2016高考数学二轮精品复习材料数列综合

第八讲 数列综合

★★★高考在考什么 【考题回放】

1.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线

2

23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=

．7

3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于

A ．1

2

2n +- B.3n C. 2n D.31n

-

【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n

a +也是等比数列，

则

2212112221

2

(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即

2

n a =，所以

2n S n

=，故选择答案C 。

4.设集合{1

23456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的

{}

i i i S a b =，，

{}

j j j S a b =，（i j ≠，{1

23}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????≠????

??????，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值

是（ B ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

5. 已知正项数列{an}，其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .

解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn －1=an －12+5an －1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an －12)+6(an －an －1)，即(an+an －1)(an －an －1－5)=0 ∵an+an －1>0 ， ∴an －an －1=5 (n≥2)．

当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n －3．

6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2

n a 各项的和为

81

5.

(I)求数列

{}n a 的首项1a 和公比q ；

(II)对给定的(1,2,3,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前

10项之和；

解: (Ⅰ)依题意可知,???

??==????????=-=-32

358119

112121

q a q a q a (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

1

323-?

??

???=n n a ,所以数列)

2(T

的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,

155391021

21010=???+

?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查

1()a d q 、、

n n

n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函

数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出Sn 与an 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且1111

3114413144n n n n n n a a b b a b ----?=++???

?=++??（2n ≥）

（I ）令

n n n

c a b =+，求数列

{}

n c 的通项公式；

（II ）求数列

{}

n a 的通项公式及前n 项和公式

n

S ．

解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即

12

n n c c -=+（2n ≥）

易知

{}

n c 是首项为

113

a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为

21

n c n =+．

（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n

d a b =-，则11

(2)2n n d d n -=≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为

11

2n n d -=． 由12112n n n n n a b n a b -+=+???-=??，

解得

11

22n n a n =++

， 求和得21122n n n S n =-+++．

【变式】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242

,1,2,

1n n

S n n S n +==+，

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记

(0)

n a n n b a p p =>，求数列

{}n b 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：12

13

a a a +=，所以22a =，即

211d a a =-=，又1

211122()

42212n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===+++?＝

2(1)1n n a n a +++，所以

n a n

=。

（Ⅱ）由

n a n n b a p =，得

n

n b np =。所以

23123(1)n n

n T p p p n p np -=+++

+-+，

当1p =时，

12n n T +=

；

当1p ≠时，

2341

23(1)n n n pT p p p n p np +=+++

+-+，

23

1

1

1

(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p

p np

np p -++--=+++

++-=--

即11

,12(1),11n n

n n p T p p np p p ++?=??

=?-?-≠?-?。

（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列{}n

a 的前n 项和为

n

S ，点

(,)()

n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列

{}

n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设

11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m

T <

对所有n N *∈都成立

的最小正整数m ； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点

(,)()

n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S

＝3n2－2n.

当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝（3n2－2n ）－[]

)1(2)132

---n n （

＝6n －5.

当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an ＝6n －5 （n N *

∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

13+=

n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)

161

561(21+--n n ，

故Tn ＝

∑=n

i i

b 1

＝2

1??????+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）.

因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *

∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m

，即m ≥

10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知函数

2()1

f x x x =+-，,αβ是方程f(x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f(x)的导

数；设11a =，

1()'()

n n n n f a a a f a +=-

（n=1,2,……）

（1）求,αβ的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；

（3）记ln

n n n a b a a

β-=-（n=1,2,……），求数列{bn}的前n 项和Sn 。

解析：（1）∵2

()1f x x x =+-，,αβ是方程f(x)=0的两个根()αβ>，

∴

αβ=；

（2）'()21f x x =+，

2

1

115(21)(21)12

442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++

=

5

11

4

(21)4212

n n a a ++-+，∵11a =，

∴有基本不等式可知

20a >

（当且仅当

1a 时取等号）

，∴

20a >

同，样3a >

，……，n a α>=（n=1,2,……）， （3）

1()()(1)

2121n n n n n n n n a a a a a a a a αββ

ββα+----=--

=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，

2

1()21

n n n a a a ββ+--=

+，同理

21()21

n n n a a a αα+--=

+，12n n b b +=，

又

11ln

1b βα-===-

2(2n n S =-

【文】已知函数

2

()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是的导数

设

11

a =，

1()

()n n n n f a a a f a +=-

'，(1,2,)n =.

