优化设计实验指导书(完整版)

优化设计实验指导书

潍坊学院机电工程学院

2008年10月

目录

实验一黄金分割法 (2)

实验二二次插值法 (5)

实验三 Powell法 (8)

实验四复合形法 (12)

实验五惩罚函数法 (19)

实验一黄金分割法

一、实验目的

1、加深对黄金分割法的基本理论和算法框图及步骤的理解。

2、培养学生独立编制、调试黄金分割法C语言程序的能力。

3、掌握常用优化方法程序的使用方法。

4、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。

二、实验内容

1、编制调试黄金分割法C语言程序。

2、利用调试好的C语言程序进行实例计算。

3、根据实验结果写实验报告

三、实验设备及工作原理

1、设备简介

装有Windows系统及C语言系统程序的微型计算机，每人一台。

2、黄金分割法(0.618法)原理

0.618法适用于区间上任何单峰函数求极小点的问题。对函数除“单峰”外不作

其它要求，甚至可以不连续。因此此法适用面相当广。

0.618法采用了区间消去法的基本原理，在搜索区间内适当插入两点和，它们把

分为三段，通过比较和点处的函数值，就可以消去最左段或最右段，即完成一次迭代。

然后再在保留下来的区间上作同样处理，反复迭代，可将极小点所在区间无限缩小。

现在的问题是：在每次迭代中如何设置插入点的位置，才能保证简捷而迅速地找到极小点。

在0.618法中，每次迭代后留下区间内包含一个插入点，该点函数值已计算过，因此以后的每次迭代只需插入一个新点，计算出新点的函数值就可以进行比较。

设初始区间[a,b]的长为L。为了迅速缩短区间，应考虑下述两个原则：（1）等比收缩原理——使区间每一项的缩小率不变，用表示(0<λ<1)。

（2）对称原理——使两插入点x1和x2，在[a,b]中位置对称，即消去任何一边区间[a,x1]或[x2,b]，都剩下等长区间。

即有

ax1=x2b

如图4-7所示，这里用ax1表示区间的长，余类同。若第一次收缩，如消去[x2,b]区间，则有：λ=(ax2)/(ab)=λL/L

若第二次收缩，插入新点x3，如消去区间[x1,x2]，则有λ=(ax1)/(ax2)=(1-λ)L/λL

根据原理应有：(ax2)/(ab)=(ax1)/ax2

即λL/L=(1-λ)L/λL

可得λ^2+λ-1=0

解此方程，舍去负根，取有用的根为λ=(sqrt(5)-1)/2=0.618

λ=0.618这样的比例又称为黄金分割比，它是一个具有奇妙性质的数，历史上曾不断作为美学方面的最佳比而反复出现。黄金分割比至今仍有很多应用。

３、黄金分割法计算步骤

（1）确定f(x)的初始搜索区间[a,b]及终止限。

（2）计算x2=a+0.618(b-a),f2=f(x2)

（3）计算x1=a+0.382(b-a),f1=f(x1).

（4）若|x2-x1|<$，则输出x*=(x1+x2)/2，停机；否则，若|x2-x1|>=$，转（5）。

（5）若f1<=f2，则置b≡x2.x2=x1，，然后转（3）；否则，f1>f2，则置a=x1，x1=x2，f2=f1，转（4）。

4、黄金分割法计算框图

四、实验步骤：

1．编制调试程序。

2．计算实例。

五、实验报告内容

1、绘制程序框图。

2、记录计算结果并分析。

实验二二次插值法

一、实验目的

1、加深对二次插值法的基本理论和算法框图及步骤的理解。

2、培养学生独立编制、调试二次插值法C语言程序的能力。

二、实验内容

1、编制调试二次插值法C语言程序。

2、利用调试好的C语言程序进行实例计算。

3、根据实验结果写实验报告

三、实验设备及工作原理

1、设备简介

装有Windows系统及C语言系统程序的微型计算机，每人一台。

2、二次插值法原理

多项式是逼近函数的一种常用工具。利用插值多项式进行一维搜索的基本思想是构造一个较低的插值多项式P(x)来近似地代替原目标函数f(x)，并以函数P(x)的极值点x

p

*

（即P/(x)=0的根）作为目标函数f(x)的近似极值点。再通过比较各插值点和x

p

*的函数值及其所在位置，设法缩减搜索区间。从而最终逼近函数f(x)的极值点.

