2019高考大题之解析几何

高考大题之解析几何

1.如图，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =3

，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶

点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15．

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？

若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c =22a b -，

∵e =

35c a =，∴a =5

c ，b =43c ． ∴A (0，43c )，B (-5

3c ，0)，C (0，-43c )，

∴AB ：33154x y c c -+=，CF ：314x y

c c

--=，

联立解得D 点的坐标为(-54c ，1

3c )． ∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·4

c =15，

解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为22

12516

x y +=．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-15

，1)．

假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦，则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上．当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ． ∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)，根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)，

而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-251

故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为

M (-25140，8)，N (25140

，0)． 2.如图，椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B A ,两点，

AF 的最大值为M ，BF 的最小值为m ，满足2

M m a ?=

。（Ⅰ）若线段AB 垂直于x 轴时，3

AB =

，求椭圆的方程；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两

点，O 是坐标原点，记GFD ?的面积为1S ，OED ?的面积为2S ，求1222

122S S S S +的取值范围。

解：(Ⅰ) 设

(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得

,,M a c m a c =+=-而234M m a ?=

，所以有22234

a c a -=，即224a c =，2a c =，又2322=a

b 且222

c b a +=，得4

,12==b a ，因此椭圆的方程为：13

422

=+y x (Ⅱ)由(Ⅰ)可知2a c =，22

3b a c c =-=，椭圆的方程为2222143x y c c

+=.

根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，

并设1122(,),(,)A x y B x y 则由22

22()143y k x c x y c c

=+??

?+=??消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-= 从而有21212122286,(2)4343ck ck

x x y y k x x c k k +=-+=++=++，

所以22243(,)4343

ck ck

G k k -++.

因为DG AB ⊥，所以2223431443

D ck

k k ck x k +?=---+，2

243D ck x k =-+. 由Rt FGD ?与Rt EOD ?相似，所以

22222

2221222

22243()()943434399()43

ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+.

令12

t S =，则9t >，从而

1222122229114199

S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9

(0,)41

3．已知B A ,是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点，(2,0)B ，过椭圆C 的右焦

点F 的直线交椭圆于点N M ,.交直线4=x 于点P ，且直线PB PF PA ,,的斜率成等差数列，R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ （不垂直x 轴）的中垂线交x 轴与于T 点

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求MNT ?的面积的最大值

解：（1）设(4,)P t

直线PB PF PA ,,的斜率成等差数列?

2462

t t t

c =+-1c ?= 所以椭圆方程22

143

x y += （2）设直线MN 方程为1x my =+

联立22

143x y +=得22(34)690m y my ++-= 2144(1)0m ?=+>

2122121||34

m y y m +-=+

由点差法可知RQ 中垂线与x 轴相交于点1

T 04?? ???

，，

212191

||||22MNT

m S TF y y ?+=?-= 当0m =时，max 9

S =

4.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点2F 是抛物线24y x =的焦点，过点2F 垂直

于x 轴的直线被椭圆C 所截得的线段长度为3．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MP MQ 为定值？若存在，求出点M 的坐标；

若不存在，请说明理由．

.解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点坐标为()0,1，则椭圆C 过点??

? ??

±23,1,

则???

??=++=149112

2b a b a ,解得???==3422b a ∴椭圆C 的方程为13422=+y x （Ⅱ）假设在x 轴上存在定点()0,1x M 满足条件，设()00,y x P ，则()m k Q +2,2，

由???

??=++=13422y x m kx y ,得()0124834222=-+++m kmx x k .

()()

0124344642222=-+-=?∴m k m k ,即03422≠∴=+m m k ，

此时??

??-∴=+=-=+-

=m m k P m m kx y m k k km x 3,4,3,43440

020, (),2,2,3,411m k x MQ m x m

MP +-=??? ??--=∴

()

32241211+-+-=?∴x x m k

x MQ MP 0241=-∴x ，即211=x 时4

32121=+-x x

∴存在点??

??0,21M 使得MP MQ 为定值49

5.若曲线22122:1(0),(0)x y C a b y a b +=>>≤

的离心率e =且过点

P 1)-，曲线

22:4C x y =，自曲线1C 上一点A 作2C 的两条切线切点分别为,B C ．

（Ⅰ）求曲线1C 的方程；

（Ⅱ）求ABC S ?的最大值．

解：（Ⅰ）

1(0)164

x y y +=≤ (Ⅱ)设BC l :y kx b =+ 24x y

y kx b

?=?=+?

