安徽省安庆市梧桐市某中学2020届高三阶段性测试数学试卷(文)

高三数学试卷（文）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合，0，1，2，，则集合为

A. 0，1，

B. 0，1，

C. 0，1，2，

D. 0，1，2，

2.若复数z满足，则z的虚部为

A. B. C. i D. 1

3.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是

A. B. C. D.

4.设为等差数列的前n项和，若，则的值为

A. 14

B. 28

C. 36

D. 48

5.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均

值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的单位：的日均值，则下列说法正确的是

A. 10天中日均值最低的是1月3日

B. 从1日到6日日均值逐渐

升高

C. 这10天中恰有5天空气质量不超标

D. 这10天中日均值的中位

数是43

6.已知抛物线上点在第一象限到焦点F距离为5，则点B坐标为

A. B. C. D.

7.设，是非零向量，则“”是“的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 即不充分也不必要条件

8.如图是函数的部

分图象，则，的值分别为

A. 1，

B.

C.

D.

9.设数列的前n项和为若，，，则值为

A. 363

B. 121

C. 80

D. 40

10.已知，，，则的最小值为

A. B. C. 2 D. 4

11.已知a，b是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，，，则

D. 若，，则

12.某人5次上班途中所花的时间单位：分钟分别为x，y，10，11，已知这组数据的平

均数为10，方差为2，则的值为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知x，y满足约束条件则的最大值为______．

14.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

______．

15.定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有

成立；当时，则的值是______．

16.已知矩形ABCD中，点，，沿对角线BD折叠成空间四边形ABCD，则

空间四边形ABCD的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.设函数

Ⅰ求的单调递增区间；

Ⅱ在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求b．

18.某中学高三班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如

图频率分布直方图，其中数据的分组区间为：，，，，，．Ⅰ从每周平均体育锻炼时间在的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；

Ⅱ现全班学生中有是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？

附：

19.如图所示，三棱柱中，侧面为

菱形，，A在侧面上的投影恰为

的中点O，E为AB的中点．

证明：平面；

若AC与平面所成角为，且，求E到平面的距离．

20.已知过点的曲线C的方程为．

Ⅰ求曲线C的标准方程：

Ⅱ已知点，A为直线上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．证明：OA平分线段其中O为坐标原点；

求最大值．

21.已知函数，曲线在函数零点处的切线方程为．

Ⅰ求k，b的值；

Ⅱ当时，若有成立，求证：．

22.在直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AM与BM的斜

率之积为记M的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为．

Ⅰ求C和l的直角坐标方程；

Ⅱ求C上的点到1距离的最小值．

23.已知函数，，．

Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．

Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合，0，1，2，，

集合0，1，．

故选：B．

利用交集定义直接求解．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】A

【解析】解：复数z满足，，，，

则z的虚部为．

故选：A．

利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．

本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，其定义域为，关于原点对称，有，是偶函数，且在上，，为增函数，符合题意，

对于B，，是余弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；

对于C，，为二次函数，在上是单调减函数，不符合题意；

对于D，，为奇函数，不符合题意；

故选：A．

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.【答案】D

【解析】解：为等差数列的前n项和，，

．

故选：D．

由等差数列的性质得，由此能求出结果．

本题考查直角三角形三边长的比的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】D

【解析】解：由折线图可知A错，因为10天中日均值最低的是12月1日；B错，因

为2日到3日是下降的；

C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，

故选：D．

由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．

本题考查折线图，中位数，属于基础题．

6.【答案】C

【解析】解：设，由抛物线的方程可得准线方程为：，

由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以，

代入抛物线的方程可得，由B在第一象限，所以，即B的坐标，

故选：C．

由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．

本题考查抛物线的性质，属于基础题．

7.【答案】C

【解析】解：若“，

则平方得，

即，

得，即，

则“”是“的充要条件，

故选：C．

根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用利用平方法是解决本题的关键．

8.【答案】D

【解析】解：由函数图象可知，

，

时，函数取得最大值2，

可得：，可得：，即，，，

．

故选：D．

结合函数的图象，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值．

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，属于基础题．

9.【答案】B

【解析】解：数列的前n项和为若，，，

可得，，，，

则．

故选：B．

通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．

本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

10.【答案】D

【解析】解：，

，

当且仅当时等号成立，

的最小值为4．

故选：D．

根据，可以得到，展开后再运用基本不等式可求得最小值．

本题主要考查基本不等式的应用．在基本不等式中要注意1的灵活运用，属于基础题．11.【答案】C

【解析】解：若，，，则，不正确，可能相交；

B.若，，则或，因此不正确；

C.若，，，则，正确；

证明：设，，取，过点P分别作，，

则，，，，又，．

D.若，，则或．

故选：C．

A.由于，或相交，即可判断出正误；

B.由已知可得或，即可判断出正误；

C.正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；

D.由已知可得或，即可判断出正误．

本题考查了直线面面面垂直与平行的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12.【答案】D

【解析】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：，

，

解这个方程组需要用一些技巧，

因为不要直接求出x、y，只要求出，

设，，由得；

，

故选：D．

由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，利用换元法来解出结果．

本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．

13.【答案】4

【解析】解：由x，y满足约束条件作出可

行域如图，

联立，解得．

由图可知，使目标函数取得最大值最大值的

最优解为点A的坐标，

的最大值为：4．

故答案为：4．

由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数的最优解，代入坐标求得的最小值．

本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．

14.【答案】

【解析】解：双曲线的渐近线方程为，

可得，则，

所以双曲线的离心率为：．

故答案为：．

利用双曲线的渐近线方程，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．

15.【答案】2

【解析】解：定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有成立；

当时，．

．

故答案为：2．

直接根据定义把转化到用来表示即可求解．

本题主要考查抽象函数的求值，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：因为将矩形ABCD中，沿对角线BD

