2014年高考数学试卷,辽宁高考理科数学卷
【全国高考数学试卷】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（ ）
A ．{|0}x x ≥
B ．{|1}x x ≤
C ．{|01}x x ≤≤
D ．{|01}x x <<
2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
3.已知132a -=，21211log ,log 33
b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α?，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ?∧?
D ．()p q ∨?
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．82π-
B ．8π-
C ．82π
- D ．84π
-
8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d >
9.将函数3sin(2)3y x π=+
的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212
ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212
ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-
上单调递减 D ．在区间[,]63
ππ
-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相
切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．43
11.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,3]--
B ．9[6,]8
-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：
①(0)(1)0f f ==；
②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2
f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．12π
D ．18 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .
14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2
y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .
15.已知椭圆C ：
22194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .
16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=，1cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值；
（2）cos()B C -的值.
18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .
19. （本小题满分12分）
如图，ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）求二面角E BF C --的正弦值. 20. （本小题满分12分）
圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切
点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P 3（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
21. （本小题满分12分） 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3
f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x x π=--+-
. 证明：（1）存在唯一0(0,
)2x π∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1(,)2x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.
（1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.
（1）求M ；
（2）当x M
N ∈时，证明：221()[()]4
x f x x f x +≤.
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