高考导数大题汇编理科答案

高考导数大题汇编理科

答案

YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

一、解答题

1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'

112()e ln e e e .x

x x x a b b f x a x x x x

--=+-+ 由题意可得'

(1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x

f x x x -=+从而()1f x >等价于2

ln e .e

x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1

(0,)e

x ∈时，'

()0g x <; 当1(,)e

x ∈+∞时，'

()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e

+∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e

g =-. 设函数2

()e

e

x

h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，'

()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e

h =-

. 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.

2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解.

解析（1）2/

2

2

2(2)24(1)

()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/

()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/

()0f x =

得1

x =

，（2x =-舍去）．

当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/

()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x

在区间(0,

上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/

()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x

的极值点只可能是1

x =

2x =-，且由定义可知，1

x a >-

且2x ≠-

，所以1a ->-

且2-≠-，解得1

2

a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而

令2a -

01x <<．

记(g x

（Ⅰ）当1

- 因此，g

1()(

f x f +（Ⅱ）当0

因此，(g x

1()(

f x f + 综上所

3. (1)证明函数．

(2)解：由条

令t =

因为

当且

因此

(3)解：令函

当x ≥1时，

因此g (x )在

由于存在x 0故1

e+e

2

--令函数()

h x

当(0,e 1)x ∈-时，h ′(x )<0，故h (x )是(0,e 1)-上的单调减函数．

当x ∈(e – 1，+∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e – 1，+∞)上的单调增函数． 所以h (x )在(0，+∞)上的最小值是(e 1)h -．

注意到h (1) = h (e) = 0，所以当(1,e 1)x ∈- ?(0,e 1)-时，(e 1)h -)≤h (x )

①当a ∈1

e e ,e 2-??

+

???

?(1，e)时，h (a )<0，即1(e 1)ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当a = e 时，1

e 1e

a a --<；

③当(e,)(e 1,)a ∈+∞?-+∞时，h (a )>h (e) = 0，即1(e 1)ln a a ->-，故1

e 1e a a -->．

综上所述，当a ∈1e e ,e 2-??

+

???

时，1e 1e a a --<，当a = e 时，1e 1e a a --=，当(e,)a ∈+∞ 时，1

e 1e

a a -->．

4. 解题指南：（I ）利用'()f x 为偶函数和()y

f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -建立关于,a b 的方程

求解. （II ）利用基本不等式求解.(III)需对c 进行分类，讨论方程'()0f x =是否有实根，从而确定极值.

解析：（I ）对()f x 求导得'

22()22x

x

f x ae

be

c -=+-，由()f x '为偶函数，知'

()'()f x f x -=，

即222()()0x x a b e e --+=，因220x x e e -+>，所以a b =. 又'(0)224f a b c c =+-=-，故1,1a b ==. （II ）当3c =时，22()3x

x

f x e e

x -=--，那么

故()f x 在R 上为增函数.

(III)由（Ⅰ）知'22()22x x f x e e c -=+-，而2222222224,x x x x e e e e --+≥?=当0x =时等号成立. 下面分三种情况进行讨论.

当4c <时，对任意22,()220x x x R f x e e c -'∈=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意220,()220x x x f x e e c -'≠=+->，此时()f x 无极值；

当4c >时，令2x e t =，注意到方程2

20t c t

+

-=有两根2

1,2160c c t ±-=

>， 即'()0f x =有两根112211

ln ln 22

x t x t ==或.

当12x x x <<时，'()0f x <；又当2x x >时，'()0f x >，从而'()f x 在2x x =处取得极小值；

综上，若'()f x 有极值，则c 取值范围为()4,+∞.

5. 解题指南（1）先求导数，结合解不等式求解函数的单调区间；（2）利用单调性与导数

的关系求解字母的取值范围.

解析⑴当b

()(2f x '=令()0

f x '=当2x <-或

减；

在(2,0)-上

(0)4f =.

