第五节定积分在几何中的应用

第五节 定积分在几何中的应用

本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。 一、微元法

本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定

()i i x f A ?≈?ξ

在实用上，为简便起见，省略下标。i 用A ?表示任一小区间[]dx x x +,上的小曲边梯形的面积，这样

∑?=A A

取[]dx x x +,的左端点x 为i ξ，以点x 处的函数值()x f 为高，dx 为底的矩形面积为A

?的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即

()dx x f A ≈?

上式右端()x f dx 称为面积微元， 记为()dx x f dA =，于是面积

A 就是将这些微元在区间[]b a ,上

的“无限累加”，即a 到b 的定积分

()dx

x f dA A b a

b

a

??== 分通过上面的作法，我们可以把定积分——和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。

概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F 的积分表达式，可按以下步骤确定：

（1） 确定积分变量x ，求出积分区间[]b a ,。

（2） 在[]b a ,上，任取一微小区间[]dx x x +,，求出部分量F ?的近似值

F ?()dx x f dF =≈（称它为所求量F 的微元）。

（3） 将dF 在[]b a ,积分，即得到所求量()dx

x f dF F b a

b

a

??==，通常把这种方法

叫做微元法（或元素法）

下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。 二、平面图形的面积

1. 直角坐标情形

根据定积分的几何意义，由区间

[]

b a ,连续曲线

()()()()[]()b a x x g x f x g y x f y ,,∈≥==、及直线b x a x ==、所围成的平面图形的

图 5-14

面积A ，由定积分的性质，此式可写为

()()[]dx

x g x f A b

a

?-=

利用微元法求解可得同样的结果。 其中d ()()[]dx x g x f A -=，就是面积元素

例1计算由两条抛物线

y x x y ==22和围成的图形面积。 解 （1）如图5-15所示，确定积分变量为x 由方程组

{22x y x

y ==

解得两抛物线交点为（0，0）、（1，1），从面可知所求图形在直线x=0及x=1之间，即积分区间[]1,0

（2）在区间[]1,0上，任取小区间[]dx x x +,对应的窄条面积近似于高为(

)

2x x -，

底为dx 的小矩形面积，从而得面积元素

(

)

dx x x dA 2

-=

(3) 所求图形面积为

(

)

1

031

2313

2

??????-=-=?

x x dx x x A =31

（平方单位） 例2、求曲抛物线

x y =2

与直线2-=x y 所围成的图形面积。 解：（1）如图5-16所示确定积分变量为y ，解方程组

{

x y x y =-=22

解得交点（1,-1）及(4,2)

从而知这图形在1-=y 与y=2之间，即积分区间[]21，

- （2）在区间[]2,1-上，任取一小区间[]dy y y +,，对应的窄条面积近似于高为dy ，底

为()2

2y y -+的矩形面积从而得到面积元素

()[]

dy y y dA 22-+=

（3） 求图的面积为

()2

1322

12

31221

2--?

?????-+=-+=?y y y dy y y A =平方单位）(29

如果取x 为积分变量，则积分区间须分成[][]4110，，，

两部分，且每个区间对应的面积元素并不相同。所以计算比较复杂，因此应恰当选择积分变量。

一般地，由区间[]d c ,上的连续曲线()()()()[]()d c y y y y x y x ,,∈≥==φ?φ?、及直线

5-15

图 5-16

d y c y ==、所围成平面图形面积为

()()[]dy

y y A d

c

?-=φ?

面积元素是()()[]dy y y dA φ?-=

一般说来，求平面图形面积的步骤为：

（1） 作草图，确定积分变量和积分区间； （2） 求出面积微元。 （3） 计算定积分求出面积。

2、极坐标情形

某些平面图形，用极坐标计算它们的面积方便。用微元法计算：由极坐标方程()

θρρ=

比较示的曲线与射线βθαθ==、、所围成的所表曲边扇形面积（图5-17）。

以极角θ为积分变量，积分区间为

[]βα，，在[]βα，上任取一小区间[]θθθd +,，与它相应的小曲边扇形面积近

似于以θd 为圆心角。()θρρ=为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素

()[]θθρd dA 221

=

于是所求面积为

()[]θθρβ

αd A 221

?

=

例3 计算心形线())0(cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积（图5-18）。

解 由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积1A ，

再2倍即得所求面积A 。

对于极轴以上部分图形，θ的变化区间为[]π,0。相应于[]

π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为

()θαcos 1+、圆心角为θd 的圆扇形的面积。从而得到面积元素

()θ

θαd dA 2

2cos 121+=

于是

()θθαπ

d A 22

01cos 121+=?

