华中农业大学数学专业高等代数(870)考研大纲

华中农业大学数学专业高等代数（870）考研大纲

一、要求掌握的基本内容

多项式理论，行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换和欧几里得空间。

二、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

三、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

四、试卷题型结构

单选题与填空题约50分

解答题（包括证明题）约100分

五、课程考试大纲

第一章多项式

考试内容：

数域；多项式整除理论及带余除法；因式分解定理；常见数域上不可约多项式的类型；多项式函数；复系数与实系数多项式的因式分解；有理系数多项式。

考试要求：

1. 掌握一元多项式的概念及其运算；

2. 掌握多项式整除理论及带余除法，并能熟练用辗转相除法求两个多项式的最大公因式；

3. 明确常见数域上不可约多项式的类型，掌握根与因式的关系；

4. 理解因式分解及其唯一性定理；

5. 能用函数的观点来研究多项式，掌握余数定理及其多项式根的概念；

6.充分理解复系数与实系数多项式的因式分解理论；

7.对有理系数多项式要熟练掌握高斯引理、Eisenstein判别法和求有理根的方法。

第二章行列式

考试内容：

排列；n级行列式的定义、性质；行列式的计算；行列式按行（列）展开；Cramer法则。

考试要求：

1.掌握逆序数的计算并了解排列的性质；

2.理解并掌握行列式的概念与基本性质，能熟练利用性质计算行列式；

3.熟练掌握行列式按行（列）展开；

4.掌握行列式计算的一般方法；

5.理解并掌握Cramer法则。

第三章线性方程组

考试内容：

线性方程组的消元法；向量组的线性相关性；矩阵的秩；线性方程组的解的判断；线性方程组的解的结构。

考试要求：

1.掌握用消元法求解线性方程组；

2.掌握向量组线性相关性的判别和极大无关组的计算；

3.理解矩阵秩的概念和性质并掌握其计算；

4.掌握线性方程组的解的判断和结构；

第四章矩阵

考试内容：

矩阵的运算；矩阵的逆；矩阵的分块；初等变换与初等矩阵。

考试要求：

1.理解矩阵的定义与运算；

2.理解可逆矩阵的概念及判别，掌握逆矩阵的两种求法；

3.熟练掌握矩阵的初等变换的基础上，正确理解初等矩阵的概念及性质，

矩阵的等价的性质及判定；

4.了解分块矩阵的概念及作用。

第五章二次型

考试内容：

二次型及其矩阵表示；标准形；唯一性；正定二次型。

考试要求：

1.理解二次型与矩阵的关系及二次型标准形的概念；

2.了解实、复二次型的规范形及其唯一性；

3.熟练掌握化二次型为标准形的两种方法（配方法，矩阵法）；

4.掌握判定实二次型（实对称矩阵）正定性的判别方法。

第六章线性空间

考试内容：

线性空间的定义与性质；维数、基与坐标；基变换与坐标变换；线性子空间；子空间的交、和与直和；线性空间的同构。

考试要求：

1.理解线性空间的概念及，了解线性空间的基本性质；

2.掌握子空间的判别法，理解生成子空间的概念；

3.掌握过度矩阵的计算和基变换公式；

4.掌握子空间的交与和运算以及维数公式及其证明方法，理解直和的判别；

5.理解线性空间的同构映射和线性空间同构的概念。

第七章线性变换

考试内容：

线性变换的定义与运算；线性变换的矩阵；特征值与特征向量；对角矩阵；线性变换的值域与核；不变子空间； Jordan标准形。

考试要求：

1.了解线性变换的定义与运算；

2.掌握特征根、特征各量的概念与计算；

3.掌握矩阵对角化的概念、方法；

4.理解特征子空间的概念、性质；

5.理解不变子空间的意义及在简化线性变换的矩阵中的作用；

6.掌握线性空间中线性变换的值域与核的概念；

7.了解Jordan标准形。

第八章欧几里德空间

考试内容：欧氏空间的概念；标准正交基的求解；实对称阵的对角化；正交补；欧氏空间上的线性变换；正交矩阵。

考试要求：

1.了解欧式空间的基本定义和概念；

2.熟悉内积运算，熟练进行实对称阵的正交化计算

六、参考教材

高等代数，北京大学数学系前代数小组编，大学数学，高等教育出版社，2013