学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.尖子班.学生版
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初一秋季·第1讲·尖子班·学生版
长度单位
实数5级 有理数综合运算
实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯
漫画释义
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有理数与数轴
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知识点切片（3个）
2+1+1
知识点目标
有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义
绝对值与数轴（1
）
1、绝对值的几何意义
题型切片（6个）
对应题目
题型目标
用数轴表示数 例1、练习1
数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小
例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴
例7、练习6
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.
有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.
相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.
绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.
【例1】 ⑴在数轴上画出表示1
2.540252
--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用
“<”连接起来.
⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4
【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向P Q M B
A
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右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是
，点C 表示的数是 ．
⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．
【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该
机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.
②比较2013x 与2014x 的大小.
⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．
【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，
，，，，的大小.
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⑵已知a b ，
是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）
D
C
B A
【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对
应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？
A B C D M
N
a
c
d
⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．
①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.
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d
c b
a
【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
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⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；
⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？
【例7】 如图所示，数轴被折成90?，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，
1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，
圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？
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训练1. 已知a b +
与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-
训练2. 在数轴上任取一条长度为1
19999
的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的
个数为 .
训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，
23a +，21
3
a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .
训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的
相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．
⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．
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用数轴表示数
【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，
然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市
⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？
数轴上的点、线段的移动
【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与15
4
-
对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度 向动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？
⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．
A ．2005或2006
B ．2006或2007
C ．2007或2008
D ．2008或2009
利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的
大小关系为 .
利用数轴性质建立方程求点对应的数
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【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整
数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
数轴折叠
【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
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⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？
周期问题与数轴
【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚
动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？
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20…
2013
2
1
﹣1
数轴是谁最先发现的？
勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是
10 初一秋季·第1讲·尖子班·学生版
西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。黑格尔称他为“现代哲学之父”。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
动手操作，你需要哪些工具，能在数轴上找到π.试着画出
第十三种品格：公平
为自己拥有的而欣喜
一个小男孩几乎认为自己是世界上最不幸的孩子，因为患脊髓灰质炎而留下了瘸腿和参差不齐且突出的牙齿．他很少与同学们游戏或玩耍，老师叫他回答问题时，他也总是低着头一言不发．
在一个平常的春天，小男孩的父亲从邻居家讨了一些树苗，他想把它们栽在房前．他叫他的孩子们每人栽一棵．父亲对孩子们说，谁栽的树苗长得最好，就给谁买一件最喜欢的礼物．小男孩也想得到父亲的礼物．
但看到兄妹们蹦蹦跳跳提水浇树的身影，不知怎么地，萌生出一种阴冷的想法：希望自己栽的那棵树早点死去．因此浇过一两次水后，再也没去搭理它．几天后，小男孩再去看他种的那棵树时，惊奇地发现它不仅没有枯萎，而且还长
出了几片新叶子，与兄妹们种的树相比，显得更嫩绿、更有生气．
父亲兑现了他的诺言，为小男孩买了一件他最喜欢的礼物，并对他说，从他栽的树来看，他长大后一定能成为一名出色的植物学家．
从那以后，小男孩慢慢变得乐观向上起来．
一天晚上，小男孩躺在床上睡不着，看着窗外那明亮皎洁的月光，忽然想起生物
老师曾说过的话：植物一般都在晚上生长。何不去看看自己种的那颗小树．当他轻手轻脚来到院子里时，却看见父亲用勺子在向自己栽种的那棵树下泼洒着什么．顿时，一切他都明白了，原来父亲一直在偷偷地为自己栽种的那颗小树浇水、施肥！他返回房间，任凭泪水肆意地奔流……，不再为自己的不幸而悲伤，反而为自己拥有的而欣喜。
几十年过去了，那瘸腿的小男孩虽然没有成为一名植物学家，但他却成为了美国总统，他的名字叫富兰克林·罗斯福．
今天我学到了
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