奇妙的幻方
上海市继光初级中学
陈洁
传说两千多年前，
夏禹治水时,
黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,
人称「河图」;
又洛水河中浮出一只神龟,
龟背上有一张象征吉祥的图案，人称「洛书」。
他们发现,
这些图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,
这就是我们现在所称的。在西方被称为：
通过人们的研究，
现在的幻方种类许许多多…….
平方幻方双重幻方
不仅具有一般幻方的性质，而且它们（每一行、每一列及两条对角线上，下同）的平方和也等于另外的定值。
不仅具有一般幻方
的性质，而且它们的连
乘积也等于另一个定值。
将自然数排
列在多个同心圆
或多个连环圆上，
使各圆周上数字
之和相同，几条
直径上的数字和
也相同。
幻圆
六角幻方
任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
按照国际象棋中马步走法，可以一直走到
64。
欧拉的马步幻方
别离情
②每一正方形，每一等腰梯形、每一平行四边形上的四个角，所含四数之和均为34。③每一交*十字点上，画一个“X ”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等
①具有一般幻方的性质。
这就是完美幻方。一首诗，一个幻方
两地相望十六年。
四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。
十五月亮一夜圆，十二月逢六天面。十诉别情八回怨，十三云月三重天。五作别诗十一首，
古往今来，
对幻方的研究不仅仅局限在数学家或科学领域
德国画家阿尔布莱希特.杜勒的著作《梅伦
可利亚》
(Melencolia)
（意为“忧郁”），
当时的占星家认为四阶魔方阵可以驱除忧郁，所以他就将这个魔方阵放入作品之中。
岫玉雕刻“奥运幻方”
在北京奥运会开
幕的日子，一件精美的玉雕“2008奥运幻方图”在中国玉都岫岩问世。
中间的四阶幻方
图共16个方格，每个格中刻有一个3位数字，横行、竖行、斜行的数字之和均为2008。
同时，这16个方
格又可组成16个矩形、8个梯形、8个平行四边形，每个几何图形四个角的数字之和也都等于2008。
在陕西西安市郊出土的6阶幻方
东阳农民三年倒腾出“完美幻方”
三枚2011贺岁六阶幻方
现在，
让我们一起来研究最简单的幻方——平面和幻方
三阶幻方四阶幻方五阶幻方
六阶幻方…………n阶幻方
492 357 816
115144
12679
810115
133216
17241815
23571416
46132022
10129213
11182529
193433322 61125241431 102216171927 30182021157 29231312268 352834536
在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：这就是三阶幻方了。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
你知道黄蓉是怎么做出来的吗？数字1—9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。
这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
初中数学_探寻神奇的幻方教学设计学情分析教材分析课后反思
探寻神奇的幻方》教学设计 教学目标： 1、综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质； 2、通过观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验； 3、通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特 殊到一般”的探究问题的方法和经验； 4、进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。教学重点：运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质。 教学难点：对问题中所蕴含的规律进行分析，发展数感。教学过程：
1）将 0、1、2、3、4、5、6、 7、 8 这九个数字做成三阶幻方，最 核心的位置数字是 ___ . 学生独立完成， 的学习情况 2）将-2 、-1 、0、1、2、3、4、5、 6 这九个数填入九宫格里，使每 行、每列及两条对角线上三个数 第五、课堂小结 角线上三个数的和都相等 4 3 8 练习： 在下图的空格里，填上合 适的数，使横行、竖列及两条对 角线上三个数的和都相等 . 3 17 1 本节课你有哪些收获和启发？ 基本知识： 1、填三阶幻方的方法：九宫图、 阶梯法 2、数的规律 思想方法： 1. 数形结合． 2. 分类讨论 . （ 2）中间数 =幻和÷ 3. （3） b=（a+c ） ÷2 中间数 =横行、竖行和对角 线剩余两数之和÷ 2 角数 =对角两旁数的和÷ 2 学生归纳总结， 进一步明确 本节课的学习重点， 引导学 生归纳本节的基本内容， 让 学生及时小结， 教师展示知 识并提炼本节课的数学思 想方法． 示探究 的规律 Ppt 展示 本节课 的教学 要点，便 于学生 掌握. Ppt 出示 检测本节课 题目 第六、达标检测 4)C=(A+B)÷2
探寻神奇的幻方
综合与实践 探寻神奇的幻方 太原第二实验中学白志红 学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析 本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流； 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.
