计算方法习题

《计算方法》练习题一

练习题第1套参考答案 一、填空题

1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2

10- ）。

2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （

))((!2)

(b x a x f --''ξ ）

。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5

2

）。

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。

5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题

1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2

)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝??

?

?

??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）

． Ａ．

2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6

π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次

5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A ．)(h o Ｂ．)(2

h o Ｃ．)(3

h o Ｄ．)(4

h o 三、计算题

1．求矛盾方程组：???

??=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。

2

212

212

2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?，

由

0,021=??=??x x ?

?得：???=+=+9

629232121x x x x ， 解得14

9

,71821==

x x 。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分?

2

1

1

dx x

，并估计误差。

?

≈++++≈2

1

697.0]2

1

7868581[81x dx ， 96

1

1612)(2=

?≤

M x R 。 3．用列主元消元法解方程组：???

??=++=++=++4

26453426352321321321x x x x x x x x x 。

????

?

?????→??????????→??????????1142242644223214264426453426352 回代得：T

x )1,1,1(-= 4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)

1(x

）。

????

?

?????=????????????????????----131410*********x x x

因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：???

?

?????=+=++=+=+++ ,1,0,)

1(41)3(41)1(41)(2)1(3)

(3)(1)1(2)

(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取T x )1,1,1()

0(=计算得： T x )5.0,25.1,5.0()

1(=。

5．用切线法求0143

=+-x x 最小正根（求出1x ）。

．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*

∈x ，在]5.0,0[上，06)(,043)(2

≥=''<-='x x f x x f 。

由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式： ,1,0,4

3142

3

1

=-+--=+n x x x x x n n n n n 计算得：25.01=x 。

四、证明题

1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：

1010),)((!

2)

()(x x x x x x f x R <<--''=

ξξ。 2. 对初值问题：?

??=-='1)0(10y y

y ，当2.00≤

１．设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有

x x x ,,10为三个零点。应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ，!

2)

()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''=

=-''=''。 ２．由欧拉法公式得：

0~1~y y oh

y y n

n n --=-。

当2.00≤

00~~y y y y n n -≤-。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题

1． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21

102

-?，

）。 2．用辛卜生公式计算积分

?≈+101x dx

（

）。

3．设)()1()

1(--=k ij k a A

第k 列主元为)1(-k pk a ，则=-)

1(k pk

a （ 21x =， ）。 4．已知??

??

??=2415A ，则=1

A （ ())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , ）。 5．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ? 收敛，则)(x ?'满足条件（ 0()0f x > ）。 二、单选题

1．近似数2

1047820.0?=a 的误差限是（ C ）。 Ａ．

51021-? Ｂ．41021-? Ｃ．31021-? Ｄ．2102

1

-? ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。

A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det

３．已知T

x )5,3,1(--=，则=1

x

（ B ）

。 Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５

４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 ５．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((53x P x P （ B ）。

Ａ．

52 Ｂ．72 Ｃ．9

2

Ｄ．112

三、计算题

１．已知)(x f 数表：

求抛物插值多项式，并求)5.0(f 近似值。 利用反插值法得

211

(0)(0)(04)(04)(02) 1.75224

f N ==?+-?++=

２．已知数表：

求最小二乘一次式。 由方程组：01014648614102

a a a a +=??+=?，解得：013,6a a ==，所以x x g 63)(*

1+=。

３．已知求积公式：)2

1

()0()21()(21

1

10f A f A f A dx x f ++-≈?-。求210,,A A A ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。

1

0118881

[]0.4062282910113

dx I x =≈++++≈+?

，

21

|()|0.001321216768

M R f ≤=≈? 。

４．用乘幂法求????

??????=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。 因为

2211123,1,4a a a π

θ===

=1002222310400013000302

22

200300200

100

1A ???-???

?????????????

?=-

=???????????????

?

??

??????????????

??

?