(1)求α、β的值；

(2)已知对任意的正整数n 有

n a α

>,记

ln

n n n a b a β

α-=-,(1,2,)n =.求数列{n b }的前n 项和

n

S ．

解、(1) 由 2

10x x +-=

得

x =

α∴=

β=

(2) ()21f x x '=+

22

111

2121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=

++

(

)()

2

222

122111535151521221153515152n n n n n n n

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ββαα++++??+++++++ ???-+- ?==== ?

--+--- ???++-++ ?

∴

12n n

b b += 又

1113515

ln

ln 4ln 235

a b a βα-++===-- ∴数列{}n b 是一个首项为

15

4ln

2+,公比为2的等比数列;

∴

()()15

4ln

12152421ln 122n n n S +-+=

=--

【变式】对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x0∈D ，经数列发生器输出x1＝f （x0）； ②若x1?D ，则数列发生器结束工作；若x1∈D ，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f （x1），并依此规律继续下去．

现定义f （x ）=12

4+-x x ．

（Ⅰ）若输入x0＝6549

，则由数列发生器产生数列｛xn ｝．请写出数列｛xn ｝的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn ｝满足：对任意正整数n,均有xn ＜xn ＋1，求x0的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域D ＝（－∞－1）∪（－1，＋∞）

∴数列｛xn ｝只有三项x1＝1911，x2＝51

，x3＝－1

（Ⅱ）∵f （x ）＝12

4+-x x ＝x 即x2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2

即x0＝1或2时，xn ＋1＝12

4+-n

n x x ＝xn ，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn ＝2（n ∈

N ）

（Ⅲ）解不等式x ＜12

4+-x x ，得x ＜－1或1＜x ＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2

对于函数f （x ）＝16

41

24+-

=+-x x x 。若x1＜－1，则x2＝f （x1）＞4，x3＝f （x2）＜x2 当1＜x1＜2时，x2＝f （x ）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn ｝的所有项均满足xn

＋1＞xn （n ∈N ）

综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f （x0），得x0∈（1，2） 【范例3】已知

()

n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x

y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}

n a 的

前n 项和，且满足222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…．

（I ）证明：数列2n n b b

+??????（2n ≤）是常数数列；

（II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}

n a 是单调递增数列；

（III ）证明：当a M ∈时，弦

1

n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增

解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．

因为10

n n n a S S -=-≠，所以

2

13n n S S n -+=． …… ①

于是

2

13(1)n n S S n ++=+． ……②

由②－①得163

n n a a n ++=+． …… ③

于是

2169

n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得

26

n n a a +-=， …… ⑤

所以226

2n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)

n n b n b +??????≥是常数数列．

（II ）由①有

2112

S S +=，所以

2122a a

=-．由③有

3215

a a +=，

4321

a a +=，所以

332a a

=+，

4182a a

=-．而 ⑤表明：数列

2{}

k a 和

21{}

k a +分别是以

2

a ，

3

a 为首项，6

为公差的等差数列， 所以226(1)

k a a k =+-，

2136(1)k a a k +=+-，

2246(1)()

k a a k k +=+-∈N*，

数列

{}

n a 是单调递增数列12

a a ?<且

22122

k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．

12a a ?<且

2346(1)6(1)6(1)

a k a k a k +-<+-<+-

1234

a a a a ?<<<915

1223218244a a a a a ?<-<+<-?<<．

即所求a 的取值集合是

91544M a a ??

=<

??． （III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n

a a n n n n n n n

b b e e k a a a a ++++--==

--

任取0x ，设函数0

0()x x e e f x x x -=-，则002

0()()()()x x x e x x e e f x x x ---=-

记00()()()

x x x g x e x x e e =---，则

00()()()

x x x x g x e x x e e e x x '=-+-=-，

当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数， 当

x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，

所以

0x x ≠时，

0()()0

g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上

都是增函数．

由（II ）知，a M ∈时，数列

{}

n a 单调递增，

取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n

a a n n e e a a ++-<

-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以

12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2

2n n a a n n e e a a ++->

-． 所以

1

n n k k +<，即弦

1()

n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．

解法二：设函数1

1()n a x n e e f x x a ++-=

-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是

增函数，

所以111

111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，2111

11211

lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++++

+++++--=>=--→．

故

1

n n k k +<，即弦

1()