七年级数学综合与实践：探寻神奇的幻方教案
综合与实践：探寻神奇的幻方 教学目标 1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。 2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。 3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。 教学重点 探索三阶幻方的本质特征 教学难点 构造符合要求的三阶幻方 教法与学法指导: 教法：情景体验法、引导发现法。具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方，学生从图形感受三阶幻方的对称美，然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获取构造三阶幻方的经验。 学法：小组讨论、自主探究、合作交流． 教具准备：投影片 教学过程： 一、巧设情景，引入新课 ［师］语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？ ［生］能。背诵一首古诗。 ［师］其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：（出示投影片） 四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。 二七六郎赏月半，周围十五月团圆。 学生先默读这首诗，再齐声读这首诗。 ［师］要想解释这首诗的意思，先让我们先看看这首诗的来历吧。（引入神话传说） 相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。龟背上刻有神奇的图案。 （出示投影片：龟背图） 97 54 32
这个龟背图很特别，用黑白圈来表示数，并用直线连接这9个数。你能说出它们分别代表哪些数吗？ 学生回答。白色是单数，黑色是双数。 ［师］这幅图被称为“洛书”，实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）如图2（出示投影片2）。学生认识图2。 ［师］由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。我国的少数民族如：藏族和纳西族都曾有“九宫图”。这首诗就是当时赞美九宫图的。九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。幻方曾使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。但是外国人研究幻方比我们的祖先晚了两千多年。今天我们就来探寻神奇的幻方。教师板书课题。 【设计意图：用一首古诗引入新课，可以激发学生强烈的求知欲；介绍神话故事和幻方的历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学生民族自豪感。】 二、明确任务小组探究 ［师］同学们仔细观察图2的幻方，先独立思考一下问题，然后小组讨论你没有解决的问题，10分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！ 教师出示学习任务。(投影片出示课本“议一议”) 在如图的三阶幻方中： （1）每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？ （3）你能否改变幻方中数字的位置，使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系？（4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？
探寻神奇的幻方教学设计原稿
《探寻神奇的幻方》（1）教学设计 甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校闫治春 一、教材分析 《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。 二、学情分析 学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。 本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。 三、任务分析 《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，
北师大版七年级数学(上册)《探寻神奇的幻方》参考教案
综合与实践 探寻神奇的幻方 学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析 本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流； 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：
趣味数学061：一些特殊的幻方
一些特殊的幻方 由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。 一、间隔幻方 1 35 24 54 43 9 6 2 32 6 40 19 49 48 14 5 7 27 47 13 58 28 5 39 20 50 44 10 61 31 2 36 23 53 22 56 3 33 64 30 41 11 17 51 8 38 59 25 46 16 60 26 45 15 18 52 7 37 63 29 42 12 21 55 4 34 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方： 1 24 43 6 2 35 54 9 32 47 58 5 20 13 28 39 50 22 3 64 41 56 33 30 11 60 45 18 7 26 15 52 37 它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。
