海南中学2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题Word版含答案
海南中学2020-2021学年第一学期期中考试
高一数学试题
（考试时间：2019年11月；总分：150分；总时量：120分钟）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上;
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效; 4．考试结束后，请将答题卡上交。
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）
1. 下列关系中正确的是( )
R B. 0*N ∈ C. 1
2
Q ∈ D. Z π∈
2．函数2
y x =
-的定义域是( ) A ．3,2??+∞????
B ．3,2(2,)2??
+∞????
C ．3,2(2,)2??
+∞ ???
D ．(,2)(2,)-∞+∞
3. 函数x y 5=与x y -=5的图象( )
A ．关于y 轴对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线x y =轴对称
4. 已知命题：0)))(()((,,121221>--∈?x x x f x f R x x ，则该命题的否定是( )
A. 0)))(()((,,121221<--∈?x x x f x f R x x
B. 0)))(()((,,121221<--∈?x x x f x f R x x
C. 0)))(()((,,121221≤--∈?x x x f x f R x x
D. 0)))(()((,,121221≤--∈?x x x f x f R x x
5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )
A ．y x =
与3y = B ．x
y x =
与0y x = C
．2y =与||y x =
D ．211x y x +=-与1
1
y x =-
6. 设函数???<≥-=4
),(4
,13)(2
x x f x x x f ，则=+)4()3(f f ( ) A. 37 B. 26 C. 19 D. 13 7.下列命题中，不正确的是( )
A. 若,a b c d >>，则a d b c ->-
B. 若22a x a y >，则x y >
C. 若a b >，则
11a b a >- D. 若11
0a b
<<，则2ab b < 8. 下列函数中，在区间(),0-∞上单调递减的是( )
A. 2y x -=
B. y =
C. 21y x x =++
D. 1y x =+
9. 若0.90.4 1.54,8,0.5a b c -===，则( )
A. a c b >>
B. a b c >>
C. c a b >>
D. b a c >>
10.已知,(1)()2
(21),(1)
3x x f x a x x a ?≤?
=?-+>??，若定义在R 上的函数()f x 满足对)(,2121x x R x x ≠∈?，都有
2121
()()
0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是( )
A. ),1(+∞
B. )21,0(
C. )21
,31[
D. ]3
1
,0(
11. 若直角三角形ABC ?的周长为定值2，则ABC ?的面积的最大值为( )
A. 6-23- 12. 正实数,a b 满足9
1a b +
=，若不等式21418b x x m a
+≥-++-对任意正实数,a b 以及任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．[3,)+∞
B ．[3,6]
C ．[6,)+∞
D ．(,6]-∞
第二卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若幂函数)(x f 的图象过点)2,4(，则=)8(f .
14. 10
421()0.25
2-+?= .
15. 某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量y 与记忆天数x 的函数关系式为 ；并写出该函数的一个性质(比如：单调性、奇偶性、最值等)： .
16.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题10分）设全集R U =，集合}082|{<-=x x A ，}60|{<<=x x B . (1)求(U A )B ；
(2)}1|{A x x y y C ∈+==，，求C B .
18.（本题12分）已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，且[)+∞∈,0x 时，
()322--=x x x f .
(1)求()0,∞-∈x 时()x f 的解析式；
(2)在如图坐标系中作出函数()x f 的大致图象；写出函数()x f 的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).
19.（本题12分）已知集合}054|{},043|{222<-+=<--=m mx x x B x x x A . (1)若集合}15|{<<-=x x B ，求此时实数m 的值；
(2)已知命题A x p ∈:，命题B x q ∈:，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
20．（本题12分）
定义域为}0|{≠x x 的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且函数()f x 在区间),0(+∞上
单调递增．
(1)求()1
f，()1
f-
的值；(2)证明：函数()f x是偶函数；(3)解不等式()1202f f x??+-≤ ???. 21.（本题12分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中6=AB米，4=AD米. 现将矩形
花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN 过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．
(1) 设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
(2) 当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？最小面积是多少？
22．(本题12分)已知函数
1
)
(
2+
+
=
x
b
ax
x
f是定义在]1,1
[-上的奇函数，且
5
2
)
2
1
(=
f.
(1)判断函数)(x f 在]1,1[-上的单调性，并用定义证明；
(2)设)0(25)(>-+=k k kx x g ，若对于任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求正实数k 的取值范围.
海南中学2020-2021学年第一学期期中考试
高一数学试题参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13．22； 14．3- ；
15. }10|*{,50250≤∈∈+=x N x x x y ；(3分，其中解析式2分，定义域1分)
该函数的性质可以从以下角度回答(只需要答对一个即可)： (2分)
①该函数为增函数；
②该函数不是奇函数，也不是偶函数；
③当1=x 时，y 的最小值为300；当10=x 时，y 的最大值为750； ④该函数的值域为}750,700,650,600,550,500,450,400,350,300{.
16. 3
(,)2
-+∞.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （共6小题，总分70分）
17．（本题10分）设全集R U =，集合}082|{<-=x x A ，}60|{<<=x x B .
(1)求(U A )B ； (2)}1|{A x x y y C ∈+==，，求C B . 解：(1)，}4|{}082|{<=<-=x x x x A
全集R U =，∴
U
A }
4|{≥=x x ，又}60|{<<=x x B
∴(U A )B }0|{>=x x ． ……5分 (2)}5|{}1|{<=∈+==y y A x x y y C ，，又}60|{<<=x x B
C B ∴}50|{<<=x x . ……10分 18.（本题12分）已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，且[)+∞∈,0x 时，
()322--=x x x f .