2440x kx b --=,12124,4x x k x x b +==-，

111:()4

x AB y k x x =-+，代入24x y =，得221111440x k x k x x -+-=

111

161640k k x x ?=-+= 111

k x = 2111:24x AB y x x =-

同理 2221:24x AC y x x =- 得1212

1()2:14

x x x A y x x

?=+????=??，

即(2,)A k b -,所以2241164k b +=,22

4(02)k b b +=≤≤，2

2221A BC k b d k

---=+

2121616x x k b -=+ 2121BC k x x =+-

232222

2122

332

2221116164()211171717

4(4)4(())242

ABC

k b S k x x k b k b k b k b b b ?--=+-=++=++=-+=--+≤

当115

,2b k =

=. 6.已知椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0322

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点O 的直线l ：y kx m =+(0)k ≠，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、

OQ 的斜率依次为1k 、2k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若

是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 解：（1）

依题意可得()

22222221,3

b c a a b c

?????=??=

????=+?解得???==12b a 所以椭圆C 的方程是

.14

=+y x （2）当k 变化时，2m 为定值，证明如下：

由2

y kx m

x y =+???+=??得，

()2

21484(1)0

k x

kmx m +++-=.

设P ),(11y x ，Q ),(22y x .

则122

814km

x x k

+=-+，()()212241,*14m x x k -=?????+ 直线OP 、OQ 的斜率依次为12,k k ，且124k k k =+,

∴12121212

4y y kx m kx m

k x x x x ++=+=+

，得()12122kx x m x x =+, 将()*代入得：21

m =，经检验满足0?>

7.如图，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率1

e =，椭圆C 上一点M 到左、右

两个焦点1F 、2F 的距离之和是4．

（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l 1x =与椭圆C 交于Q P ,两点，P 点位于第一象限，

B A ,是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12

，

求四边形APBQ 面积的最大值.

解:（1）依题意，2221

24,2,

,1,32

a a e c

b a

c ===∴==-=

∴椭圆C 方程为：22

143

x y += （2）易知33(1),(1)22P Q -，，,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB ：1

y x t =+

与椭圆联立得2230x tx t ++-=，∴2

212304t t ?=->?<，

121||||0=)2APBQ S PQ x x t ∴=-===取“”

APBQ S ∴

的最大值是8．如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线1C ：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线1C 上点

P 处的切线与圆2C ：122=+y x 相切于点Q ．

（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时，记21,S S 分别为FOQ FPQ ??,的面积，求

S S 的最小值．解：（Ⅰ）设点)2,(200p

x x P ，由)0(22

>=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='，

因为直线PQ 的斜率为1，所以10=p x 且0222

0=--p

x x ，解得22=p ，所以抛物线1C 的方程为y x 242=．

（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(2002

0x x p

x p x y -=-，即0222

0=--x py x x ，根据切线又与圆相切，得r d =

1，化简得22

040

44p x x +=，

由0442

0402>-=x x p ，得20>x ，由方程组200222201

x x py x x y ?--=??+=??，解得)24,2(200p x x Q -，

所以2

0000

||2

(2)2P Q x PQ x x x p

=-=-=

-，

点)2

,0(p

F 到切线PQ

的距离是204x d =

==，

所以3

2010||1(2)216x S PQ d x p =?=-，0

2221x p

x OF S Q ==，

所以424200001242

200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-322344

24)4(2)2(202

020

2020+≥+-+-=--=x x x x x ，当且仅当4

4242

0-=-x x 时取“＝”号，即2242

0+=x ，此时，222+=p ，所以

S S 的最小值为223+． 9.已知点??? ?

-23,1P 是椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>上一点，21,F F 分别是椭圆E 的

左、右焦点，O 是坐标原点，x PF ⊥1轴。

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设B A ,是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且，求直线AB 的斜率

解：（1））（，轴，0

,1,1)0,1(,211F c F x PF =-∴⊥ ，2

52=∴PF 3,2422

21==∴=+=∴b a PF PF a ，故所求椭圆方程是13

2=+y x ．（2）设),(),,(221y x B y x A ，由于(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且

得，)2

3,1()2

3,1(2211-=-++-+λy x y x , )2(2

3,22121λλ-=+-=+∴y y x x ,

43:2

121=+y x 又

432

222=+y x ,两式相减得

))((32121x x x x -++0))((42121=-+y y y y

)(4)

(3)()(21212121y y x x x x y y ++-

=--∴

， )2(2

3,22121λλ-=+-=+y y x x 而，

)(4)(3)()(21212121=++-=--=

∴y y x x x x y y K AB

10.设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于

B A ,两点，直线l 的倾斜角为 60,2AF FB =.