16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 1 2 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。 三、双料幻方 46 81 117 102 15 76 200 203 19 60 232 175 54 69 153 78 216 161 17 52 171 90 58 75 135 114 50 87 184 189 13 68 150 261 45 38 91 136 92 27 119 104 108 23 174 225 57 30 116 25 133 120 51 26 162 207 39 34 138 243 100 29 105 152 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。
幻方的性质与应用
郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用 学生姓名：学号： 专业：信息与计算科学专业 院（系）： 完成时间 2010年5月20日 目录
幻方的性质与应用 (1) 摘要 (1) 引言 (2) 1幻方及其基本性质 (2) 2幻方的构造 (4) 3幻方的应用 (8) 综述 (9) 结束语及致谢 (10) 参考文献 (10)
幻方的性质与应用 【摘首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后 随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。 【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。 【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用 【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 1.2几种常见的幻方 2幻方的构造 2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法 2.2奇数阶幻方的构造 2.3偶数阶幻方的构造 2.4一般幻方的构造 3幻方的应用前景 3.1幻方应用于美术设计 3.2幻方应用于智力的开发功能 3.3幻方应用于科学技术之中 引言 所谓幻方也叫纵横图，就是在n′n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一 定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条
探寻神奇的幻方
探寻神奇的幻方 摘要： 魔方是我们常见的一种玩具，生活中随处可见，但又有多少人明白它的真正奥义呢？ 目录 一、幻方的特点 (1) 二、尝试改变幻方 (2) 三、尝试构建新幻方..3 四、总结 (3) 五、知识延伸……..4-5 创作成员：陈炫均
一、研究幻方的特点： 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把“洛书”用数学符号翻译过来，就是一个三阶幻方。如图 在上图中每行、每列、每条对角线上的三个数之和皆是15。这是幻方的特点，在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻洛书” 如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个“口字里面还有一个米字”的图形。
二、尝试改变幻方 在发现了幻方的特点之后，我想要改变上图的数字位置，变成另一个新的幻方，如下图 6 1 8 7 5 3 2 9 4
三、尝试构建新幻方 通过上面的幻方分析，我尝试构建一个三阶幻方取11、12、13、14、15、16、17、18、19 16 17 12 11 15 19 18 13 14 四、总结 其实在我们解三阶幻方时是有一种规律的：如我们最开始的那个魔方，想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。五、知识延伸 （1）幻方的种类： 完全幻方：完全幻方指一个幻方行列、对角线，及“折断”了的对角线各数之和相等。
幻方
奇数阶幻方 教授（带图） 11 18 25 2 9 10 12 19 21 3 4 6 13 20 22 23 5 7 14 16 17 24 1 8 15 （1）五阶幻方
（2）七阶幻方
22 31 40 49 2 11 20 21 23 32 41 43 3 12 13 15 24 33 42 44 4 5 14 16 25 34 36 45 46 6 8 17 26 35 37 38 47 7 9 18 27 29 30 39 48 1 10 19 28 （1）幻方简介： 幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。 《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方 宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。 （2）解幻方方法： 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
神奇的幻方
神奇的幻方 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
幻方 教学目标： 1.初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。 2.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 3.培养自主探究的能力和团结协作的能力。 教学重点：能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。 教具准备：课件、学习单 教学过程： 一. 故事引入 （大禹治水的故事） 师：今天又要学习新本领了，在学新本领之前，老师请大家先听一个故事（媒体） 【策略说明：数学是来源于生活的。故事的引入能激发学生学习数学的兴趣，让他们能以一种积极的态度开始投入学习新知识的活动中去。】 二、探究新知 （一）认识幻方 1.从乌龟背上的9种花点图案引到九宫图。 师：这张就是洛书（出示），洛书就是现在我们所说的幻方（出示），俗称“九宫 格” 师：观察一下洛书和幻方有什么区别
