课时1导数的概念及运算

课时1 导数的概念及运算

课时目标：

了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，2

y x =，

1

y x

=

的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 知识梳理：

1.导数与导函数的概念

(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy

Δx ＝

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )

在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作 .

(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝ . 3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝ f (x )＝x α(α为常数)

f ′(x )＝ f (x )＝sin x f ′(x )＝ f (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1)

f ′(x )＝ f (x )＝ln x f ′(x )＝ f (x )＝lo

g a x (a >0，a ≠1)

f ′(x )＝

4.导数的运算法则

若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝

(2)[f (x )·g (x )]′＝

(3)[f (x )g (x )]′＝ 5.复合函数的导数

若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 基础自测：

1.(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ .

2.(教材改编)①(cos x )′＝sin x ；②若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；③(－1x )′＝12x x .其中正确的个

数是 .

3.(教材改编)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为 . 典型例题：

题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数.

(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x

e x ；

(4)y ＝sin(2x ＋π

3)；(5)y ＝ln(2x －5).

小结：

例2 (1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1

x 2

的值为 .

(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 . 小结：

课堂训练：

(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝.

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝.

(3)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为.

课堂小结：

布置作业：

课时2 导数的运算课时目标：

掌握导数运算的相关方法

基础自测：

1、(教材改编)若过曲线y＝1

x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标

为.

2、(教材改编)函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有条.

典型例题

命题点1求参数的值

例1(1)(2016·徐州模拟)函数y＝e x的切线方程为y＝mx，则m＝.

(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f(x)＝x－1＋1

e x，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则实数k＝.

命题点2导数与函数图象的关系

例2如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂

线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为

下图中的.

小结：

例3 若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.

小结：

课堂训练：

(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为 .

(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π

2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数

a ＝ .

课堂小结：

布置作业：

课时3 用导数研究函数的单调性

课时目标：掌握利用导数判断函数单调性及求单调区间的方法.

知识梳理： 函数的单调性

在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x ) 0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x ) 0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减.

基础自测：

1.(教材改编)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为______.

2.(教材改编)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为____________.

3.(教材改编)函数y ＝3x 3－9x ＋5的极大值为________.

典型例题：

题型一 不含参数的函数的单调性

例1 (1)函数y ＝1

2

x 2－ln x 的单调递减区间为______.

(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________________. 小结：

题型二 含参数的函数的单调性

例2 (2016·江苏新海中学月考改编)已知函数f (x )＝2x 3＋3

2tx 2－3t 2x ＋t －12(t ≠0)，求f (x )的单

调区间.

小结：

课堂训练：

(1) 函数y ＝4x 2＋1

x 的单调增区间为____________.

（2）已知函数f (x )＝x ln x ，则下面关于函数f (x )单调性的判断正确的是________.

①在(0，＋∞)上递增； ②在(0，＋∞)上递减； ③在(0，1

e )上递增；

④在(0，1

e

)上递减.

(3)讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性.

课堂小结：

布置作业：

课时4用导数研究函数的单调性（2）

课时目标：掌握函数单调性及单调区间的求法. 典型例题：

例1 (2016·南通模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1

2ax 2＋2x (a ≠0).

(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；

(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围.

变式训练：

1.本题(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围.

2.本题(2)中，若h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围. 小结：

例2已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R ).

(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1

e x ＋1垂直，求a 的值；

(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围. 小结：

例3已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.

(1)确定a 与b 的关系；

(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.

小结：

课堂训练：

1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________________.

2.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为______________.

3.(2016·苏州模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1，3)，则b ＋c ＝________.

4.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________.

课堂小结：

布置作业：

课时5 函数的极值

课时目标：

掌握函数求极值、最值的方法. 知识梳理： 函数的极值

(1)求函数y ＝f (x )的极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②求方程的根；

③考察f′(x)在方程的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.

基础自测：

1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝________.

2.设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________.

3.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________.

典型例题：

命题点1根据函数图象判断极值

例1(1)(2016·淮安模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如

图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是________.

(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________.