平面向量解题大全

平面向量解题大全

考查内容：平面向量的线性运算，基本定理，坐标表示，数量积。

补充内容：特殊化策略、坐标法、函数建模在平面向量中的应用。

1、设向量)0,1(=a ，??

? ??=21,21b ，则下列结论中正确的是（ C ） A 、b a = B 、2

2=?b a C 、b a -与b 垂直 D 、b a // 2、平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=a ，1=b ，则=+b a 2（ B ）

A 、3

B 、23

C 、4

D 、12

3、平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于（ C ）

A 、222)(b a b a ?-

B 、222)(b a b a ?+

C 、222)(2

1b a b a ?- D 、222)(21b a b a ?+ 4、在ABC ?中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（ A ）

A 、49-

B 、43-

C 、43

D 、49

5、如图，设,P Q 为ABC ?内的两点，且2155AP AB AC =+，AC AB AQ 4132+=， 则ABP ?的面积与ABQ ?的面积之比为（ B ）

A 、15

B 、45

C 、14

D 、13

解析图：

解析：如图，设25AM AB =，15

AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则 知//NP AB ，所以5

1==??AC AN S S ABC ABP ，同理可得41=??ABC ABQ S S ，故54=??ABQ ABP S S 。 6、已知P N O ,,在ABC ?所在平面内，且OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则点P N O ,,依次是ABC ?的（ C ）

A 、重心 外心 垂心

B 、重心 外心 内心

C 、外心 重心 垂心

D 、外心 重心 内心

7、已知P 是ABC ?所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ?的（ C ）

A 、外心

B 、内心

C 、重心

D 、垂心

8、已知O 是ABC ?所在平面内一点，满足OA OB OB OC ?=?=OC OA ?，则点O 是ABC ?的（ D ）

A 、三个内角的角平分线的交点

B 、三条边的垂直平分线的交点

C 、三条中线的交点

D 、三条高的交点

9、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足

[)+∞∈????

? ??++=,0,λλAC AC AB AB OA OP ，则点P 的轨迹一定过ABC ?的（ B ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心

10、已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m

-+=上存在点P 满足

0PM PN ?=，则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(,5][5,)-∞-+∞ B 、(,25][25,)-∞+∞ C 、[]25,25- D 、[]5,5-

11、在ABC ?中，??

????∈?833,83BC AB ，其面积163=S ，则向量AB 与向量BC 夹角的取值范围是（ A ）

A 、??????4,6ππ

B 、??????3,6ππ

C 、??????3,4ππ

D 、??

????43,6ππ 12、设两个向量()??

? ??+=-+=ααλλsin 2,,cos ,222m m b a ，其中R m ∈αλ,,。若b a 2=，则m λ

的取值范围是（ A ）

A 、]1,6[-

B 、]8,4[

C 、]1,(-∞

D 、]6,1[-

13、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E O ,是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。若a AC =，b BD =，则AF = 。（用b a ,表示） 答案：b a 3

132+ 14、设C B A ,,为圆122=+y x 上三个不同的点，O 为坐标原点，已知0=?OB OA ， 且存在R ∈μλ,，使得OB OA OC μλ+=，则=+22μλ 。 解析：将OB OA OC μλ+=两边同时平方即可，得122=+μλ。

15、（特殊化策略）在ABC ?中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线l 分别交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若AN n AC AM m AB ==,，则=+n m 。 答案：2。解析：本题采用特殊化策略，当点M 与点B 重合时，点N 与点C 也重合，于是可以确定1==n m ，进而求解。

16、（特殊化策略）在ABC ?中，点E 是中线AD 上一点，MN 经过点E ，与边AC AB ,分别交于N M ,。若AN n AC AM m AB ==,，且5=+n m ，AD AE λ=， 则实数=λ 。 答案：5

2

17、（特殊化策略）已知Q P ,分别是OAB ?边OB OA ,上的点，且PQ 过OAB ?的重心G ，若),(,,,R n m n OQ m OP OB OA ∈====βαβα，则

=+n

m 11 。 答案：3

解析：本题采用特殊化策略，将OAB ?视为等边三角形，由于点G 为OAB ?的重心，且PQ 过点G ，所以32==n m ，进而求解。 18、（特殊化策略）设点P 为ABC ?的重心，若4,2==AC AB ，则=?BC AP 。 解析：本题可采用特殊化策略，设ABC Rt ?， 90=∠B ，则答案为4。

19、（特殊化策略）设ABC ?的外接圆的圆心为点O ，两边上的高的交点为H ，且点O ，H 满足OH =()m OA OB OC ++，则实数m = 。 解析：本题可采用特殊化策略，当ABC ?为Rt ?时，不妨设90C =，则O 是AB 的中点，H 是直角顶点C ，有OH OC OA OB OC ==++，∴1m =。

20、（特殊化策略）若点O 是ABC ?的外心，点'O 是ABC ?三边中点F E D ,,所构成的DEF ?的外心，且'()OO m OA OB OC =++，则m = 。 解析：可采用特殊化策略，设ABC ?为直角三角形，可得12

m =。 21、（特殊化策略）在平行四边形ABCD 中，AD AF AB AE 4

1,31==，CE 与BF 相交于点G ，若b AD a AB ==,，则=AG 。（用b a ,表示） 答案：b a AG 7

173+= 解析：本题采用特殊化策略，将平行四边形ABCD 视为边长为12的正方形，并建立平面直角坐标系，确定点G 坐标，进而求解。

22、（线性运算）在ABC ?中，设b AC a AB ==,，R Q P ,,三点在ABC ?内部，且AP 中点为Q ，BQ 中点为R ，CR 中点为P ，若b n a m AP +=，则=+n m 。

