益阳市2017年数学中考试卷及答案

益阳市2017年普通初中毕业学业考试试卷

数 学

注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；

2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；

3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．

试 题 卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．下列四个实数中，最小的实数是 A ．2-

B ．2

C ．4-

D ．1-

2．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是

A ．

B ．

C ．

D ． 3．下列性质中菱形不一定具有的性质是 A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直

C ．对角线相等

D ．既是轴对称图形又是中心对称图形

4．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m ，将0.000 000 04用科学计数法表示为 A ．8410?

B ．8410-?

C ．80.410?

D ．8410-?

5

．下列各式化简后的结果为的是 A

B

C

D

6．关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为11x =，21x =-，那么下列结论一定成立的是

A ．240b ac ->

B ．240b ac -=

C ．240b ac -<

D ．240b ac -≤

7．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）

A ．

sin h α

B ．

cos h

α

第2题图

23

x x ≤??

>-?23

x x ≥??

<-?23

x x ≤??

<-?23

x x ≥??

>-?α

C ．

tan h

α

D ．cos h α?

8．如图，空心卷筒纸的高度为12cm ，外径（直径）为10cm ，内径为4cm ，在比例尺为1:4的三视图中，其主视图的面积是 A ．

214

π

cm 2 B ．

2116

π

cm 2

C ．30cm 2

D ．7.5cm 2

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡．．．

中对应题号后的横线上）

9．如图，AB ∥CD ，CB 平分∠ACD ．若∠BCD = 28°,则∠A 的度数为 ．

10．如图，△ABC 中，5AC =，12BC =，AB =13，CD 是AB 边上的中线．则CD = ． 11

有意义，则x 的取值范围是 ． 12．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古

诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为 ． 13．如图，多边形ABCDE 的每个内角都相等，则每个内角的度数为 ．

14．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC = 36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE =a ，

AE =b ，则用含a 、b 的代数式表示△ABC 的周长为 ．

三、解答题（本大题8个小题，共80分)

15．（本小题满分8分）

计算：0

242cos60(3)--?+--

16．（本小题满分8分）

先化简，再求值：22211

11

x x x x x ++-+

+-，其中2x =-． 17．（本小题满分8分） 第8题图

第10题图

第

第9题图

第13题图

第14题图

如图，四边形ABCD 为平行四边形，F 是CD 的中点， 连接AF 并延长与BC 的延长线交于点E ． 求证：BC = CE ．

18．（本小题满分10分）

垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．

运动员甲测试成绩表

（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；

（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认

为选谁更合适?为什么? (参考数据：三人成绩的方差分别为20.8S =甲、

20.4S =乙、20.8S =丙)

（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，

球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）

19．（本小题满分10分）

我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮＋住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元． （1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？

（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售

和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利

润？

20．（本小题满分10分）

如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上， 且∠BCD =∠A ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为3，CD =4，求BD 的长．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(,)m n ，求直线MN 的表达式（用

含m 、n 的代数式表示）；

（3）在抛物线2

y x bx c =++的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例

函数2y x =-的图象上，直线AB 经过点P (12，1

2

)，求此抛物线的表达式．

22．（本小题满分14分）

如图1，直线1y x =+与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，M 、N 关于x 轴对称，连接AN 、BN ． （1）①求A 、B 的坐标；

②求证：∠ANM =∠BNM ；

（2）如图2，将题中直线1y x =+变为(0)y kx b b =+>，抛物线22y x =变为

2(0)y ax a =>，其他条件不变，那么∠ANM =∠BNM 是否仍然成立？请说明

理由．

第20题图

第22题图

2

第22题图1

益阳市2017年普通初中毕业学业考试

参考答案及评分标准

数 学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.