如果P(x)是二次多项式，则称为二次插值法，若P(x)是三次多项式，则称为三次插值法。一般来说，三次插值的收敛性要好一些，但要计算函数导数；而二次插值计算较简单且具有一定的精度，故应用广泛。

二次插值又称为抛物线法。设原目标函数f(x)的初始单峰搜索区间[x

1,x

3

]已确定。函

数f(x)在x

1,x

2

,x

3

三点处函数值f

1

,f

2

,f

3

，其中x

1

2

3

，且f(x

1

)>f(x

2

)

3

)。即在三点

处函数值为“高——低——高”形态（或称“两头大，中间小”），见图4-9。

作二次插值多项式 P(x)=α

0+α

1

x+α

2

x2

根据插值条件：在插值点处函数P(x)与目标函数f(x)应具有相同函数值。P(x)应满足

P(x

1)=α

+α

1

x

1

+α

2

x

1

2=f

1

P(x

2)=α

+α

1

x

1

+α

2

x

2

2=f

2

……………2－1

P(x

3)=α

+α

1

x

1

+α

2

x

3

2=f

3

对式P(x)=α

0+α

1

x+α

2

x2求导并令其等于零，得

P/(x)=α

1+2α

2

x=0

或写为 x=-α

1/2α

2

……………2－2

由式2－1中相邻两方程相减消去，得到

α1(x1-x2)+α2(x12-x22)=f1-f2

α1(x2-x3)+α2(x23-x32)=f2-f3……………2－3

由此解出α

1和α

2

，再代入2－2，于是插值多项式P(x)的极小点为

x

p *=[(x

2

2-x

3

2)f

1

+(x

3

2-x

2

2)f

2

+(x

1

2-x

2

2)f

3

]/2[(x

2

-x

3

)f

1

+(x

3

-x

2

)f

2

+(x

1

-x

2

)f

3

] ……2－4

x

p

*即为目标函数f(x)的极小点的一个近似点。

若f(x)本身为二次函数，则在理论上按式2－4一次求值就可找到最优点，x

p

*即为所

求。若f(x)为高于二次的函数或其它函数，则一般x

p

*不与原函数f(x)的极小点x*重合，如课本图示。为了求得满足一定精度要求的f(x)的极小点x*，可采用逐步缩小区间的办法。

如课本图示，搜索区间的缩小可根据x

p *和x

2

，f(x

p

*)和f(x

2

)的相互关系，分六种不同的情

况。图中阴影部分为消去的区间。可将f(x

p *)和f(x

2

)中函数值高的点作为缩小后的新区间

的一个边界点。然后以x

2,x

p

*,x

1

（或x

3

）再次构造一条具有“高——低——高”形态的抛

物线。如此反复进行，直到搜索区间内的∣x

2-x

p

*∣值小于规定的精度ε时，停止迭代，

最后以x

p *和x

2

中函数值较小的点作为f(x)的极值点x*。

3、二次插值法计算步骤：

（1）确定初始搜索区间[x

1,x

3

]并给定ε.在初始区间[x

1

,x

3

]内选定一点x

2

，应满足条件：

x 1

2

3

,f(x

1

)>f(x

2

)