答案：7

6 23、（数量积问题）已知平面上三点C B A ,,满足2AB =，1BC =，3CA =，则AB BC BC CA CA AB ?+?+?的值等于 。

答案：4-

24、（线性运算与数量积）在ABC ?中，?=∠120BAC ，2==AC AB ，D 为BC 边上的点，且0=?BC AD ，若EB CE 3=，则AE AC AB ?+)(= 。 答案：2

25、（线性运算与数量积）如图，在ABC ?中，AD AB ⊥，BD BC 3=，1AD =，则AC AD ?= 。

25、

26、 答案：3 26、（线性运算与数量积）如图，在ABC ?中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=?== 是边BC 上一点，2,DC BD =，则=?BC AD 。

答案：3

8- 27、（坐标法与数量积）如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ， 则=?AC AD 。

答案：3

解析：令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)

a b a b a b ?+=??==-?-+=-??， 所以()3AD AC b a b ?=?+=。

28、（坐标法与数量积）在平行四边形ABCD 中，N M ,分别为BC CD ,的中点，()()1,3,2,1==AN AM ，则=?AM AB 。 答案：3

10 解析：设()()()()2,26,2,6,0,,0,0B B B x D x C x B A --，则通过M 点的横坐标可计算出3

10=B x ，从而确定=?AM AB 的值。 29、（坐标法与数量积）在AOB Rt ?中，3,2,90===∠OB OA AOB ，若

OB OD OA OC 2

1,31==，AD 与BC 相交于点M ，则=?AB OM 。 答案：5

14 解析：本题采用坐标法，通过联立直线方程确定点M 坐标，进而求解。

30、在四边形ABCD 中，)1,1(==DC AB ，113BA BC BD BA BC BD +=，则

四边形ABCD 的面积是 。

答案：3

31、设点O 为ABC ?的外心，12,3,2=+==y x AC AB ，若)0(≠+=xy AC y AB x AO ， 则=∠BAC cos 。 答案：43,32 解析：?????+∠=∠+=???????+?=??+?=?y BAC x BAC y x AC AC y AC AB x AC AO AB AC y AB AB x AB AO 9cos 62

9cos 642，联立12=+y x ， 令BAC t ∠=cos ，且()1,1-∈t ，化简得，0617122

=+-t t ，所以43,3221==t t 。

32、如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、

的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +?的最小值是 。 32、

37、 答案：92-。解析：本题可利用均值定理，求出()PA PB PC +?的最小值是92-。

33、过点()1,2P 的直线()21-=-x k y ，其中k 为常数，分别交y x ,轴的正半轴于B A ,两点，若OB OA OP μλ+=，其中O 为坐标原点，则

μλ11+的最小值为 。

答案：4 解析：本题先建系，得到()k B k A 21,0,0,12-??? ?

?-，再根据OB OA OP μλ+=，可以 得到()?????-=??? ??-=k k 211122μλ，则???

????-=-=k k k 211122μλ，最后由均值定理推出μλ11+的最小值为4。 34、（坐标法与线性运算、数量积）若等边ABC ?的边长为23,平面内一点M 满足CA CB CM 3

261+=,则MA MB ?= 。 答案：2-

35、（特殊化策略与坐标法）在ABC ?中，点P 为AB 上一点，CB CA CP 3132+=，Q 为BC 的中点，AQ 与CP 交于点M ，CP t CM =，则=t 。 答案：4

3 解析：本题采用特殊化策略，将ABC ?视为等腰直角三角形，且3==CB CA ，以点C 为原点，建立平面直角坐标系，于是得到点Q P ,的坐标，再将直线CP AQ ,联

立，确定出点??

? ??43,23M ，进而通过CP t CM =，确定出43=t 。 36、（特殊化策略与坐标法）在ABC ?中，点E D ,分别在边AC AB ,上，且已知 DB AD 2=，EC AE 3=，CD 与BE 交于点F ，设b y a x AF b AC a AB +===,,，则实数对),(y x 为 。 答案：??

? ??21,31。解析：本题采用特殊化策略，将ABC ?视为直角三角形，且4,3==AC AB ，以点A 为原点，建立平面直角坐标系，最终确定出实数对),(y x 。

37、（函数建模）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o ，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则y x +的最大值是 。

解析：一般求最值问题时，宜采用函数建模的方法，将所求问题转化为初等函数

问题。设AOC α∠=，??????+?=??+?=?OB OB y OB OA x OB OC OA OB y OA OA x OA OC ，即01c o s 21c o s (120)2

x y x y αα?=-????-=-+?? 于是02[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26

x y πααααα+=+-=+=+≤。 38、（函数建模）平面上的向量MA 与MB 满足0,42=?=+MB MA MB MA ，若点C 满足MB MA MC 3

231+=，则MC 的最小值为 。 答案：4

7。 解析：以M 为原点，建立平面直角坐标系，构造二次函数。

39、（坐标法与函数建模）已知直角梯形ABCD 中，BC AD //，90ADC ∠=，2,1AD BC ==，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 。 答案：5。

解析：建立平面直角坐标系，构造二次函数。