生：洛书是用点表示的，幻方是用数字来表示的。 师：哪个表示简单 生：用数字表示简单。 师：所以我们就用我们熟悉的啊拉伯数字把洛书的点数用数字表示出来就形成了 这样一张幻方。 师：今天我们就要来学习幻方 2．（出示1） 师：你看到了什么 生：1~9九个数字，三行，三列，两条对角线。 3.（出示2） 师：真棒，那么小朋友们仔细观察，你看懂了什么 生：要计算每行、每列、对角线三个数的和是多少。 师：4，9，2哪里来的3，5，7哪里来的8，5，2哪里来的 师：很好，那么我们把书翻到83页，一起来算一算 师：每行，每列，对角线的和都是多少呢 生：都是15。 师：你发现了什么 生：幻方每行，每列，对角线的和都是15。 师：像这样三行，三列，两条对角线的和都是15的，我们就把它称为和是 15的幻方。
幻方求解新法
幻方求解新法 摘要 数学是美的,幻方更美,幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系.每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,都以整齐划一,均衡对称,和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值.幻方在数学教学中, 具有提高学生学习兴趣,美化教材,启迪思维的功能,幻方中数字的丰富变化,把数学教材中的各个内容联系起来.如方程幻方,根式幻方,分数幻方,黑洞数幻方,积幻方,差幻方,平方幻方等,它们都可用在数学教学当中,使数学内容产生魅力,当今的《奥林匹克数学》书中,幻方是一个重要内容.本文正是在此之上,详细介绍了幻方的起源,幻方的发展,现状以及应用前景,主要针对三阶幻方的解法作了探讨,尝试用非齐次线性方程组去寻找它的解,使三阶幻方的求解更加条理,思路更加清淅. 关键词：三阶幻方问题；非齐次线性方程组；三阶幻方
ABSTRACT Mathematics is beautiful, more beautiful, the illusion of illusion fang fang is a mathematical law according to layout of a kind of system. Each party is not only an illusion of intellectual accomplishments, but also an art market, with neat and tidy, balanced symmetrical, harmonious and unified, the characteristics of yewchung burst, mathematical beauty high aesthetic value. Illusion in mathematics teaching, improving students' learning interest and beautify the textbooks, enlightenment function of thinking, the illusion of rich change, the number of mathematics curriculum content of each link. If equation, radical unreal illusion, scores, black holes for unreal illusion, accumulate illusion, poor illusion, square illusion, such as used in mathematics teaching, make mathematics contents have charm, today's "Olympic mathematics, is an important content of illusion. In this paper, it introduced the origin, the illusion of the current development, the illusion and application prospect, mainly in the illusion of third-order method were discussed, try to use the homogeneous linear equations to find the solution, the illusion of the third-order solving more organized, thinking more clearer. Key words: third-order unreal square problem；Nonhomogeneous linear equations； Three order
探寻神奇的幻方
综合与实践 探寻神奇的幻方 大方四中肖艳玉 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业. 第一环节课前准备 活动内容：查阅资料（提前一周布置） 查阅相关资料，了解幻方的有关知识. 活动目的：课前安排学生通过上网等方式查阅资料，了解幻方的有关知识，使学生对幻方有更深入、更全面的了解.也可以布置课前思考题，如：“请将1～9这九个数分别填在三行三列的数表中，使每行每列及对角线上的和都相等.” 第二环节：结识幻方 活动内容：据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服.后人称之为"洛书"，即现在的三阶幻方.