所以：1122334,,22

3,(0,1,0)

2,(22

T

T

T X X X λλλ======-

５．用予估－校正法求初值问题：???=-='1

)0(2y y

x y 在4.0)2.0(0=x 处的解。

应用欧拉法计算公式：n n n y x y 1.12.01+=+ ，1,0=n ，10=y 。 计算得121.1, 1.23y y ==。

四、证明题

１．设)(A ρ是实方阵Ａ的谱半径，证明：A A ≤)(ρ。 1． 因为A=(A-B)+B,A A B B ≤-+， 所以A B A B -≤-，

又因为B=(B-A)+A, B B A A ≤-+ 所以B A B A A B -≤-=-

B A A B -≤-

２．证明：计算)0(>a a 的单点弦法迭代公式为：n

n n x c a

cx x ++=+1， ,1,0=n 。

5

0x a -=的实根，

将54

(),'()5f x x a f x x =-=代入切线法迭代公式得：

5144

1(4),0,1,...55n n n n n n

x a a

x x x n x x +-=-=+=。

《计算方法》练习题二

练习题第3套参考答案 一、填空题

1．近似数3

0.6350010a =?的误差限是（2

10- ）。 2．设|x|>>1,

=（ ()1G ρ<， ）,计算更准确。

3．用列主元消元法解：1212

23224x x x x +=??+=?，经消元后的第二个方程是（

11

1n n n n x x a

n x x x --+++=

),2,1( =n ， ）

。 4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则(1)

3

m x += ( 1.2， )。

5．已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零，则取0x 满足（ 2(,)

22

n n n n

f x y k ++ ），则切线法收敛。 二、选择题

1．已知近似数a 的()10/0r a ε=，则3

()r a ε=（ c ）。

A. 10/0

B. 20/0

C. 30/0

D. 40/0 2．设{()}K T X 为切比雪夫多项式，则22(().())T X T X =（b ）。 A.0 B

4π. C.2

π

D. π 3．对6436A ??

=????

直接作三角分解，则22r =（ d ）

。 A. 5 B. 4 C.3 D. 2

4．已知A=D-L-U ，则雅可比迭代矩阵B=（ c ）。

A. 1

()D L U -+ B. 1

()D L U -- C. 1

()D L U -- D. 1

()D U L -- 5．设双点弦法收敛，则它具有（ a ）敛速。

A. 线性

B.超线性

C.平方

D. 三次 三、计算题

1． 已知()f x 数表

用插值法求()0f x =在[0，2]的根。

3sin 0.5828510π

≈≈，2

2()0.5821052400

R π-≤≈?。

2．已知数表

求最小二乘一次式。

2．222

(,)(4)(3)(26)x y x y x y x y ?=+-+--+--，由

0,0x y

????==?? 得6219235

x y x y -=??-=?，解得：474

,147x y ==。

3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分1

02dx

x +?，并估计误差。

3．由

22

11

10482

n -≤?解得3n ≥，取n=3， 复化梯形公式计算得：1011661

[]0.4067262783

dx x ≈+++≈+?。

4．用雅可比法求310130003A ????=??????

的全部特征值与特征向量。

4．120112011201231201100110012101210011??????

??????→-→-????????????--??????

回代得：(1,1,1)T

X =-

5．用欧拉法求初值问题'2(0)1y x y y =+??=?

在x=0(0.1)0.2处的解。

5．因为3311122,1,4

a a a π

θ====

1002013000

100200100201020010

A ??????

????????==???

?????

????????????????