9．124°； 10．6.5； 11． 1.5x ≤； 12．48； 13．108°； 14．23a b +． 三、解答题（本大题共8小题，第15、16、17小题每小题8分，第18、19、20小题每小题

10分，第21小题12分，第22小题14分，共80分）．

15．解：原式=1

42192

-?+- ······················································ 4分

=5-． ··································································· 8分

16．解：原式2(1)(1)(1)

11x x x x x ++-=+

+- ··········································· 4分 1122x x x =+++=+． ··············································· 6分 当2x =-时，原式=2-． ············································ 8分

17．证明：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD =BC ，A D ∥BC ． ········································· 2分

∴∠DAF =∠E ，∠ADF =∠ECF ，

又∵F 是CD 的中点．即DF =CF ·························· 4分 ∴ADF ?≌ECF ?． ··········································· 6分

∴AD =CE ．∴BC =CE ． ······································· 8分

18．解:（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分 ················ 3分

第17题解

第20

题（2）经计算=7x 甲（分），=7x 乙（分），=6.3x 丙（分）

∵=x x 甲乙>x 丙，2S 甲>2S 乙

∴选乙运动员更合适． ········································· 7分 （3）

21

84

p =

= ····························································· 10分

19．解：（1）设去年餐饮利润x 万元，住宿利润y 万元， 依题意得：2080%21x y x y +=???=+?， 解得115x y =??=?

．

答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元． ·················· 6分

（2）设今年土特产利润m 万元，

依题意得：1616(110%)201110m +?++--≥ ，解之得，7.4m ≥，

答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润． ················· 10分 20．解：（1）如图，连接OC ．∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵OA =OC , ∠BCD=∠A ∴∠ACO=∠A=∠BCD

∴∠BCD +∠OCB=90°,即∠OCD=90°

∴CD 是⊙O 的切线． ··············································· 5分

（2）由（1）及已知有∠OCD=90°，OC =3，CD =4,

据勾股定理得：OD =5

∴BD=OD -OB=5-3 = 2． ········································ 10分 21．解：（1）不一定

设这一对“互换点”的坐标为(,)a b 和(,)b a ．

①当0ab =时，它们不可能在反比例函数的图象上， ②当0ab ≠时，由k b a =

可得k

a b

=，即(,)a b 和(,)b a 都在反比例函数k

y x

=

(0)k ≠的图象上． ··································· 3分 （2）由M （m ，n ）得N （n ，m ）

，设直线MN 的表达式为y cx d =+ （0c ≠）． 则有mc d n nc d m +=??+=? 解得1

c d m n

=-??=+?，

∴直线MN 的表达式为y x m n =-++． ························· 7分

（3）设点(,)A p q ， 则2

q p

=-

∵直线AB 经过点P (12，12

)，由（2）得11

22p q =-++

∴1p q +=，∴2

1p p

-

= 解并检验得：2p =或1p =-，∴1q =-或2q =

∴这一对“互换点”是（2，1-）和（1-，2） ··············· 10分 将这一对“互换点”代入2y x bx c =++得，

∴12421b c b c -+=??++=-?

解得2

1b c =-??=-?，∴221y x x =--． ·········· 12分

22． 解：（1）①由已知得221x x =+，解得：1

2x =-或1x =

当12x =-时，1

2

y =；当1x =时，2y =

∴A 、B 两点的坐标分别为（12-，1

2

），（ 1，2）． ···· 3分

②如图，过A 作A C ⊥y 轴于C ，过B 作BD ⊥y 轴于D ．

由①及已知有A （12-，1

2

），

B （ 1，2），OM =ON =1 ∴1

1

2tan 13

12

AC ANM CN ∠===+，

11

tan 123

BD BNM DN ∠=

==+ ∴tan ANM ∠=tan BNM ∠，

∴ANM ∠=BNM ∠． ········································· 8分

（2）ANM ∠=BNM ∠成立， ··········································· 9分 ①当0k =，△ABN 是关于y 轴的轴对称图形， ∴ANM ∠=BNM ∠． ····································· 10分

②当0k ≠，根据题意得：OM =ON =b ，设211(,)A x ax 、B 222(,)x ax ．

如图，过A 作A E ⊥y 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ． 由题意可知：2ax kx b =+，即20ax kx b --=

∴1212,k b

x x x x a a +==-

∵22

2121

b ax b ax NF NE BF AE x x ++-=--

2211222112

bx ax x bx ax x x x +++=

=

121212

()()

x x ax x b x x ++

[()]

0()k b

a b a a a

?-+==- ∴

NF NE

BF AE

=

, ∴R t △AEN ∽R t △BFN ,∴ANM ∠=BNM ∠．

…………………………………14分