洛书 三阶幻方 三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等.不信，我们来验证一下. 一般地，一个n 行n 列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n 阶幻方. 1、算出右图中各横排、竖列及对角线上数字的和，看看它是不是一个幻方. 活动目的：通过简介有关幻方古今内外的奇闻趣事，增强学生的民族自豪感、激发对幻方的研究兴趣；问题1以思考题的形式，在学生有一定的课前感悟基础上简介幻方引入课题. 活动注意事项：幻方的相关知识可以在学生已搜集资料的基础上，共同交流.解决问题1时，教师可以提示学生：如正方形最核心位置的数是几，数据是否成对出现？以便为后面的探究做一定的经验积累. 第三环节：研究三阶幻方 活动内容： 在三阶幻方中， （1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜对角的三个数之和分别是多少？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段会构成一个怎样的图形？描述你得到 的图形有什么特点？ （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有没有“成对”的数？这是一般规律吗？你能证明它吗？ （5）你还有什么新的发现和疑问？
浅谈幻方以及其解法
学号 1250901205 学年论文 （2016届本科） 题目：浅谈幻方以及其解法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：甘天明 指导教师：任天胜职称: 副教授 完成日期： 2014 年 12 月 18 日
浅谈幻方以及其解法 甘天明指导教师：任天胜 (河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000) 摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。 幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。 本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。 关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方. 1 引言 我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。 此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。 在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。 2预备知识 的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n 自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。 定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。 定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
魔方特殊图案
六面回字公式U’D F’B L R’U’D 四色回字公式B2 L R B L2 B F D U’B F R2 F’L R 对称棋盘公式L2 R2 F2 B2 U2 D2 循环棋盘公式D2 F2 U'B2 F2 L2 R2 D R’B F D'U L R D2 U2 F'U2 六面十字公式B2 F’L2 R2 D2 B2 F2 L2 R2 U2 F' 四面十字公式 D F2 R2 F2 D’U R2 F2 R2 U' 双色十字公式U’D F’B L R’U’D L2 R2 F2 B2 U2 D2 三色十字公式 B F’L2 R2 U D' 四色十字公式U2 R B D B F’L’U’B F’L F L’R D U2 F’R’U2 五彩十字公式L2 D’F2 D B D L F R’U’R’D’F L2 B F2 L 六面皇后公式R2 B2 U2 L2 B2 U2 F2 L2 D L’R F L2 F’U’D L 六面五色公式U B2 L2 B F’U F’D2 L D2 F D R2 F2 R’B’U’R’ 六面六色公式D2 U2 L2 B R2 D’L2 R2 D2 B2 F2 U’R2 B’R2 六面彩条公式F2 U2 F2 B2 U2 F B 六面三条公式(U2 L2)3 (U2 R2)3 U D L2 R2 六面凹字公式F2 L’R B2 U2 L R’D2 六面凹字公式U D L2 F2 U D’B2 R2 D2 六面凸字公式F2 R F2 R'U2 F2 L U2 B2 U2 F'U2 R D’B2 D F'D2 R F 六面工字公式D2 ML’F2 B2 ML’D2 六面Q字公式 D F2 U’B F’L R’D L2 U’B R2 B’U L2 U' 六面J字公式D2 L2 D R2 U B2 U2 B R’B’D B2 R’F R2 F’U R' 六面L字公式L R U D F’B’L R 六面彩E公式F2 R2 F2 U’R’B2 F L R’U L’R U B U2 F2 D’U' 六面C U公式D’U B D’L’R F D’B’D’U L 六面T字公式U2 