江苏省江阴市第一中学2020-2021学年度高二12月检测数学
江阴市第一中学高二2020-2021学年第一学期12月检测
数学试卷
一．
选择题：
1. 命题“(0,1)x ?∈，20x x -<”的否定是（） A. (0,1)x ??，20x x -≥ B. (0,1)x ?∈，20x x -≥ C. (0,1)x ??，20x x -< D. (0,1)x ?∈，20x x -≥
【答案】D
2. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60 B ．120
C ．160
D ．240
【答案】B
3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2
3
＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A . 23
B . 6
C . 43
D . 12 【答案】C 4.设
、2F 是椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a
2上一点，12PF F ?是
底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 45 【答案】C
5. 若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab |
B ．b a ＋a b
≥2
C.
a 2＋
b 22≥?
??
??a ＋b 22
D ．(a ＋b )? ??
??1a ＋1b ≥4
【答案】C
6.函数()2
23f x x ax =+-在区间(]
,3-∞-上单调递减时实数a 的取值集合为A ；不等式
()1
22
x a x x +
≥>-恒成立时实数a 的取值集合为B ，则“x B ∈”是“x A ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
7.设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆222
9a x y +=与直
线PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为( )
A ．3
3 B ．
5 C ．10
D ．17
【答案】D
8.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
9. 已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是()
A ．数列2
{}n
a 是等比数列 B ．若32a =，732a =，则58a =± C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列 D ．若13n n S r -=+，则1r =- 【答案】AC
10.下列说法正确的是 A ．“1sin 2x =
”是“5π6
x =”的必要不充分条件 B ．命题“若a b >，则22am bm >”是真命题
C ．若正数a ，b ，c 是等比数列，则2log a ，2log b ，2log c 是等差数列
D ．当2x ≥时，1
2x x
+≥ 【答案】AC 11如图，在三棱柱中，底面
是等边三角形，侧棱
底面
，
为的中点，若
，
，则（）
A ．
B ．异面直线与所成角的余弦值为
C ．异面直线与所成角的余弦值为
D ．平面
【答案】AC
12.已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以
线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则
A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =
B ．若2AF BF =，则直线l 的斜率为22
C ．若直线l 343
p AB =
D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12
【答案】AD 二．
填空题：
13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26
3
n n S a ++的最小值为
【答案】2
14.已知1F 、2F 为双曲线2
2:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ?∠=，则
12
PF F △的面积为
3
15.在R 上定义运算a ※()1b a b =+，若存在[]
1,2x ∈，使不等式()m x -※()4m x +<成立，则实数m 的取值范围为． 【答案】()3,2-
16. 如图，在平行六面体中，，，，过E ，
F ，
G 三点的平面与对角线交于点P ，则________．
【答案】
三．
解答题：
17.已知:p 对于x R ?∈，函数()()
2
ln 46f x kx x k =-+有意义，:q 关于k 的不等式
()2220k m k m -++≤成立.
（1）若p ?为假命题，求k 的取值范围；（4分）
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.（6分）
【答案】（1）6,3??+∞ ? ???（2）6,3??+∞ ? ???
解：（1）因为p ?为假命题，所以p 为真命题，所以2460kx x k -+>对x ∈R 恒成立. 当0k =时，不符合题意； 当0k ≠时，则有2
016240k k >??
?=-
，则6
3k >. 综上，k 的取值范围为6,??
+∞ ? ???
. （2）由()2
220k m k m -++≤，得()()20k k m --≤.
由（1）知，当p 为真命题时，则6,k ??
∈+∞ ?
???
令
6
,
3
A
??
=+∞
?
?
??
令()()
{}
20
B k k k m
=--≤
因为p是q的必要不充分条件，所以B A
当2
m<时，[,2]
B m
=，
2
6
3
m
m
<
?
?
∴?
>
?
?
，解得
6
,2
m
??
∈ ?
?
??
当2
m=时，{2}
B = A，2
m
∴=符合题意；
当2
m>时，[2,]
B m
= A，2
m
∴>符合题意；
所以m的取值范围是
6
,
3
??
+∞
?
?
??
