高中数学立体几何专题证明题训练

A P

B C

F E D

立体几何专题训练

1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，

且∠

ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．

（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ；（2）求证：直线PB ∥平面EMC ．

2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相

等，

D 、

E 分别是CC 1和AB 1的中点，点

F 在BC 上且满

足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是

11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===

（1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积

4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο

60⊥⊥⊥

4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；

（2）求四面体PCEF 的体积.

6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，

1AD

AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；

（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.

7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为

11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.

（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B

8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为

AF 的中点。

（1）求证：1F G ∥平面11BB E E ；（2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ；

A B D C

E A B

D E

F A

C D E

M O

C 1

F A 1 B 1

（3）求四面体1EGFF 的体积。

9如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=o ，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．

10如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．

（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；（Ⅱ）求证：⊥1

1C B 平面11A ABB ；（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面

BDE ，并说明理由．

11已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中

点．

(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；

(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积

12如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是

的中点．

（1）证明CD AE ⊥；（2）证明PD ⊥平面ABE ；

13如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平

面斜

截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12．

（1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；

（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH 的长．

14已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．

(1)求证：AF ⊥平面CDE ； (2)求证：AF ∥平面BCE ；

(3)求四棱锥C －ABED 的体积．

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｆ图①

ＢＣ

Ｅ

ＦＭ

图②

C 1

A 1

D 1

C 1

B 1

A D B

D E

F G

15如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 所在平

面互相垂直，已知BD=2AF ，且点M 是线段EF 的中点.

(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：平面DEF ⊥平面BEF.

16如图：正四棱柱1AC 中，

1O ABCD E DD 为棱的中点，是底面正方形中心，

且1EO AB ⊥，

（1）求证：该正四棱柱为正方体；

（2）若1-AB a A OBB E =，求四棱锥的体积．

17如图：M 、N 、K 分别是正方体ABCD —1111

A B C D 的棱

AB 、CD 、11C D 的中点，

（1）求证：AN ∥平面1;A MK

（2）求证：111.A B C A MK ⊥平面平面 18在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5，

AA 1＝

4，点D 是AB 的中点，

（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1//平面CDB 1；（3）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且！作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.

高中数学空间几何专题练习(供参考)

一、选择题 1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为（） 2 3 + 为（） C 、120；。 3、边长为a 正四面体的表面积是（） A 、34； B 、312a ； C 、24 a ； D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是（） A 、在y 轴上的截距是6； B 、在x 轴上的截距是6； C 、在x 轴上的截距是3； D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是（） A 、平行； B 、相交或异面； C 、异面； D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为A 、12-； B 、12 ； C 、2-； D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为（） A 2； B 2a ； C 2； D 2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（） A ．30° B ．45° C ．90° D ． 60° 9、下列叙述中错误的是（） A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B 、三点,,A B C 确定一个平面； C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面；图（1） 1 A

D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（） A 、两条平行直线； B 、一点和一条直线； C 、两条相交直线； D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（） A 、25π； B 、50π； C 、125π； D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为． 15、过点（1 16、已知,a b （1） a b αβ////,，则a b //；（2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //；（3） ,a b b α?//，则a α//；（4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； M

立体几何证明题专题(教师版)分析

立体几何证明题考点1:点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是__________ . 【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时），②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图（1）所示. ABC —A B C D'中，直线BB丄AB, BB丄CB但AB与CB不平行，???⑥错. AB // CD BB n AB= B,但BB与CD不相交，.??⑦错?如图（2）所示，AB= CD BC= AD四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错. I、m外的任意一点，贝U （ A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行 B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直 C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交 D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面答案 B 解析对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行，则I // m这与I , m异面矛盾. 对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线. 对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条. 对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.

必修二立体几何常考证明题

必修二立体几何常考证明题一．证明线线平行，线面平行，面面平行 1．利用三角形中位线 2. 利用平行四边形考点1：线面平行的判定（利用三角形中位线）例1：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面 BDE 。考点2：线面平行的判定（利用平行四边形）例2：已知正方体111 1 ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；练习： 1、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，求证：直线AE ∥平面PFC A E D 1 C B 1 D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

2正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。（1）求证：直线AB 1∥平面C 1DB ； 3、如图，已知ABCD PA 矩形所在平面，N M 、分别为PC AB 、的中点；（Ⅰ）求证：PAD MN 平面//； 4、如图，在三棱锥D-ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB=BC=a ，E 为 BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF=3FC ．（1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． A 1 C 1 C B A B 1

考点3：面面平行的判定例7：如图，在正方体111 1 ABCD A BC D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1 1 C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 5、棱长为a 的正方体AC 1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点．（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面；（2）求证：面AMN ∥面EFBD ．

立体几何证明平行的方法及专题训练

D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜https://www.360docs.net/doc/1316473067.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB （第1题图）

M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC；（Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证： AM ∥平面EFG 。分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG 6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

高考立体几何大题经典例题.

N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1

高中数学空间立体几何讲义

第1讲空间几何体高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲：例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。（二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（）（A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

立体几何证明题专项练习一

1如图，四棱椎P —ABCD 的底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD ∥ BC ， BA=BC=1，AD=2，PA ⊥平面ABCD 。（1）若E 是线段PA 的中点，证明BE ∥平面PCD 。（2）证明：CD ⊥CP ； 2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AD//BC ，BC=2AD ， PB ⊥AC ，Q 是线段PB 的中点. （I ）求证：AQ//平面PCD. （II ）求证：AB ⊥平面PAC ； 3.如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点，求证：(1)//PC 平面EBD ；(2) B C ⊥P C 。 4. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB ；（2）求证：A 1F ⊥BE ；（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ?说明理由。 5. 如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3。（1）证明：BC ∥平面PDA ；（2）证明：BC ⊥PD ；（3）求点C 到平面PDA 的距离。 E 6、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 7.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

重点高中立体几何证明平行的专题

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3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1 ＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA E F B A C D P （第1

4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1）求证：AB⊥CD；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点．（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．（1）求证：DM ⊥平面PBC ；（2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

高中数学立体几何专题证明题训练(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ；（2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD,∠ABC= 60,E 是BC 的中点，如图2，将三角形ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AECD,F.P 分别是CD,BC 的中点，（1）求证：AE ⊥BD (2)求证：平面PEF ⊥平面AECD; (3)判断DE 能否垂直于平面ABC,并说明理由。 5,如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；（2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形 ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则面面垂直判定线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案

空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为

2016—高二高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的练习立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F ⊥平面PDC 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD 3 、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB E F B A C D P （第2题图）

完整word版,高中立体几何证明平行的专题

1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）

2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何空间距离 1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离【例3】如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图例2题图例3题图

高中数学立体几何专题证明题训练

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