三中高三下册期中考试数学(理)试卷word版有答案

第二学期期中考试

高三理科数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设全集U R =，集合1{|

0}3x A x x +=≥-，1

{|28}4

x B x =≤≤，则()U C A B 为（）

A ．(1,3)-

B ．[2,1]--

C ．[2,3)-

D ．[2,1){3}--

2.已知复数z 满足()

3133i z i +=，z 是z 的共轭复数则z =（） A ．

B ．1

C ．32

D ．23

3. 以下有关命题的说法错误．．

的是（） A. 命题“若022=--x x ，则1-=x ”的逆否命题为“若1-≠x ，则022≠--x x ” B. “022=-+x x ”是“1=x ”成立的必要不充分条件

C. 对于命题R :0∈?x p ，使得0102

0<+-x x ，则R :∈??x p ，均有012≥+-x x D. 若q p ∨为真命题，则p ?与q 至少有一个为真命题

4.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x

273)(+-=（b 为常数），则=-)2(f （） A ．6 B ．6- C. 4 D ．4-

5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若520S =，且6130S a -=，则5a 的值是（） A ．8 B ．10 C ．4 D ．4或10

6.已知,a b 为单位向量， 0a b c ++=，则c 的最大值为（） A. 1 B. 3 C. 2 D. 3

7.已知40

cos 2d t x x π

，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那

么输出的n 的值为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 8.设，满足约束条件

，则目标函数

取最小值时的最优解

是

（）

A. B. C. D. 9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积为（）

A. 22

B. 23

C. 32

D. 2 10.已知函数()()sin (0)f x x ω?ω=+>的图象的一个对

称中心为,02π??

???

，且1

f π??= ???，则ω的最小值为（） A. 23 B. 1 C. 4

D. 2

11.已知双曲线C ： 22

221x y a b

-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ， P 为双曲线C 上一点，

Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =， 120QF QF ?=，则双曲线C

的离心率为（）

A. 8

B. 2

C. 132+

D. 132-

12．设()()2

f x e

x =+，令()()1'f x f x =，)()('1x f x f n n =+，若()()

2x n n n n f x e A x B x C =++，则

数列1n C ??????

的前n 项和为n S ，当112018n S -≤时， n 的最小整数值为（）

A. 2017

B. 2018

C. 2019

D. 2020

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13. 若5

61??? ?

?+x x x 的展开式的常数项是__________．

14.记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1

tan 2sin 2αα

+的值为 .

15.《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）

16.e 为自然对数的底数，已知函数()51

,01

ln ,1

x x f x x m x ?+<

三、解答题（共70分）

17. （12分）已知函数()x x x f 2

sin 262sin +??

?+=π. （Ⅰ）求函数

的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2

2=???

??A f ，7=+c b ，ABC ?的面积为32，求a 边的长.

18.（12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以x （斤）（其中10050≤≤x ）表示米粉的需求量，T （元）表示利润. （1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；

（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T 的分布列和数学期望.

19．（12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//MN 平面ABCD ．

（1）证明：MN PC ⊥；

（2）当H 为PC 的中点，PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为30?，求平面AMHN 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆系方程n C ：2222x y n a b

+=(0a b >>，*

n N ∈)，

12,F F 是椭圆6C 的焦点， ()

63A ，是椭圆6C 上一点，且2120AF F F ?=.

（1）求6C 的方程；

（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ，N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ，求证：QMN ?的面积为定值，并求出这个定值．

21.（12分）已知函数()()1ln 1+-+-=x x a ax x f . （1）若0=a ，求()x f 的单调区间；

（2）若关于x 的不等式()0≥x f 对一切()∞+∈，1

x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对*N ∈n ，都有

()1ln 2

1215131+<++++n n .

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ?

=+??

=?（?为参数，

[)0,2?π∈）

．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在

区间0,2π??

????

上变化时，求OB OA 的最大值．

选修4-5:不等式

23.（10分）已知+

∈R b a ,且22

1a b +=．（1）求a b +的最大值M ；

（2）若不等式32x t x x -≥-+-若任意22[,1]x M M ∈+成立，求实数t 的取值范围．

高三理科数学答案

一、选择题1-5 DCDAA 6-10 CBBBA 11-12 BA 二、填空题13. 5

14.121-

15. 6

16.

4e 3ln

17.【答案】(Ⅰ)最小正周期，单调递减区间是

；(Ⅱ)

（Ⅰ）()16-2sin 2cos 16sin

2cos 6

cos 2sin +??? ?