(I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果=

AB 15

，求椭圆C 的方程.

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为

)y x c -

，其中c

联立2222),1

y x c x y a b ?=-?

?+=??

得22224(3)30a b y cy b ++-=

解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.

即

2=得离心率 2

c e a =

（Ⅱ）因为21AB y y =-

4=.

由

23c a =

得3

b =.所以51544a =，得3=a

，b =椭圆的方C 程为22

195

x y +=. 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F

，点H 在椭圆上．

（I ）求椭圆的方程；

（II ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，求证：△2PF Q 的周长是定值．

解：（I ）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，1c =，

∵210

(2,

)H 在椭圆上， ∴2222

122102102(21)(

)(21)()633

a HF HF =+=+++-+=， 3a =，22

b =，

椭圆的方程是22

198

x y +=；

（II ）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则22

11198

x y +=， ()()22

211211

1118(1)(3)93

x x

PF x y x =-+=-+-=-，

∵103x <<，∴1

233

x PF =-，在圆中，M 是切点，

∴22

2211

||||88(1)893

x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=，

∴21111

3333

PF PM x x +=-+

=，同理23QF QM +=，∴22336F P F Q PQ ++=+=，因此△2PF Q 的周长是定值6．

12.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点(0,6)P ，且它的离心率2

1=e ．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ的取值范围．

解:（Ⅰ）椭圆的标准方程为: 22

186

x y +=

（Ⅱ）因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切

所以，

2112(0)1t k

t k t t k

+-=?=≠+ 把t kx y +=代入22

186

x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=

设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k kt

x x +-=+

2121214362)(k

t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为，),(2121y y x x OC ++=λ，所以，???

? ??++-λλ)43(6,)43(822k t

k kt C

又因为点C 在椭圆上，所以，

222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ 22

22222

1134()()1t k t t λ?==

+++ 因为02>t ，所以 11)1

()1(222>++t

所以202λ<<，所以 λ的取值范围为 (2,0)(0,

2)-

13.如图所示,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为5

,且()2,0A 是椭圆C 的顶

点.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)过点A 作斜率为1的直线l ,设以椭圆C 的右焦点F 为抛物线

2:2(0)E y px p =>的焦点,若点M 抛物线E 上任意一点,求点M 到直线l 距离的

最小值.

解:(1)由题意可知,2b =

5c e a ==,即222

41,55c a a a a -==∴=

∴所以椭圆C 的方程为:22

1.54

x y +

= (2)由(1)可求得椭圆C 的右焦点F 坐标()0,1

∴抛物线E 的方程为:24y x =,而直线l 的方程为20x y -+=

设动点为2

0(,)4

y y ,则点M 到直线l 的距离为

220001|2||(2)1|

44.2222

y y y d -+-+==≥=

即抛物线E 上的点到直线l 距离的最小值为

14.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为7

，长轴长为8。

（I ）求椭圆C 的标准方程；

（II ）若不垂直于坐标轴的直线l 经过点()0,m P ，与椭圆C B A ,交于两点，设点Q 的坐标为()0,n ，直线BQ AQ ,的斜率之和为0，求n m ,的值。

解：（Ⅰ）由题意

c a =① ，

28a =②，又222

a b c =+③，由①②③解得：4,3a b ==，

所以求椭圆C 的标准方程为22

1169x y +

（Ⅱ）设直线l 方程为()y k x m =-（0k ≠），且1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AQ BQ 、的斜率分别为12,k k ，

将()y k x m =-代入22

1169x y +

=得： 22222(916)32161440k x k mx k m +-+-=，

由韦达定理可得：222121222

3216144

,916916k m k m x x x x k k -+=?=++.

由120k k +=得，

12120y y

x n x n

+=--，将1122(),()y k x m y k x m =-=-，带入整理得： 1212212122()()20.()x x m n x x mn

x x n x x n

-+++=-++ 即

12122()()20.

x x m n x x mn -+++=

将2221212223216144

,916916k m k m x x x x k k

-+=?=++代入，整理可解得16.mn = 15.已知动圆过定点1

(0,)4F ,且与定直线1:4

l y =-相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；

（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为

,M N ，求证：直线MN 恒过定点，并求AMN ?面积S 的最小值.