3

)，即函数值具有“两头大，中间小”的性质。这可以采用中

所述进退法完成。

（2）以x

1,x

2

,x

3

三点构造新插值曲线P(x)，并按式4-9求出x

p

*。

（3）检验∣x

2-x

p

*∣<ε?若是终止迭代，以x

2

,x

p

*中函数值较小的点作为最优点x*；若否，

转下一步。

（4）判别x

2和x

p

*,f(x

2

)和f(x

p

*)的相互关系属于图4-10中何种情况。舍去函数值较大

的点x

1（或x

3

）缩小区间，用x

2

,x

p

*,x

3

（或x

1

）作为新的三点（在这三点处函数值

仍保持“高——低——高”形态），转向（2）重新构造新插值曲线P(x)。

4、二次插值法的计算框图见下图：

四、实验步骤：

1．编制调试程序。

2．计算实例。

五、实验报告内容

3、绘制程序框图。

4、记录计算结果并分析。

实验三 Powell 法

一、实验目的

1、加深对Powell 法的基本理论和算法框图及步骤的理解。

2、熟悉、调试Powell 法语言程序。

3、巩固无约束优化方法。

二、实验内容

1、调试Powell 法C 语言程序。

2、利用调试好的C 语言程序进行实例计算。

3、根据实验结果写实验报告

三、实验设备及工作原理

1、设备简介

装有Windows 系统及C 语言系统程序的微型计算机，每人一台。 2、Powell 法原理

(1) 鲍威尔共轭方向法原理 1)共轭方向的构造

（以二维为例）对于某两点 ，分别沿方向 ( 不平行)一维搜索得到两个最优点 ，构成方向 ,则 与

为共轭方向。如图所示。

共轭方向法的迭代过程

2010

,X X

1

S

12010,S X X

-21,X X 122X X S

-=1S 2S

2)鲍威尔共轭方向法基本原理：

a 、第一轮迭代与坐标轮换法相同。将本轮迭代起点和N 次一维搜索的末点组成一个新的方向，沿这个方向一维搜索，得到本轮迭代的终点。

b 、从第二轮起，舍去前一轮的第一个一维搜索方向，将前一轮的后N 个一维搜索方向作为本轮迭代的前N 个方向，这N 个方向的一维搜索终点与本轮搜索的起点构成第N+1个一维搜索方向，沿这个方向做一维搜索，得到本轮搜索的终点。

c 、若不满足精度要求，则重复迭代。

(3)鲍威尔共轭方向法的特点

收敛速度比坐标轮换法有明显的提高。前提是每轮迭代所产生的新的方向与本轮前N-1个方向之间要保持线性无关。若这些方向之间线性相关，则降低了搜索空间的维数，导致不能完全穷尽对设计空间每个方向的搜索，从而不能收敛于真正的最优解。

(2)改进的鲍威尔法 1)基本原理

共轭方向法的前提是每一轮迭代中新生成的第N+1个方向与其它方向线性无关，如果出现线性相关，则导致算法不能正确收敛。

鲍威尔为了解决该问题，加入了对共轭方向的判断。

如果线性无关则采用该方向，但并不是机械的替换上一轮第一个方向，而是替换函数值下降最多的方向。如果线性相关，则还是用上一轮迭代的方向。

2)线性相关性的判别准则

其中：f1——本轮迭代起点函数值

???

-?

(5.0))(2(f f f f f f f f f k m k m

f2——本轮迭代终点函数值 f3——映射点函数值

Δmk ——函数值下降最大的一步

一维搜索 若满足该公式，则去掉第m 个方向，下一轮迭代的m 到N 方向采用本轮次第m+1到N+1个方向；若不满足，则本轮迭代结束，以本轮终点为下一轮起点，仍采用本轮的N 个方向进行迭代。

3、基本步骤

(1)给定初始点和计算精度。

(2)置k=1，取N 个坐标轴的单位向量为搜索方向 （i=0,1,…,N -1），

(3)从 出发，沿 一维搜索，得到N 个极小点

，（i=1,2,…,N ）,找到函数值下降最快的一次一维搜索的函数下降值和方

向，记作Δk

m ， (4)计算反射点 ， 计算f 1，f 2，f 3。 (5)若满足判别条件，构造本轮迭代第N+1个方向：

由N 次一维搜索的终点沿 一维搜索得到本轮迭代终点，作为

下一轮迭代（k +1轮）起点；去掉方向，将 作为下一轮迭代的第N 个

方向。否则，保留前N 个搜索方向到下一轮迭代，取m in(f 2，f 3)对应的点作为下一轮起点。

(6)若满足迭代终止条件：

终止迭代，输出优化结果； 否则k ←k+1,返回（3）。

4、Powell 法的计算框图见下图：

四、实验步骤

1．编制调试程序。 k

X 0 k

i S k m

S k

i X k

k N k N X X X 012 -←+

k k N k

N X X S 0

-←k

m S k

N S

1010210010)

()