所以T

x )2

2,0,22(

,311==λ T x )0,1,0(,322==λ

T x )2

2,0,22(,333-

==λ

四、证明题

1． 证明：A B A B -≤-。

2．

的切线法迭代公式为：141(4),0,1,...5n n n

a

x x n x +=

+= 1．设p x

x ∞

=，则有∑∑==≤≤n

i i p

n i i x x x n 1

22

1

2

1，

22x x ∞

≤≤

2．因为迭代函数是()(),'()1'()x x f x x f x ?α?α=-=-， 当1

2

0m α<<

时则有11'()1f x α-<-<，即 |1'()||'()|1f x x α?-=<，所以迭代法收敛。

练习题第4套参考答案 一、填空题

1．已知误差限(),(),a b εε则()ab ε=（ ||()

||(

b a a b εε+， ）。

2．用辛卜生公式计算积分

1

02dx x ≈+?（ 73

180

， ）。 3．若T A A =。用改进平方根法解Ax b =，则jk l =（

kj kk

r r ， ）。

4．当系数阵A 是( 严格对角占优 )矩阵时，则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。 5．若12λλ=-，且)3(1≥>i i λλ，则用乘幂法计算1λ≈（ .2

1)()2(???

?

??+k i

k i x

x

）。 二、单选题

1． 41424.12=,则近似值

10

7

的精确数位是（a ）。 A. 1

10- B. 2

10- C. 3

10- D. 4

10- 2．若111221221042,1024r r l r ????

??=?????

?

??????

则有22r =（ b ）。 A. 2 B. 3 C.4 D. 0

3．若4114A ??

=????

，则化A 为对角阵的平面旋转角θ=（ c ）

。 A.

2π B.3π C.4π D. 6

π

4．若切线法收敛，则它具有（ b ）敛速。

A. 三次

B. 平方

C. 超线性

D. 线性 5．改进欧拉法的绝对稳定实区间是（ d ）。

A.[-3，0]

B. [-2.78，0]

C. [2.51，0]

D. [-2，0] 三、计算题 1. 已知函数表:

求埃尔米特差值多项式)(x H 及其余项。

2

2

2

()(12(1))(2)(1)(2)(1)22H x x x x x x x =+--?-+--?=-。(4)22()

()(1)(2),(12)4!

f R x x x ξξ=--<<

2．求3

()f x x =在[-1，1]上的最佳平方逼近一次式。

2．设***10011()()()g x a p x a p x =+，则11*

3*

401

111330,,225

a x dx a x dx --=

===?? 所以*

13()5

g x x =。

3．求积公式:

1

10

()(0)(),f x dx Af Bf x ≈+?

试求1x ，A ，B ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。

3．设求积公式对2

()1,,f x x x =精确得：

???

?

?

????

===+31211211Bx Bx B A ，解得：1231,,344x B A ===。

所以求积公式为：

1

132

()(0)()443f x dx f f ≈+?， 再设3

()f x x =，则左1249

=≠=右。此公式具有3次代数精度。

4．用双点弦法求3

520x x -+=的最小正根（求出2x ）。 4

．

因

为

(0)20,(0f f =>=-<

故

*[0,0.5]

x ∈，在[0，0.5]上，

3)(m

a x ,25.4)(min 21=''=='=x f M x f m ，213

0.51219

M KR m ≤

?=<，应用双点弦法迭代公式： 3

1133

11()(52)

,1,2,...(52)(52)

n n n n n n n n n n x x x x x x n x x x x -+----+=-=-+--+计算得：20.421x ≈。

5．用欧拉法求初值问题：'(0)1

y x y

y =-??

=?在x=0(0.1)0.2处的解。

5．10.10.9,0,1n n n y x y n +=+=，由01y =，计算得：120.9,0.82y y ==。

四、证明题

1．设0(),...,()n l x l x 为插值基函数，证明：

()1n

k k l x ==∑。

．设()1f x =，则有0)()!

1()

()()1(=+=

+x n f x R n ωξ， 所以有

∑===n

k k

x f x l

1)()(。

2．若1B <。证明迭代法：

(1)()()

21,0,1, (33)

m m m x x Bx b m +=

++= 收敛。 因为迭代矩阵为21

,133G I B B =+<，

所以2121

13333

G I B I B =

+≤+<，所以迭代法收敛。