

(1)根据对称性可知，粒子在Q 点时速度大小为v ，方向与－y 轴方向成45°，则有 v cos 45°＝v 0① 即v ＝2v 0 在P 到Q 过程中有 qEl ＝12m v 2－1

2m v 02②

由①②解得E ＝m v 02

2ql

。③

(2)粒子在Q 点时沿－y 方向速度大小v y ＝v sin 45°④ P 到Q 的运动时间 t 1＝v y a ＝v y

qE

m

⑤

P 到Q 沿－x 方向的位移为s ＝v 0t 1⑥ 则O Q 之间的距离为O Q ＝3l －s ⑦

粒子在磁场中的运动半径为r ，则有2r ＝O Q ⑧ 粒子在磁场中的运动时间t 2＝14×2πr

v ⑨

粒子由P 到O 的过程中的总时间t ＝t 1＋t 2⑩ 解得t ＝????2＋π4l v 0

。 答案：(1)v ＝2v 0 E ＝m v 022ql

(2)????2＋π4l

v 0 2．已知质量为m 的带电液滴，以速度v 射入互相垂直的匀强电场E 和匀强磁场B 中。液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示。

(1)液滴在空间受到几个力作用？ (2)求液滴电性及带电荷量。 (3)求液滴做匀速圆周运动的半径。

解析：(1)由于研究对象是处于电磁复合场中的带电液滴，它应受到静电力和洛伦兹力作用，结合题意，液滴在复合场中刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动，则其必受重力，所以液滴共受到静电力、洛伦兹力、重力三个力作用。

(2)因为液滴做匀速圆周运动，故必须满足重力与静电力平衡，所以液滴应带负电，由

mg ＝qE ，得电荷量q ＝

mg E

。 (3)尽管液滴受三个力作用，但合力等于洛伦兹力，由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2

r ，故半

径r ＝m v qB ，又电荷量q ＝mg

E ，代入可得r ＝E v gB

。

答案：(1)三个 (2)负电 mg

E (3)E v gB