F2 R2 D U’L2 B2 D U或者B2 D2 L R’D2 B2 L R'四面Z字公式( F B R L )3 (U D')2 四面I字公式R2 F2 R2 L2 F2 L2 四面L字公式 B F D U L2 D U’B F' 四面O字公式U R2 L2 U D’F2 B2 D' 四面E字公式R2 U2 F2 R2 U2 R2 F2 U2 四面V Y公式D2 R L U2 R2 L2 U2 R L 四面C U公式R2 F2 B2 L2 U F2 R2 L2 B2 D' C C T V公式一B2 R2 D2 U2 F2 L R’U2 L’R’ C C T V公式二L2 B2 R2 D2 R2 F2 U2 F2 R2 U2 R2 六面斜线公式 B L2 U2 L2 B’F’U2 R’B F R2 D’L R’D’U R F’ 三色斜线公式R F2 L’D2 F2 L’R2 B’L’B’F’D’U R F’D R’B R' 四面斜线公式 F B L R F B L R F B L R 大小魔方公式U2 L2 F2 U’B2 D R F’R F’R F’D’B2 U'
初中数学_《探寻神奇的幻方》教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学《综合与实践》主题研究教学设计课题名称探寻神奇的幻方年级六年级教材版本设计者单位 教学目标1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其一元一次方程，探索三阶幻方的本质特征. 2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验. 3.通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行感受、分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验. 4．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式. 重 点难点重点：探索三阶幻方的基本规律及本质特征.难点：填充、构造符合要求的三阶幻方. 教学过程 教师活动学生活动 设计前置任务： 任务一：通过查阅关于幻方的资料，认识幻 方定义及其分类，理解幻和的概念；了解幻 方的历史和发展.请将你搜集的资料分类整 理在A4纸上.（要求：整洁、美观，A4纸横 向整理；评价：记优秀10分，良好8分，合 格6分） 任务二：探寻神奇 思考： 结合右边三个三 阶幻方你能发现 三阶幻方中哪些 相等关系或数字 的排布规律？请 你写出来，并试着 用规范的语言阐 述你的发现. 查阅收集关于幻方的背景知 识. 自主探究： 探神奇赏规律
教学过程 教师活动学生活动 教学过程设计 本节课设计了七个教学环节：第一环 节：激情导入；第二环节：组内合作；第三 环节：分享交流；第四环节：思维晋级；第 五环节：归纳提升；第六环节：欣赏神奇； 第七环节：课后升级. 一、激情导入： 1977年，美国发射了旅行者2号宇宙 飞船，试图与“外星人”建立联系.如何使 地外智慧生命理解地球人的意思，这是个很 困难的事情，最后飞船上携带有两件与数学 有关的东西，一个是勾股弦图，另一个是一 个4阶幻方 .（引入探寻神奇的幻方） 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏 禹时代的“洛书”.后来，我国南宋数学家 杨辉把它命名为纵横图.把龟背上的点用现 在的数字翻译出来，就成为了三阶幻方. 二、组内合作，探寻神奇 巡视指导，深入各组搜集成果和问题. 真知灼见，首先来自多思善疑. ——洛克威尔 一、感受神奇，激发兴趣 二、组内交流，畅所欲言： 结合课前任务二交流探寻结 果，主要交流发现三阶幻方中 的相等关系或数字的排布规 律等结论；交流在探寻过程中 遇到的困难或没有解决的问 题.并试着解释发现结论的过 程和心得. 要求：1.请用清晰条理的语言 说出自己的发现或困惑，组长 负责汇总，准备派代表展示； 2.关注探寻的结论，重交流所 用方法或感悟.
古老而神奇的幻方的介绍1
古老而神奇的幻方1 同学们，来我们先做一个数字游戏，在如下的表格中分别填入1-9这9个数字，并且使 呵呵，同学们，经过大家的一番思考，心中有答案了吗？那么我们看下面的一个结果： 大家填写的答案有可能不一致，但是只要能满足上述的规律，那么我们填写的答案就都是正确的。对于上面我们研究的问题，相信同学们都有了一些了解。我们今天要学习的内容是幻方，那么何谓幻方呢？ 多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣．从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系．在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们．有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”．传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的．在中国古典文献中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只 巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有9种花点的图案，分别代表这9个 数，而3行、3列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图。 