()(εε<-?<-+++k k k k

k X X X f X f X f

五、实验报告内容

1、绘制程序框图。

2、记录计算结果并分析

实验四复合形法

一、实验目的

1、加深对复合形法的基本理论和算法框图及步骤的理解。

2、培养学生独立编制、调试复合形法C语言程序的能力。

二、实验内容

1、编制调试复合形法C语言程序。

2、利用调试好的C语言程序进行实例计算。

3、根据实验结果写实验报告

三、实验设备及工作原理

1、设备简介

装有Windows系统及C语言系统程序的微型计算机，每人一台。

2、复合形法原理

（1）在设计空间找到K个可行点构成多面体(二维：多边形，三维：多面体，再高维的：超多面体)，即所谓初始复合形。根据复合型各顶点目标函数值的大小找到复合形的最坏点，以其它K-1个顶点的形心为中点，找到最坏点的映射点，其它K-1个点与这个映射点构成新的复合形。这样反复进行坏点的映射，使得复合形不断更新或者收缩，使之逐渐逼近约束最优点。

（2）初始复合形的形成

a、初始复合形的顶点数K的确定：

K一般取在一般n+1?K?2n，当维数n较小时取较大的K（如K=2n）；当n较大时，取较小的K。

b、初始复合形的顶点的确定

1)人工试凑的方法－适于维数较低的问题

2)随机产生法之一

①利用随机函数在(0,1)内产生n个随机数，可以得n个变量

x i=a i+ξi (b i-a i) i=1,2,…n

a , b分别为n个变量的下界和上界

于是得复合形的第一个顶点记为X (1) ，经过K 次这样的步骤可以依次得到(a i , b i )内的K 个随机点X (1),X (2),…,X (K) ，共产生K ×n 个随机数。

会有两种情况：a 、K 个随机点都不可行，重新产生； b 、至少有一个点是可行点，设法调入可行域

② 将非可行点调入可行域(结合图5－

8)

由随机法产生的K 个随机点排队，可行点放在前面，非可行点放在后面，假设前q 个点为可行点，那么第q+1个点X (q+1) 为非可行点，将X (q+1)

（3）初始复合形的搜索方法 a 、映射(也叫反射)（见图）

步骤：1) 计算复合形各顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点X (L) 、最坏点X (H) 、次坏点X (SH)；

2） 算除去最坏点之外的k-1顶点的中心X (C)

＝

3) 计算映射点X (R) X (R) = X (C) +α(X (C) －X (H))

4）如果映射点X (R) 既为可行点，且F R

合形；否则将α缩小0.7倍，继续用上述公式计算X (R) ，直到

∑

=-k

j Xj

k 1

1

1

X(R)既可行又适用。

b、扩张的方法(见图)

如果得到的反射点X(R)为可行点，而且目标函数值下降较多(如Fr

X（E）= X(R) +γ(X(R) －X(C)) γ取1

如果X(E)既为可行点，且F E

c、收缩的方法(见图)

如果在中心点X(C)以外找不到合适的反射点，则可用收缩的方法在X(C)和X(H)中间找较好的新点X(K)

X(K)= X(H) +β(X(C) －X(H)) 收缩系数β取0.7

如果该点适用，收缩成功，用X（K）代替X(H) .

d．压缩的方法(见图)

如果以上方法均无效，还可以将复合形各顶点向最好点靠拢的方法，即压缩。

2、复合形法的迭代步骤

(1)输入各常量，如设计变量个数n，收敛精度ε1、ε2，初始反射系数α，设计变量的上下界值b j和a j，j=1,2,…,n。

(2)产生初始复合形，其各顶点要在可行域内，且满足约束条件。即第一个顶点产生方法不限，其余k-1个顶点可按随机法产生（设复合形有k个顶点）。

x j(i)=a j+ξij(b j-a j) i=1,2,…,k, j=1,2,…,n

式中，k为顶点号；j为点的第j个坐标，a j、b j为对应于x j分量的边界约束；ξij为伪随机数，一般微机产生。

(3)计算各顶点的目标函数值，找出最坏点X(H)、次坏点X(SH)、最好点X(L)，即

X(H): F(X(H))=max {F(X(i)),i=1,2,…,k}

X(SH): F(X(SH))=max {F(X(i)),i=1,2,…,k,i≠H}

X(L): F(X(L))=min{F(X(i)),i=1,2,…,k}

(4)计算除最坏点X(H)之外的k-1个顶点的中心点X(c)，即

X(c)=1/k∑X(i) (k=i,2,…,k,k≠H)