=()θθθαπ

d ?++0

22cos cos 2121

=θ

θθαπd ???????++022cos 21cos 22321 =π

θθθα022sin 41sin 2232

1?

?????++ =2

43

πα

所求，所求面积为

图 5-17

图 5-18

2

123

2πα==A A

三 、体积

1、 旋转体的体积

设一旋转体是由曲线()x f y =与直线b x a x ==、、及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴

旋转而成（图5-19）。现用微元法求它的体积。

在区间[]b a ,上任取[]dx x x +,，对应于该小区间的小薄片体积近似于以()x f 为半径，以dx 为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为

()[]dx x f dV 2

π=

从a 到b 积分，得旋转体体积为

()dx

x f

V b

a

?=2

π

类似地，若旋转体是由连续曲线()y x ?=与直线

d y c y ==、及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转而成，则其体积为

()dy

y V d

c

?=2?π

例 4 求椭圆122

22

=+b y

a x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体

积（图5-20）。

解 将椭圆方程化为

()

2

2

222

x a a b y -=

体积元素为

()()

dx

x a a b dx x f dV 22

222

-==ππ

所求体积为

()

()??-=

-=

-a

a

a dx x a a b

dx x a

a b

V 0

2222

22

22

2ππ =

2

0322

2

34312ab x x a a b

a

ππ=??????-

当a=b=R 时，得球体积3

34R V π= 例5 试求由过点0（0，0）及点P(r,h)的直线,h y =及y 轴围成的直角三角形绕y 轴旋

转而成圆锥体的体积（图5-21）。

解 过OP 的直线方程为

图 5-19

x r h y =

即

y h r x =

因为绕y 轴旋转，所以取y 为积分变量，积分区间为[0，h]。 体积元素为

dy

y h r dV 2

??? ??=π

于是圆锥体的体积为

h

r y h r dy y h r V b

h

203222

03131πππ=??????=???

??=?

2、 平行截面面积为已知的立体的体积

从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积

分计算。

如图5-22所示，取上述定轴为x 轴，并设该立体在过点x=a 、x=b 且垂直于x 轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。A(x)为x 的已知的连续函数。

取x 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,。立体中

相应于[]b a ,上任一小区间[]dx x x +,的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、

高为dx 的扁柱体的体积，即体积元素

()dx x A dV = 于是所求立体的体积为

()dx

x A V b

a ?=

例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α（图5-23）。计算这个平面截圆

柱所得立体的体积。

解 取这平面与圆柱体的底

面的交线为x 轴，以过底圆中心且垂直x 轴的直线为y 轴。此时，底圆的方程为

222R y x =+。立体中过点

x 且垂直于x 轴的截面是直 角三角形。它的两条直角 边

的

长

度

分

别

为

a

y y tan 及，即

图 5-20

图 5-21 图 5-22

图 5-23

a x R x R tan 2

222--及。于是截面面积为

()()a

x R x A tan 21

22-=

因此所求立体体积为

()

adx x R V R

R tan 2122

-=?

-

=a R x x R a R

R tan 32

3tan 21332=??????--

习题 5-5

1.

求由下列已知曲线围成的图形的面积：

（1）；x y x y 2,3

==

（2）

;0,7ln ,3ln ,ln ====x y y x y

（3）

()0,2,2

2=-==y x y x y ; （4）

();0.2,222>=+=x y x x y （5）

x y x y -==2,2

（6）

.2,,1

===

y x y x y

2. 求由下列各曲线或射线围成图形的面积：

（1）()πθθααθρ2,0,0==>=

(2)

();0cos 2>=a θαρ

(3)θρcos 3=和θρcos 1+=的内部

(4)

().02cos 22>=a a θρ 3. 求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：

（1） x y x y ==22,,绕x 轴

（2） ,0,,0,cos ====y x x x y π绕x 轴 （3） ,0,0,042===+-y x y x 绕y 轴

（4） ,0,42=-=y x y 绕y 轴 （5）

()1652

2=-+y x ,绕x 轴

4.

计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面是等边三角形的立体

体积（图5-24）。

5. 计算以半径R 的圆为底，以平行于底且长度等于该圆直径的线段为顶，高为h 的正劈锥体（图5-25）的体积。

图5-24 图5-25