解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1

(0,)4

F 为焦点，以定直线1:4

l y =-为准线的抛物线；设2:2(0)C x py p =>

∵ 点1(0,)4F 到准线1:4l y =-的距离为12,∴12

p = ∴ 圆心的轨迹C 的方程为2x y = (2) ∵2x y =,∴2y x '=

设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,222x y =

则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2222y x x x =-，即222y x x y =- ∵过点,M N 的切线都过点00(,)A x y ∴01012y x x y =-，02022y x x y =-

∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上

∴直线MN 的方程为002y xx y =-，即0020x x y y --=

又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --= ∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-= ∴直线MN 恒过定点1(,1)2

联立002

20x x y y y x

--=??

=?得到2

0020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即

200210x x x x -+-=…①

则12x x 、是①的二根

∴2

0012012

044(1)021

x x x x x x x x ??=-->?

+=???=-?,

∴MN =

点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是

d =

∴

00112S MN d x x ?=?==-+

即14

AMN S ?===

∴面积的最小值是14

16.如图，已知抛物线()220C x py p =>：，其焦点F 到准线的距离为2，点A 、点B

是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限.

(1)求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；

(2)若点()

Q x y是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛

物线C的三条切线

123

l l l

、、，若

l l

与、

l l

与、

l l

与分别相交于D、E、H，设,

ABQ DEH

??的面积依次为,S

ABQ DEH

，记=

ABQ

DEH

λ?

，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

解：(1)24

C x y

：；()1,2A；()1,2-

B；

(2)2

y x，∴

y x

∴

l：1

y x

=-；

l：1

y x

=--；

l：2

y x x x

∴()1

,0-

D，00

(,)

x x

，00

(,)

x x

∴2

EH x

=+；

124

D l

x x

∴

ABQ Q AB

S AB d

??=

DEH D l

EH d

??=

∴=

=2S ABQ DEH

S λ??

17.已知ABC ?的三个顶点都在椭圆2

22 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）

．（1）若点C B ,关于原点对称，且直线AC AB ,的斜率乘积为4

，求椭圆方程；（2）若ABC ?是以A 为直角顶点的直角三角形，该三角形的面积的最大值为278

，求实数a 的值．

解：（1）设()00,y x B ,则()00,y x C --

411111220

00000-=-=--=---?-=?a x y x y x y K K AC

所以椭圆方程为14

=+y x （2）显然直线AB 斜率存在。

设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k

=-+，

由222

11y kx x y a =+???+=??，得 2222(1)20a k x a kx ++=，解得222

21B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得222

C a k x a k =+，故22

222

222221111a k a k AB k AC a k a k k

=?+=?+++，，所以(

)

(

)

442

2222

2242

122(1)121(1)()1

ABC a k a k k k S AB AC a k a k a k a k ?++=?==+++++，令12t k k =+≥，则43222

22(1)1

ABC a a S a a a t t

?=--+

≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立），由3

2278

1a a =-得2(3)(839)0a a a ---= 解得3a =，或329716a ±=（因为329716

a +=时，2

12a t a -=<，故舍去），所以3a =。

18.椭圆C :22221x y a b +=,()0a b >>的离心率3

e =,3a b +=.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图, A ,B ,D 是椭圆C 的顶点, P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m ,证明2m k -为定值.

解：（Ⅰ）解:由32c a =e=得222

2c a b a a -=

22314b a =-= 所以2a b =再由3a b +=得2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=

（Ⅱ）因为()0,2B ，P 不为椭圆顶点，则BP 方程为()2-=x k y ??