检验中心X(c)，若X(c)在可行域内，则继续执行步骤（5）；若X(c)不在可行域内，此时可行域为非凸集，如下左图所示，此时作下述计算：

利用最坏点X(H)和中心点X(c)重新确定一个区域，即在以X(H)为起点。X(c)为端点的超方体中重新利用伪随机数产生新的复合形，即转回（2）。新区域如上左图中虚线所示，此时，各设计变量x j的边界约束应是

若x j(H)

a=x(H)

b j=x j(c)

若x j(H)>x j(c)，j=1,2,…,n，则取

a j=x j(c)

b j=x j(H)

如此产生的新的中心点X(c)，一般已在可行域内，若该点仍落在可行域外，则应再转回步骤（2），如此反复，直至X(c)为可行点为止。

(5)在最坏点X(b)和中心点X(c)的连线方向上取反射点X(r)，即

X(R)=X(c)+α(X(c)-X(H)) 式反射系数α的初值一般取为α=1.3

求出反射点X(R)后，对该点进行可行性检查，若X(R)越出了可行域，如上右图所示，则将反射系数α减半，使X(R)点退回可行域，得到新的X(R)点。若新反射点X(R)仍未退回可行域，继续将α减半，如此反复，直至X(R)为可行点为止。

(6)构成新的复合形：计算反射点的函数值F(X(R))，并与最坏点X(H)比较。有两种情况：

1)若F(X(R))

2)若F(X(R))?F(X(H))，则将反射系数α减半，转步骤（5），重新计算反射点。如果新的反射点X(R)既为可行点，又满足F(X(R))

若直到反射系数α小于一个预先给定的很小正数时，反射点的函数值仍大于最坏点函数值，则说明该反射方向不好，此时改用次坏点X(SH)代替最坏点X(H)，即X(H)←X(SH)，换一个反射方向，转步骤（4）。

(7)终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小，直到满足下列情况之一:

1)各顶点与好点的函数值之差的均方根小于误差限

{1/k∑[F(X(i))-F(X(L))]2}1/2?ε1

2）各顶点与好点的函数值平方和小于误差限

∑[F(X(i))-F(X(L))]2?ε2

3) 各顶点与好点的函数值之差的绝对值之和小于误差限

∑|F(X(i))-F(X(L))|?ε3

若复合形不满足迭代终止条件，则应转向步骤（3），开始下一次迭代。

四、实验步骤：

1．编制调试程序。

2．计算实例。

5、绘制程序框图。

6、记录计算结果并分析。

实验五 惩罚函数法

一、实验目的

1、加深对惩罚函数法的基本理论和算法框图及步骤的理解。

2、调试并熟悉惩罚函数法的C 语言程序。

3、掌握常用约束优化方法程序的使用方法。

二、实验内容

1、调试惩罚函数法的C 语言程序。

2、利用调试好的C 语言程序进行实例计算。

3、根据实验结果写实验报告

三、实验设备及工作原理

1、设备简介

装有Windows 系统及C 语言系统程序的微型计算机，每人一台。 2、惩罚函数法原理 外罚函数法基本原理

惩罚函数定义在可行域外部，迭代过程从外部逼近最优点。 1）不等式约束的处理

a 、惩罚项：

要求：迭代点离约束越远，惩罚项越大。

式中：

b 、惩罚系数，一般取递增的等比数列。

??

?

?

?<===≥∈n q v X h p u X g t s R

X X F v u n

,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min ∑

=p

u u k X g 1

2

)))(,0(min(

γ??

?=-=

（在可行域内）

在可行域外）

0)((2

)

()())(,0min(X g X g X g X g u u u u

C 、 惩罚函数： 2）等式约束的处理：

1）惩罚项：

2) 惩罚函数 3）带有惩罚项的目标函数的构造：

3、惩罚函数法算法流程：

∑

=+=p u u k

k X g X F X 1

2

)))

(,0(min()(),(

γ

γφ+∞

→<<

γ

γγ......021∑

=p

v v k

X h 1

2

)

( γ

∑

=+=q v v k

k X h X F X 1

2

)

()(),(

γ

γφ∑∑

==++=q v v

k

p u u k

k X h

X g X F X 1

21

2

)

()))(,0(min()(),(

γ

γ

γφ