洛书，一个3阶幻方。 黑色的结表示偶数，白色的结表示奇数．在这个幻方里它的变幻常数(即任何一行、一列、或对角线上数字的和)为15． 而南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 下去，请同学们进一步思考并整理看看本节课开头的数字游戏还有哪些答案？并且阅读“河图”和“洛书”的两个故事。 “河图”的说法和我们的祖先伏羲有关。相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有一年从黄河里爬出了个大怪物。这个怪物异常庞大，一张嘴就吞下个活人，一打滚地里的庄稼全都遭秧。从此这里田地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，无以谋生。怪物闹得大家没有活路，只好找来了伏羲。羲皇听了大家的诉说后，忙带上宝剑，来到河边。那怪物原来是黄河中的龙马，看到羲皇挥舞宝剑站在面前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇放它条生路，并承诺：“若放了我，定从黄河里拿件宝贝给您!”羲皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放你。”龙马答应潜入河中。几天后，它果然背负着一块玉版献给羲皇。伏羲发现，玉版图案中各行各列以及各对角线数字之和都相等。伏羲知它是黄河中的宝贝，便唤它为“河图”。 据说，伏羲皇同龙马结下深厚友情，伏羲经常去看龙马。一天，伏羲细看龙马身上的花纹，再琢磨河图上的图案，一下悟出了八卦图。据说，伏羲还曾将他的八卦知识写了本书叫《易经》，后经商周末年周文王的完善，变成了今日的《周易》，一直广为流传。 至于“洛书”，需从大禹治水说起。有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。 “洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。这九个数就组成了一个纵横图。后来经过反复揣摸，大禹整理出九个方面的内容，有历法、种植谷物，制定法令等。后来，古人根据“洛书”的九章大法，整理出一本科学法典——《洪范篇》，这部书一直传至今日。 “洛书”在古代被人们认为是一个吉祥的象征，所以许多人都将他画在纸上携带，认为有保平安的效果。至今还有许多印度人把“洛书”的图案佩在胸前当作护身符呢。
探寻神奇的幻方教学设计
综合与实践 探寻神奇的幻方教学设计 一、教材与学情分析 本节是初中阶段第1个“综合与实践”，本课以古老的幻方知识为引子，在学生已学过“有理数及其运算”，“整式的加减”的基础上，探寻三阶幻方的特征，通过动手实践、探究、合作交流等方式，着重在引导学生学习“从特殊到一般”的研究方法，引导学生在独立思考的基础上与同学进行合作交流，积累数学学习活动的经验。 二、教学目标 1、综合运用有理数混合运算、用字母表示数及运算，探索三阶幻方的本质特征。 2、经历实践、观察、猜想、类比、归纳等活动，初步积累构造三阶幻方的经验。 3、初步获得探究问题的方法和经验，体验合作交流、自主探究的学习方式。 三、教学重难点 重点：探索三阶幻方的基本规律及本质特征。 难点：构造符合要求的三阶幻方。 四、教学过程 第一环节目标导学 1、图片欣赏,激发兴趣。 2、幻方概念、三阶幻方以及常见多阶幻方欣赏。 3、出示本节的学习目标: (1)三阶幻方的特点 (2)三阶幻方的构造方法 说明：本节课只研究三阶幻方. 第二环节自主探学 动手实践 请将1～9这九个数字分别填在三行三列的数表中，使每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等。 几个成功的答案和个别错误的例子在展台上展示，并加以改正。 第三环节合作研学 （1）你是怎样用1~9这九个数构造三阶幻方的？
（有哪些相等的关系？横行、竖行、斜对角的三个数之和分别是多少？） （2）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？这是一般 规律吗？试说明理由。 （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系 吗? （4）你还有什么新的发现和疑问？ 活动内容和目的：学生分小组交流讨论以上几个问题，各小组把结论写在学案上， 教师适当点拨，引导学生提炼方法。通过交流，经历动手实践和各种思维活动，初步积 累构造三阶幻方的经验和探究问题的学习方式。 第四环节展示赏学 收集各小组数据，展台展示，方法分享，师生评议。 1、三阶幻方中的部分规律 规律1：幻和=中间数×3 规律2: 与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2 规律3：角上的数字=对角相邻的两数字和的一半（这个学生 “核心数”的规律 设9个数分别为a,b,c, d,e,f, g,h,i 则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4 所以:(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即 45+3e=60， e=5 2、总结三阶幻方的构造法 （1）计算九数之和a（2）计算幻和（a÷3）（3）确定“中心数”(a÷3÷3)（4） 配对（5）尝试定奇偶 第五环节检测评学 1、补全以下两个幻方