⑵因为

()(2f x '=得253

(

x

b -≤6. 解析：（

因为

当a

(1)f ）处的

（Ⅱ

令

由 当1

x x < 当

当

由

∴()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞．

（2）∵(0)10f a =-<，2(ln )(ln )0f a a a =>， ∴()f x 在单调递增区间(,)-∞+∞上仅有一个零点．

（3）由题意知'()0P f x =，又仅'(1)0f -=，得1P x =-，2P y a =-e

，

由题意知'()OP f m k =，得22(1)m m a +=-e e

，

要证1m ≤

，即要证3

2(1)m a +≤-e ，

只需证32(1)(1)m m m +≤+e ，即要证1m m +≤e ，① 设()1m g m m =+-e ，则'()1m g m =-e ， 又'()00g m m ?==，

∴()g m 在(,0)-∞上递增，在(0,)∞+上递减。 ∴()(0)0g m g ≤=，即不等式①成立，得证． 8. 解：对()f x 求导，得2()(4)e x

f x x x '=+，

由()0f x '<，解得40x -<<，所以()f x 的单调递减区间为(4,0)-。 9. （1）解：由()f x =n

nx x -，可得()1

1

()1n n f x n nx n x

--'=-=-，其中n *

∈N

，且2n ≥.

下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时.

令()0f x '=，解得1x =，或1x =-.

当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 在(),1-∞-，1,+∞上单调递减，在1,1-内单调递增。

②当n 为偶数时.

当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减. 所以，()f x 在

(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.

（2）证明：方程为

y =

()(

F x f = 由于

0()0

F x '=()00,x 内单

对于任意的

（3）证明：

2a

x n n

'=

-又由（2）知

类似地，设

()(

f x h -设方程(h

x

()

1h x a

'=由此可得2

x 因为2n ≥，

则当12

x x ≤同理可证当

所以，2x -

10. 解：（

()0f x '=，

令()2

g x =①0a =时，

②0a ≠时，令22

8(1)980a a a a a ?=--=-≤，解得8

09

a <≤时，()f x 单调递增，无极值点； ③0a <时，0?>，抛物线()g x 的开口向下，对称轴为1

4

x =-

，(0)10,(1)10g a g =->-=>，2210ax ax a ++-=在(1,)x ∈-+∞上有一个变号根，即()f x 有一个极值点；

④89

a >时，0?>，抛物线()g x 的开口向上，对称轴为14x =-，(1)10g -=>，2

210

ax ax a ++-=在1(1,)4

x ∈--与1

(,)4x ∈-+∞上各有一个变号根，即()f x 有两个极值点.

综上：0a <时，()f x 有一个极值点；809a ≤≤时，()f x 无极值点；8

9

a >时，()f x 有两个极值点.

（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，8

09

a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，所以0x ≥时，()(0)0

f x f >=符合题意；

②0a <时，令[

)1()ln(1),0,,()1011

x h x x x x h x x x -'=+-∈+∞=

-=<++，所以()h x 单调递减，()(0)0h x h ≤=，所以ln(1)x x +≤，因为()f x 在0x ≥时先增后减，

222()ln(1)()()(1)f x x a x x x a x x ax a x =++-<+-=+-.

当x →+∞时，()f x →-∞,不满足，0,()0x f x ?>≥，舍去； ③

819a <≤时，由（Ⅰ）知，对称轴1

4

x =-,0?>，(0)10g a =-≥，所以()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，即0x ≥时，()(0)0f x f >=符合题意； ④1a >时，由（Ⅰ）知，对称轴1

4

x =-

,0?>，(0)10g a =-<，所以存在00x >,使0(0,)x x ∈()0g x <,即()0f x '<，()f x 单调递减，故0(0,)x x ∈0x ≥时，()(0)0f x f <=不符合0,()0x f x ?>≥，舍去.

综上：所求a 的取值范围是

[]0,1.

11. 解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞， 则有1()111

x

F x x x -'=

-=

++. 当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<， 所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，

故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <. （2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，

则有()G x '当0k

≤时，

故对任意正

当01k <<取01x k

=

-从而()G x 在综上，当k （3）当k

>

|()(

f x

g -令()M x =

则有()

M x '

故当x ∈()M x

在故()M x >当1k

<时，

此时|()

f x 令()l

N x =则有()

N x '当x ∈()N x 在[0,

故()N x >

记0x

中的较小者为1x ，

则当1(0,)x x ∈时，恒有2

|()()|f x g x x ->. 故满足题意的t 不存在 当1k

=时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+.

令2

()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，

则有212()1211

x x H x x x x --'=--=++. 当0x >时，()0H x '<,

所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=. 故当0x >时，恒有2

|()()|f x g x x -<. 此时，任意正实数t 均满足题意. 综上，1k

=.

解法二：（1）（2）同解法一. （3）当1k

>时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ?∈+∞>>，

故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-. 令2

(1)k x x ->，解得01x k <<-. 从而得到，当1k

>时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->.