=-++=ππ

x x x x x f …………2分所以

的最小正周期

……………………………………………………3分

令2

326

2π

ππ

π+

≤-

≤+k x k ，解得

所以

的单调递减区间是

…………………………………………6分（Ⅱ）∵，

∴

，又∵

∴

…………………8分

∵

，

的面积为∴

…………………………………………10分

∴

…………………………………………12分

18.【答案】(1)0.65；(2)答案见解析. （1）一斤米粉的售价是元. 当时，.

当

时，

.故

………………3分设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.

由直方图可知，当时，.…………………6分

（2）当时，；当时，；当时，；当时，960.所以可能的取值为460，660，860，960.

，，，

.…………………10分

故的分布列为

(12)

分

19.解析（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，

因为AC PO O ?=且AC PO ?、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，

因为PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥．

因为//BD 平面AMHN ， BD ?平面PBD ，且平面AMHN ?平面PBD MN =，

所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ……………………………6分

（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，

所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，

所以，所以,1

232AO PA PO PA =

=，因为PA AB =，所以12

BO PA =．分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则

()()()()

()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,1,,0,2231O A B C D P H ??

--- ? ?

，所以()()

()330,2,0,,0,,3,1,0,0,1,1212P D B B AH AB ??

==-=-=- ? ??

?．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111121

{ 330

n DB y n AH x z ?==?=-+=，令11x =，所以()

11,0,33n =，…………………………………………9分

记平面ABCD 的法向量为()20,0,1n =，，记二面角的大小为θ，则121212

321

cos cos<,14

n n n n n n θ?===

?>．所以二面角P AM N --的余弦值为

321

．…………………………………………12分 20.【解析】（1）椭圆6C 的方程为： 6C ： 22

226x y a b

+= 即： 2222166x y a b +=

∵

．∴

，又

()

6,3A 6

c ∴=………2分

222666a b c ∴-==即： 22

1a b

-=又

()()2

63166a

2a ∴=,2

1b =∴椭圆6C 的方程为： 2

262

x y += ………………………4分

（2）解：设()00,P x y ，则()00,Q x y -- 当直线l 斜率存在时，设l 为： y kx m =+,

则00y kx m =+，由2

{ 2

x y y kx m

+==+联立得： ()

222214260k x kmx m +++-= 由0?=得()

22321m k =+ …………………………………………6分

Q 到直线l 的距离002

kx y m

m d k k -++=

同理，由2

{ 2

x y y kx m

+==+联立得： ()2222142120k x kmx m +++-= 122

421

x x k ∴+=-+， 2122

21221m x x k -=+…………………………………………8分 MN ∴=

()

()2

121214k

x x x x ??++-??

(

)

22421214?2121km m k k k ??-??=

+--?? ?++??????

()

(

)()

81261

k m k

+-=

++ 22

21k m +=

QMN

S MN d ?∴= 2

22121?

2211

k m m k k +=++ 2

22m

(

)2222321

k k ?+=

62=………………………………………………………………………………………………10分

当直线l 斜率不存在时，易知62QMN S ?∴=， QMN ?的面积为定值62……………12分

21.【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.(2)

；(3)证明见解析. （1）当时，函数

，定义域为

，.

令可得，令可得. 所以的单调增区间为，单调减区间为

.…………………………………………3分

（2）

，

①当时，

，.故

在区间上递增，所以，从而在区间上递增.所以对一切

恒成立.

②当

时，

，

当时，，当时，.所以时，.

而，故.所以当时，，

递减，

由，知，此时

对一切

不恒成立.

③当

时，

，

在区间上递减，有，从而

在区间上递减，有.

此时对一切不恒成立. 综上，实数的取值范围是.…………………………………………9分

（3）由（2）可知，取，当时，有

. 取，有

，即

. 所以

，

所以

.…………………………………………12分

22.【答案】（1）2

sin 42

πρθ?

= ?

?， 4cos ρθ=（2）222+ （1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即2sin 42

πρθ??

= ?

?．

曲线2C 的普通方程为()2

24x y -+=，即2

40x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为

4cos ρθ=． ……………………4分

（2）由（1）知1

,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ

==+，

()()

4cos cos sin 21cos2sin2224OB

OA παααααα?

?∴

=+=++=++ ??

?… 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242

ππ

α+=，

即8

α=时， OB OA 有最大值2+．…………………………10分

23.【解析】（1）由

a b

+≥

得a b +≤，当且仅当a b =取最大值，

M ∴=……………………………5分

（2）[2,3]x ∈，32

x t x x ∴-≥-+- 可化为1x t -≥，1t x ∴≤-或1t x ∴≥+恒成立

(,1][4,)t ∴∈-∞+∞………………………………10分