18.已知抛物线E：的焦点F，E上一点到焦点的距离为4．
Ⅰ求抛物线E的方程；（4分）
Ⅱ过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为，求直线l的方程．（6分）
【答案】解：Ⅰ法一：抛物线E：的焦点F的坐标为，
由已知，解得或，，
，的方程为，
法二：抛物线E：的准线方程为，由抛物线的定义可知
解得的方程为；
Ⅱ法一：由Ⅰ得抛物线E的方程为，焦点，
设A，B两点的坐标分别为，，则，
两式相减，整理得，
线段AB 中点的纵坐标为，即，
直线l 的斜率，
又直线l 过焦点，
直线l 的方程为，
即
．
法二：由Ⅰ得抛物线E 的方程为，焦点，设直线l 的方程为，
由消去x ，得，
设A ，B 两点的坐标分别为，，
线段AB 中点的纵坐标为，，解得
，
直线l 的方程为
即
．
19.已知数列{}n a 是等差数列，且满足636a a =+，61a -是51a -与81a -的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；(4分) （2）已知数列{}n b 满足2n n
n b a =?，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最小值.（8分）
【答案】（1）27n a n =-；（2）()1
18292n n S n +=+-?；()min 30n S =-.
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==，即2d =. ∵61a -是51a -与81a -的等比中项，∴()()()2
658111a a a -=--， 即()()()2
1119713a a a +=++，解得15a =-. ∴数列{}n a 的通项公式为27n a n =-.
（2）由（1）问可知()2272n
n
n n b a n =?=-?.
∴()()()()2
3
4
52321212272n n S n =-?+-?+-?+?+
+-?
()()()()21345252321212272n n S n +=-?+-?+-?+?+
+-?.
两式相减()12
3
102(227222)n n n S n +-=-+?++
-?+-
()11312722(12)
1018(29)212
n n n n n ++--=-+?-=---?--
()118292n n S n +∴=+-?.
∵当3n ≤时，0n b <，当3n >时，0n b >； ∴()3min 30n S S ==-.
20.在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，AD DC ⊥，
1AB =，2DC =，45BCD ∠=?，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥
平面FBDH .
（1）求线段DM 的长度；（5分）
（2）求二面角H AM F --的余弦值.（7分） 【答案】（1）1；（23
. 【解析】
以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=?，易知1AD =. 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ， （1）设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，
()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--，10AM BD t ?=-=，解得1t =，
所以线段DM 的长度为1.
（2）设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =，
则11
00
200x y n AM x z n AH ?-+=?=?????-+=?=???，可取()12,2,1n =，
同理，设()2,,n u v w =是平面AMF 的一个法向量， 则220000
u v n AM u w n MF ?-+=?=??
??
?+=?=???，可取()21,1,1n =-.
则12
1212
3
cos ,n n n n n n ?=
=
，显然二面角H AM F --为锐二面角， 所以二面角H AM F --的余弦值为
3.
21. 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米
．
Ⅰ当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少；（6分）
Ⅱ现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元
，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值
范围．（6分） 【答案】解：设甲工程队的总造价为y 元，
则，
又．
当且仅当
，即
时等号成立．
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元． 由题意可得，对任意的
恒成立．
即，从而
即
恒成立，
又．
当且仅当，即时等号成立．
所以．
22. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为6
，椭圆
22
222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点33,22?? ? ???
. （1）求椭圆1C 的标准方程；（6分）
（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.（10分）
【解析】（1）解：因为1C 的离心率为
6
， 所以2
2619b a
=-，解得223a b =.①
将点33,?? ? ???
代入22
22133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，2
1
3
b =
， 故椭圆1C 的标准方程为2
2
1
1
3
y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，
点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，
由（1）知椭圆2C 的方程为2
213
x y +=，所以有()
3,0N -.
将1x =代入椭圆2C 的方程得6y =， 所以)112631
22
3NAB S MN AB ?=
?=6
23
=
. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得(
)2
2
2136310k
x
kmx m +++-=，
由题意得()(
)()
2
2
2
6413310km k m
?=-+-=，
整理得22313m k =+.
将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得(
)2
2
2136330k
x
kmx m +++-=.
设()11,A x y ，()22,B x y ，
则122613km x x k +=-+，2122
33
13m x x k -=+，
所以
AB =
2
313k m
==+. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.
因为2200223
331
13x y x y ?+=??+=??，所以22002
22003113x y x y λ?+=????+= ???
??
， 解得
λ=λ=， 所以3ON MO =
，从而)
1NM OM =
.
又因为点O 到直线l
的距离为d =
所以点N 到直线
l
的距离为)
11m d ?
=
所以)
)
1
1
112
2
NAB
S d AB ?=
?=
=，
综上，NAB ?