(1)求()0,∞-∈x 时()x f 的解析式；
(2)在如图坐标系中作出函数()x f 的大致图象；写出函数()x f 的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).
解：(1)设0
-+=----=-x x x x x f ，
函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，()()322-+=-=x x x f x f ，
即()0,∞-∈x 时，()322-+=x x x f . ……5分
(2)()?
??<-+≥--=0,320,3222x x x x x x x f ，故图象如下图所示：
(提示：图象过点)4,1(),4,1(),5,4(),5,4(),0,3(),0,3(),3,0(------) ……8分 由图可知：函数()x f 的单调递增区间为：),1[]0,1[+∞-和； ……10分
函数()x f 的单调递减区间为：]1,0[]1(和--∞. ……12分
19.（本题12分）已知集合}054|{},043|{222<-+=<--=m mx x x B x x x A . (1)若集合}15|{<<-=x x B ，求此时实数m 的值；
(2)已知命题A x p ∈:，命题B x q ∈:，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)}15|{}054|{22<<-=<-+=x x m mx x x B
1505422，的两根为方程-=-+∴m mx x
由韦达定理知1,41521=∴-=+-=+m m x x
此时满足
}15|{}0)1)(5(|{}054|{}054|{222<<-=<-+=<-+=<-+=x x x x x x x x m mx x x B
……4分 (2)由p 是q 的充分条件，知B A ?， ……5分
又}41|{}043|{2<<-=<--=x x x x x A ， ……6分
}0)5)((|{<+-=m x m x x B
① 0>m 时，m m <-5，}5|{m x m x B <<-=，由B A ?
有44
51415≥??????≥≥
????≥-≤-m m m m m ，满足0>m ， ……8分
②0 有1541451-≤??????-≤-≤????≥--≤m m m m m ，满足0 20．（本题12分） 定义域为}0|{≠x x 的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且函数()f x 在区间),0(+∞上 单调递增． (1)求()1f ，()1f -的 值； (2)证明：函数()f x 是偶函数； (3)解不等式()1202f f x ? ?+-≤ ?? ?. 解：(1)令1x y ==，则()()()111f f f =+()10f ∴= ……2分 令1x y ==-，则()()()1110f f f =-+-=()10f ∴-= ……4分 (2)函数()f x 的定义域为}0|{≠=x x I ，I x I x ∈-∈?,，()10f -=又. 令1y =-，则()()()()1f x f x f f x -=+-= ()()f x f x ∴-=， ∴()f x 为定义域上的偶函数． ……8分 (3)据题意，函数()f x 在区间),0(+∞上单调递增，且()()011f f =-= 故函数图象大致如下： 由()()122102f f x f x ? ?+-=-≤ ?? ?， 1210x ∴-≤-<或0211x <-≤， 102x ∴≤< 或1 12 x <≤. ……12分 21.（本题12分）如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中6=AB 米，4=AD 米. 现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于150平方米． (1) 设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域； (2) 当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？最小面积是多少？ 解：(1)设AN 的长为x 米(4)x > 由题意可知： DN DC AN AM =，46x x AM -∴=，64 x AM x ∴=-， 2 64 AMPN x S AN AM x ∴=?= -， 由150AMPN S <，得2 61504 x x <-(4)x >, 520x ∴<<, 2 64 x S x ∴= -，函数定义域为{}520x x <<． ……6分 （2）2 64 x S x =-, 令4t x =-, (1,16)t ∈ 226(4)6(816)166(8)68)61696t t t S t t t t +++∴===++≥?=?= 当且仅当16 t t = , 即4t =, 8x =时, 等号成立. 即当AN 的长为8米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． ……12分 22．(本题12分)已知函数1)(2++= x b ax x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，且5 2 )21(=f . (1)判断函数)(x f 在]1,1[-上的单调性，并用定义证明； (2)设)0(25)(>-+=k k kx x g ，若对于任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求正实数k 的取值范围. 解：(1)由题可知，函数1)(2++= x b ax x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，且5 2 )21(=f ， 则2(0)011122()125(2)1b f a b f ? ==????+= +?=??? ，解得01b a =??=?. ……3分 函数1 )(2 += x x x f 在]1,1[-上单调递增，证明如下： ……4分 任取12[1,1]x x -∈，，且12x x <， ()()()() ()()()() 12111212 22122 2222121222222111122 221212()()()(11111111) 1x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-= ++++= =+++------+- 12[1,1]x x ∈-，，且12x x <，()() 22 2121120,1,110x x x x x x ∴-<++>>，1210x x ∴-< 于是()()120f x f x -<，()()12f x f x <， 所以1 )(2 += x x x f 在]1,1[-上单调递增. ……7分 (2)由题意，任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立． 转化为存在]1,0[2∈x ，使得)()(2max x g x f ≤，即max max )()(x g x f ≤.……8分 由(1)知函数1)(2+= x x x f 在]1,1[-上单调递增，2 1 )1()(max ==∴f x f ……9分 0>k ，k kx x g 25)(-+=∴在]1,0[上单调递增，k g x g -==∴5)1()(max .…10分 故有2900 52 1≤-≤k k k . 即正实数k 的取值范围为290≤