n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．

【文】设

n

S 是数列

{}

n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且

222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；

（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}

n b （n ∈N*）中的所有

项都是数列

{}

n a 中的项，并指出

n

b 是数列

{}

n a 中的第几项． 解：（I ）当2n ≥时，由已知得222

1

3n n n S S n a --=．

因为10

n n n a S S -=-≠，所以

2

13n n S S n -+=． …………………………①

于是

2

13(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②

由②－①得：163

n n a a n ++=+．……………………………………………③

于是

2169

n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26

n n a a +-=．…………………………………………………⑤

即数列

2{}

n n a a +-（2n ≥）是常数数列．

（II ）由①有2112S S +=，所以

2122a a

=-．

由③有

1215

a a +=，所以332a a

=+，

而⑤表明：数列2{}k a 和

21{}

k a +分别是以

2

a ，

3

a 为首项，6为公差的等差数列．

所以

22(1)6626

k a a k k a =+-?=-+，

213(1)6623

k a a k k a +=+-?=+-，k ∈N*．

由题设知，1

187n n b -=?．当a 为奇数时，21k a

+为奇数，而

n

b 为偶数，所以

n

b 不是数列

21{}

k a +中的项，n

b 只可能是数列

2{}

k a 中的项．

若

118

b =是数列

2{}

k a 中的第

n k 项，由18626k a =-+得

036

a k =-，取

03

k =，得3a =，

此时

26k a k

=，由

2n k

b a =，得1

187

6n k -?=，137n k -=?∈N*，从而n b 是数列{}n a 中

的第1

67

n -?项．

（注：考生取满足

36

n a k =-，

n k ∈N*

的任一奇数，说明

n

b 是数列

{}

n a 中的第

126723n a

-?+

-项即可）

【变式】（文）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…

证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn 及数列｛an ｝的通项；

记bn=

2

11++

n n a a ，求｛bn ｝数列的前项和Sn ，并证明Sn+

1

32-n T =1.

解：（Ⅰ）由已知2

12n n n a a a +=+，

2

11(1)n n a a +∴+=+

12

a =

11

n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)

2

lg(1)n n a a ++=+ {lg(1)}

n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1

122lg3lg3n n --=?= 1

2

13n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-1

3

由（*）式得

1

2

31n n a -=- （Ⅲ）

2

102n n a a a +=+1(2)

n n n a a a +∴=+

11111

()22n n n a a a +∴

=-+

1112

2n n n a a a +∴

=-

+

又

112n n n b a a =

++1112()n n n b a a +∴=-

12n S b b ∴=++n

…+b

122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+1111

2()n a a +=-

1

221131,2,31

n n

n n a a a -+=-==-22131n

n S ∴=-

-

又

2

1

3n

n T -=2

131n n S T ∴+=-

（理）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列

{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11

n k n

k a a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．

（Ⅰ）解法一：

222

22(2)22a λλλλ=++-=+，

223233

3(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 334344

4(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．

由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．

以下用数学归纳法证明． （1）当1n =时，

12

a =，等式成立．

（2）假设当n k =时等式成立，即

(1)2k k

k a k λ=-+，

那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k

k λλλλλ++=-+++-

11[(1)1]2k k k λ++=+-+．

这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n

n a n λ=-+对

任何n *

∈N 都成立． 解法二：由

11(2)2()

n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，

可得

1

1

1

221n n

n n

n n a a λλλλ+++????

-=-+ ? ?????，

所以2n n n a λλ??????-?? ???????为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n

n a n λλ??-=- ???，所以数列{}n

a 的通项公式为(1)2n n

n a n λ=-+．

（Ⅱ）解：设

234123(2)(1)n n

n T n n λλλλλ-=+++

+-+-， ①

3451

23(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=+++

+-+- ②

当1λ≠时，①式减去②式，

得

21

23

1

1

(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλ

λλ+++--=++

+--=---，

211212

22

(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=

---．

这时数列{}n a 的前n 项和212

12

(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．

当1λ=时，

(1)2n n n T -=

．这时数列{}n a 的前n 项和1

(1)222n n

n n S +-=+-．

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +??????的第一项2

1a a 最大，下面证明：

21214

,22n n a a n a a λ++<=≥． ③

由0λ>知0

n a >，要使③式成立，只要

212(4)(2)

n n a a n λ+<+≥，

因为

222(4)(4)(1)(1)2n n

n a n λλλλ+=+-++

124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+?=-+·

1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．

所以③式成立．

因此，存在1k =，使得1121n k n

k a a a

a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．