? ??±≠≠210k k 且①

将①代入22

14x y +=,解得222824(,)4141

k k P k k --++ 又直线AD 的方程为1

y x =

+ ② ①与②联立解得424(

,)2121

k k

M k k +-- 由(0,1)D ，22

2824(,)4141k k P k k --++，(,0)N x 三点共线可角得42

(,0)21

k N k -- 所以MN 的分斜率为214k m +=

,则2m k -=

k k +-12= (定值) 19. 已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

2，以椭圆上任一点与左，右焦点

21F F ，为顶点的三角形的周长为)12(4+．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线1l 过原点O ，直线2l 与直线1l 相交于点Q 1=OQ ，且2l ⊥1l ，直线2l 与椭圆交于B A ，两点，问是否存在这样的直线2l ，使1-=?成立．若存在，求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由题意，得)124(22+=+c a ，

=a c ， ∴2222===b c a ，，．

∴椭圆的标准方程为14

2=+y x ．（Ⅱ）法1：假设存在直线2l ，使1-=?BQ AQ 成立．设)()()(2211n m Q y x B y x A ，，，，，，且122=+n m ，

则直线1l 的方程为0=-my nx ，直线2l 的方程为1=+ny mx ．

（1）当0=n 时，此时直线2l 的方程为1±=x ，可得)2

(1，A ，，，)214(1-B 或)214

1(，

-A ，，，

141(--B 代入1-≠?BQ AQ ，不符题意；（2）当0≠n 时，将直线2l 的方程1=+ny mx 与椭圆方程14

2=+

y x 联立，又122=+n m ，得 0824)(12

22=-+-+n mx x m ．

∴2

2114m m

x x +=+，2221182m n x x +-=．

又∵ 1-=?BQ AQ ，

∴)()(221212121y y n x x m y y x x +++=++．又，，112211=+=+ny mx ny mx ∴ 2)()(2121=+++y y n x x m ． ∴02121=+y y x x ． …… 9分

又∵ y 1y 2＝22121221)

(111n

x x m x x m n mx n mx +-+=-?-， ∴ 0)(121212

212=+-++x x m x x m x x n ．

∴ 0)(12121=+-+x x m x x ．

∴ 052=-n ．

∴ ，0=n 这与0≠n 矛盾．

综上可知，不存在这样的直线2l ，使1-=?BQ AQ 成立．法2 ：假设存在直线2l ，使1-=?BQ AQ 成立．

（1）当直线2l 的斜率不存在时，此时直线2l 的方程为1±=x ，可得)2

(1，

A ，

，，

)214(1-B 或)2

1(，-A ，，，)2141(--B 代入1-≠?BQ AQ ，不符题意；

（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 方程为m kx y +=．

联立2218

4y kx m,x y =+??

?+=?? 得0824)2(1222=-+++m kmx x k ．

设，，，，)()(2211y x B y x A

21214k

km x x +-=+∴ ，22212182k m x x +-= （*） 1)()(2

-=?+?-?-=-?-=?OB OA OQ OB OQ OA OQ OB OQ OA OQ BQ AQ ， 0=?∴OB OA ，即02121=+y y x x ．

即0))((2121=+++m kx m kx x x ．将（*）代入，化简可得88322+=k m ．

又11

2=+=

k m

d ，即122+=k m ， 2

1k ∴=-不成立．

综上可知，不存在这样的直线2l ，使1-=?BQ AQ 成立．

20.如图椭圆 22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为 2

，x 轴被曲线

22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的短轴长, 2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O

的直线 l 与2C 相交于点B A ,，直线MB MA ,分别与 1C 相交于点E D ,.

(I)求1C 、 2C 的方程; (Ⅱ)求证：MB MA ⊥;

(Ⅲ)记MAB ?，MDE ? 的面积分别为 12,S S ，若

S S λ=，求 λ的最小值．解:（1）

2222c a b a =∴= 又22b b =，得1b =22

221:1,:12

x C y x C y ∴=-+=

（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22

101y kx

x kx y x =??--=?=-? 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ?=+?+=++++=0

MA MB ∴⊥ （3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-

112

1122

110,(,1)11

1x k y k x x A k k y y k y x ==-??=??∴-???=-=-=-????解得或，同理可得222(,1)B k k - 22

11212111122

S MA MB k k k k =

=++ 121

1122222

1112141120421,(,)1121221

1212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ?

==-??+=?-??∴???=-++-+=???=??+?

解得或同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222

21222

16111122(12)(12)

k k S MD ME k k k k ∴==++++ 2122

2112121

52(

)(12)(12)9

1616

k S k k k S λ++++===≥

所以λ的最小值为

,此时1=k 或1-. 21.设点P 为圆221:2C x y +=上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足

2MQ PQ =。

（1）求点M 的轨迹2C 的方程；

（2）过直线2x =上的点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为B A ,，若直线AB 与（1）中的曲线2C 交与D C ,两点，求CD

的取值范围。