吉林省白城市通榆县一中2020-2021学年高三下学期第一次月考数学试题含解析《加15套高考模拟卷》

吉林省白城市通榆县一中2020-2021学年高三下学期第一次月考数学试题

请考生注意：

1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，4

1a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

2．已知复数2

(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．已知1F 、2F 分别是双曲线()22

2

2:10,0x y

C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2

B

C

．D

4．若将函数()2sin 16f x x π?

?=+- ???的图象上各点横坐标缩短到原来的12

(纵坐标不变)得到函数()g x 的图

象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π??

???

，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是

2

π C ．函数()g x 的图象关于点 012π??

- ???

，对称 D ．函数()g x 在0 6π??

???

，上最大值是1 5．已知关于x

sin 2x x m π??

+-= ???

在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2??

????

B ．[)1,2

C ．[)0,1

D ．[]0,1

6．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）

A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个

B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C ．8月是空气质量最好的一个月

D ．6月份的空气质量最差. 7．已知函数()1x

f x xe

-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2

0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内

都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e

B ．2(,]e e e

-

C ．22(,]e e e e

-

+ D ．2

(1,]e e

-

8．函数()2

2x

f x a x

=-

-的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3

B ．()1,2

C ．()0,3

D ．()0,2

9．已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56

x π

=

，且12()()4f x f x ?=-，则12x x +的最小值为( )

A ．3

π-

B ．0

C ．

3

π D ．

23

π 10．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5???

???

B ．9

32,2ln 2ln 5??

???

C ．9

32,2ln 2ln 5?? ???

D ．9,2ln 2??

+∞

???

11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱

11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（ ）

A ．

22

B ．2

C 3

D ．2

12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，125

2

a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85

B ．

852

C ．35

D ．35

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点，则实数m 的取值范围为____ 14．若一组样本数据7，9，x ，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______. 15．在()5

2x -的展开式中，3x 项的系数是__________（用数字作答）．

16．若双曲线C ：22221x y a b

-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，23a 的最小值________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，41

8

a =

.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，11

2

n n n a b S -+=-（2n ≥，n *∈N ）.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ??

?

???

是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n *∈N ，都有n n n S c a ≤≤？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由. 18．（12分） [选修4-5：不等式选讲] 设函数()|1|f x x =+.

（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；

（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.

19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

C 的长轴长为4.

（1）求椭圆C 的方程；

（2

）已知直线:l y kx =-C 交于,A B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.

20．（12分）已知函数()ln ()x

e f x x x ax a R =-+∈.

（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值.

21．（12分）在数列{}n a 中，已知11a =，且()()1131n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()11n n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1143

n T ≤<.

22．（10分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间

[)2025，

，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为n （单位：瓶）时，y 的数学期望的取值范围？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1、D

【解析】 【分析】

利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】 由

11a ，31a ，4

1a 构成等差数列可得 3143

1111a a a a -=- 即

133414133414

22a a a a d d

a a a a a a a a ----=?=?= 又()4111323a a d a a d =+?=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222

n n n n

S a n d d n d d n =

+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 2、B 【解析】 【分析】

分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】

因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3、B 【解析】 【分析】

设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线b

y x a

=

垂直，转化为两直线斜率之积为1-

可得出2

2b a

的值，进而可求得双曲线C 的离心率.

【详解】

设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc

y x a a

=-

=，即点,bc B c a ?

?- ??

?，

由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，

222BF bc

b a a k

c a b

-==-=-，2

22b a

∴=，

因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 4、A 【解析】 【分析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π??

???

上单调递

增，A 正确；关于点,112π??

-

- ???

对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】

将()f x 横坐标缩短到原来的

12得：()2sin 216g x x π?

?=+- ??

?

当0,

6x π?

?

∈ ??

?

时，2,662x π

ππ??+

∈ ???

sin x 在,62ππ??

???上单调递增 ()g x ∴在0,6π??

???

上单调递增，A 正确； ()g x 的最小正周期为：22T π

π=

= 2

π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π

+=，112g π??-=- ???

()g x ∴关于点,112π??

-- ???

对称，C 错误；

当0,

6x π??

∈ ??

?

时，2,662x π

ππ??

+

∈ ???

()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质. 5、C 【解析】 【分析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6

y x π

=+

，将方程的解的问题转化为函数

图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】

由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6

m x π

=+，

作出2sin()6

y x π

=+

的图象，

又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】

本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 6、D 【解析】

由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ． 7、D 【解析】 【分析】

将原题等价转化为方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断

()0,1x ∈时，

()0f x '>，()f x 是增函数；

当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2

()ln 1F x x x ax =-++，求导得

221

()x ax F x x

'

--=-

，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，

()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；

【详解】

函数()2

0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，

等价于方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.

111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；

当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.

设2

()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x

'

--=-+=-，

若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.

设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.

因为0(0,]x e ?∈，方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，

所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e

≤-

. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2

111ln 0x x ax -+>.

因为2

11210x ax --=，所以11

12a x x =-

，代入2111ln 0x x ax -+>，得2

11ln 10x x +->. 设()2

ln 1m x x x =+-，()1

20m x x x

'=

+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2

11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.

由1112a x x =-

在()1,e 上是增函数，得112a e e

<<-.

综上所述21a e e

<≤-， 故选：D. 【点睛】

本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题 8、C 【解析】 【分析】

显然函数()2

2x

f x a x

=-

-在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解. 【详解】

由题,显然函数()2

2x

f x a x

=-

-在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,

故选:C 【点睛】

本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题. 9、D 【解析】 【分析】

运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】

由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=

，且53()622

a f π=+，

即

322a +=1a =，所以()2sin()3

f x x π

=-， 又由12()()4f x f x ?=-，所以函数必须取得最大值和最小值，

所以可设11152,6x k k Z ππ=+

∈，2222,6

x k k Z π

π=-∈， 所以1212222,3

x x k k k Z π

ππ+=++∈，

当120k k ==时，12x x +的最小值23

π

，故选D. 【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10、C 【解析】 【分析】

由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32

()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32

ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间

(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.

【详解】

设函数()ln(1)f x a x =+，32

()2g x x x =-，

因为2

()34g x x x '=-， 所以()0g x '=，

0x ∴=或43x =

， 因为4

03

x << 时，()0g x '<，

4

3

x >

或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：

当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；

当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)

(4)(4)f g f g >???

，