折叠成空间四边形ABCD后，始终满足：

，，且BD是公共斜边，所以BD

的中点O到A，B，C，D的距离相等，

所以O就是外接球的球心，所以半径

，

空间四边形ABCD的外接球的表面积

．

故答案为：．

因为折起来后，得到的空间四边形始终满足，，且BD是公共斜边，所以

BD的中点O到A，B，C，D的距离相等，则O即为外接球的球心．问题可解．

本题考查球的性质和球的表面积的计算．抓住球心到球面上任意一点的距离相等，找到球心O是本题的关键．属于基础题．

17.【答案】解：

．

由，解得：，

的单调递增区间为：．

Ⅱ由，可得，B为锐角，

．

又，，

由余弦定理可得：，解得．

【解析】利用倍角公式、诱导公式可得：再利用正弦函数的单调性可得：的单调递增区间．

Ⅱ由，可得，B为锐角，可得B再利用余弦定理即可得出．

本题考查了倍角公式、诱导公式、正弦函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：Ⅰ由已知，锻炼时间在，中的人数分别是人，

人，

分别记中的2人为，，中的3人为，，，则随机抽取2人调查的所有基本事件空间为：

，，，，，，，，，，

共10个，

这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率为．

Ⅱ由已知可知，不超过4小时的人数为人，其中女生有3人，男生有2人，

经常锻炼的女生有人，男生有人，

补充完整的列联表如下所示，

男生女生合计

经常锻炼 28 17 45

不经常锻炼 2 3 5

合计 30 20 50

，

故没有的把握说明经常锻炼与否与性别有关．

【解析】Ⅰ由频率分布直方图中的数据先分别算出锻炼时间在，中的人数，并分别记为，和，，，然后用列举法得出随机抽取2人调查的所有基本事件空间数，最后用古典概型求概率即可；

Ⅱ不超过4小时的人数为人，其中女生有3人，男生有2人，所以经常锻炼的女生有人，男生有人，然后补充完整列联表，并根据的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断．

本题考查古典概型求概率、独立性检验，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．

19.【答案】解：证明：连接，，因为O，E分

别是，AB的中点，所以．

因为平面，平面，所以平

面．

因为平面，所以．

因为，，所以，，，

．

设O到平面的距离为d，

因为，．

，．

平面，E到平面的距离为．

【解析】根据中位线定理，只需证出OE与平面内的直线平行即可；

等积法，利用将所求的距离转化为O到平面的距离即可．

本题考查空间距离的计算和线面平行的判定，利用等积法求空间距离是考查此类问题的常见思路．同时强调转化思想在立体几何证明中的应用．属于中档题．

20.【答案】解Ⅰ将P的坐标代入方程可得：，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以，为焦点，以长半轴为2的椭圆，

所以曲线C的标准方程为：；

Ⅱ设，，BD的中点坐标，

由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：，

则直线AF的方程为：，A在直线上，所以，即，将直线BD与椭圆联立，整理可得，

所以，，

所以，

所以中点，

因为，

所以OA平分线段BD；

，，

所以，令，

所以，当且仅当时取等号，

所以最大值为1．

【解析】Ⅰ将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知

焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；

Ⅱ设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由

题意可得直线AF的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；

求出，，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．

本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和均值不等式的应用，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ，定义域为R，

则，，

在R上为减函数，

，，

由零点存在性定理可知，在上必存在，使得，

且当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

，故至多有两个零点，

又，，故，是的两个零点，

由，，易得两切线方程为或

，

或．

Ⅱ证明：由Ⅰ易知，，

设，，，在R上为增函数，

，

当时，，即在上为减函数，

当时，，即在上为增函数，

，即，

，

得证．

【解析】Ⅰ求导得，，进而可知存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减，进一步可得，是的两个零点，再求得，，由此求得所求切线方程；

Ⅱ先构造函数，，

，可知，可证．

本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．

22.【答案】解：Ⅰ已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．

整理得，化简得：．

直线1的极坐标方程为转换为直角坐标方程为

．

Ⅱ把方程转换为为参数，且．

所以点到直线的距离

，

当，所以．

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出

结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23.【答案】解：由题意得：在上恒成立，

恒成立，

即

又

，即

令，

若，则解集为，不合题意；

若，则有，即

又解集为，

，解得

当且仅当，即时，等号成立，此时

，时的最小值为7

【解析】利用绝对值三角不等式性质

利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本

不等式可以求解．

本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题