故满足题意的t 不存在。 当1k

<时，取11

2

k k +=

，从而11k k <<. 由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=， 此时11|()()|()()()2

k

f x

g x f x g x k k x x --=->-=， 令

212k x x ->，解得102k x -<<

，此时2

()()f x g x x ->. 记0x 与12

k -的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2

|()()|f x g x x ->.

故满足题意的t 不存在.

当1k

=时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，

令()M x =

则有()

M x '当0x >时，故()M x <

故当0x >时

此时，任意综上，k

=

12. 证明：其中tan ρ

令'

()f x =0

对k ∈N ，若

若（2k+1）

因此，在区

当x= m π-

此时，

(x

f 是常数，故

（2）由（

1

n πρ-<

恒成立（因设g （t ）=

当0

g

t （）<0，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递减； 当t>1时，'

g

t （）>0，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递增. 从而当t=1时，函数g （t ）取得最小值g （1）=e

因此，要是（?

()1g e <=

，即只需a >

. 而当

时，tan ρ=

1a

>02πρ<<.于是

23

π

πρ-<

时，232n ππρπρ-≥-≥>.因此对一切 *

n N ∈

,1n ax =≠，所以g （n ax

）(1)g e a >==.故（?）式亦恒成立. 综上所述，若a

≥

*

n N ∈，()||n n x x f <恒成立.

13. 解：（Ⅰ）2

()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足

00()0,()0f x f x '==，也就是2

030x a +=且3

00104x ax ++=，解得012

x =，3

4a =-，因此，当

3

4

a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；

（Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5

(1)04

f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h f

g g ===，故1x =是()

h x 的零点；

当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2

()3f x x a '=+，因为2

033x <<，所以令()0f x '=可得2

3a x =-，那么

（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15

(0),(1)44

f f a =

=+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；

（ii ）当30a -<<时，()0f x '<

（0x <<

）且()0f x '>

1x <<

），所以x =

小值点，且1

4

f =. 显然，若

若f

若f ()y f x =在

综上，当a

5

4

a -<<-14. 解： （1）()

f x 令()'

≥

g x 当14

?=-当1

0<<

a 所以()

'

g x 0≤≤

x 综上：当a

当1

0<<

a 1(

2

-由（1）得

()'12

=-f ()0'=-

f x 所以

()

f x 所以满足

f

()()22000002ln 220=-++--+=f x x a x x ax a a ，将①带入化简得：

当00(1)2=

>x a x 时，此时①变形为22ln 230--=a a ，在1,12??

???

上有解。令()()222

22ln 23,,'2-=--=-=

a h a a a h a a a

所以()h

a 在()0,1上单调递减。11302

??=-< ???

h 不满足。 当2

002=-a x x 时，此时①变形为2

022ln 60--=x x 在()1,2上有解。

不妨设()22

00000000

422()22ln 6,'4-=--=-=x h x x x h x x x x 所以0()h x 在()1,2上单调递增。()(1)4,222ln 20=-=->h h 。所以2

0022ln 60--=x x 在()1,2上有

解。

所以结论得证。

15. 解析（Ⅰ）1()ln

1x f x x +=-的定义域是(1,1)-，2

2

()1f x x

'=-，(0)2f '=，(0)0f =，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；

（Ⅱ）当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+，即不等式3

()2()03x f x x -+>对01x <<成立，设3

1()ln

2()13x x F x x x +=-+-，即3

()ln(1)ln(1)2()3x F x x x x =+---+，则4

2

2()1x

F x x '=-，当(0,1)x ∈时，()0F x '>，故3

1()ln

2()13

x x

F x x x +=-+-在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，都有3

()2()3

x f x x >+成立；

（Ⅲ）(0,1)x ∈，使3

()()3x f x k x >+

成立，等价于3

1()ln ()013

x x F x k x x +=-+>-. 4222

2(1)2()(1)11k x F x k x x x

-+'=-+=--，(0,1)x ∈，则24

10,10x x ->-<. 当[0,2]k ∈时，()0F x '>，函数()F x 在区间(0,1)上为增函数，()(0)0F x F >=，符合题意； 当2k

>时，令()0F x '=解得402k x k -=

，易知2

01k k

-<<，即001x <<.那么(),()F x F x '在区间(0,1)上的取值情况如下：

所以，(F x

()(

F x F <综上可知：

考点分类第

16. 解析（

若0m ≥，

'()0f x >．

若0m <，

'()0f x >．

所以，(f x

（Ⅱ）由（

得最小值．

(1)(

(1)f f f -??

--

?0t <时，g

(1)0g =，

()0

g m -≤时，(g m

-