2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题(解析版)
2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题
一、单选题
1
．已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则(
)R
A B =（ ）
A ．1,2
B ．0,1
C ．
0,
D ．(),2-∞
【答案】C
【解析】先求定义域得集合A ，再根据补集与并集定义求结果. 【详解】
{
{}10(,1]A x y x x ===-≥=-∞
所以
(
)R
A B ={}(1,)
02(0,)x x +∞<<=+∞
故选：C 【点睛】
本题考查补集与并集运算、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】根据充分必要条件的定义即可判断. 【详解】
设命题p ：直线l 与平面α内无数条直线垂直， 命题q ：直线l 与平面α垂直， 则p
q ，但q p ?，所以p 是q 的必要不充分条件.
故选：B 【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及线面垂直的定义和性质，属于中档题.
3．若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤??
-≥-??-≤≤?
，则2z x y =-的最大值为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】C
【解析】先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.
【详解】
14
2201
y x x y y ==?????
--==?? 先作可行域，如图，则直线2z x y =-过点(4,1)A 时z 取最大值，为7 故选：C
【点睛】
本题考查利用线性规划求最值，烤箱数形结合思想方法，属基础题.
4．已知()1,2a =，()1,7b =-，2c a b =+，则c 在a 方向上的投影为（ ） A ．35
B ．32
C 32
D ．
35
5
【答案】A
【解析】由向量的坐标表示可得(3,3)c =-，利用数量积公式求向量夹角余弦值，进而可求c 在a 方向上的投影. 【详解】
由题意知：2(3,3)c a b =+=-， ∴10
cos ,||||
a c a c a
b ?<>=
=-，
故c 在a 方向上的投影：35
||cos ,c a c <>=-， 故选：A 【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示，由向量线性关系求向量的坐标，利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角，进而求向量的投影.
5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，
2c b =，则cos B 的值为（ ）
A ．
2
3
B ．
23
C ．
34
D ．
78
【答案】D
【解析】先化切为弦，再根据两角和正弦公式以及正弦定理得2b a =，最后根据余弦定理求结果. 【详解】
()()2sin tan 12cos 2sin cos sin 12cos C A C C A A C =-∴=- 2sin()sin 2sin sin 2C A A B A b a ∴+=∴=∴=
2222222
447
cos 288
a c
b b b b B a
c b +-+-=== 故选：D 【点睛】
本题考查两角和正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．函数()2
x x
e e
f x x
--=的图象是下列图中的（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】先确定函数奇偶性，舍去A,B ；再根据函数值确定选择项. 【详解】
()()220,()x x x x
e e e e
f x x f x f x x x ----=∴≠-==-∴()2
x x e e f x x --=为奇函数，舍去
A,B ；
因为当0x >时，()2
0x x
e e
f x x --=
>，所以舍去D, 故选：C 【点睛】
本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=?- D ．6236n n S n =?--
【答案】D
【解析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】
因为23n n S a n =-①，
当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，
①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，
所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，
所以1
362n n a -+=?，所以1623n n a -=?-，
所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，
()11263623612
n n n S n n ?-=?
-=?---，故选项C 不正确，选项D 正确.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
8．已知25cos2cos αα+=，()4
cos 25αβ+=，0,2πα??∈ ???，3,22πβπ??∈ ???
，则cos β的值为（ ） A ．4
5
-
B ．
44125
C ．44125
-
D ．
45
【答案】B
【解析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】
2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或3
5
因为0,
2πα??
∈ ??
?
，所以3cos 5
α=
22443247
sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==??==-=-
,42ππα??
∴∈ ???
()()43
cos 2,2(2,3)sin 255
αβαβππαβ+=+∈∴+=
cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++
4732444
525525125
=-?+?=
故选：B 【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
9．已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m R ?
?-∈ ???作抛物线的切线PA 、PB ，切点
分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（ ）
A ．3
B ．
3
2
C D 【答案】B
【解析】由题意得到切线PA 、PB 的方程，联立求得P 点坐标，结合已知
()3,4P m m R ?
?-∈ ???，即可的1294
x x =-，设直线AB 为y kx b =+联立抛物线方程可求
3
4
b =
，即可求A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值. 【详解】
设22
1212(,),(,)33
x x A x B x ，由抛物线2:3C x y =知：23x y '=
， ∴切线PA 、PB 分别为：21112()33x x y x x -=-，222
22()33
x x y x x -=-，
联立PA 、PB 的方程，可得：1212(
,)23
x x x x P +，而()3,4P m m R ?
?-∈ ???，
∴129
4
x x =-
，若设直线AB 为y kx b =+，联立抛物线方程得：2330x kx b --=， ∴12934
x x b =-=-
，即34b =，
而123x x k +=， ∴2121233()322
y y k x x k +=++=+，故当0k =时12y y +有最小值32，
故选：B 【点睛】
本题考查了抛物线，利用准线上的动点与抛物线的切线的关系求得切点横坐标的数量关系，由切点到横轴的距离为切点纵坐标之和，结合已知方程所得函数式求最值. 10．已知函数()()11f x x a x a R x a x
=++-+∈-，()()()2
0g x p f x q pq =->????，给出下列四个命题：
①函数()f x 图象关于点()0,0对称；
②对于任意a R ∈，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数； ③对于任意a R ∈，函数()f x 存在最小值；
④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--， 其中正确命题为（ ） A ．②③ B ．②④
C ．②③④
D ．①③④
【答案】A
【解析】举例说明①不成立；根据偶函数定义证明②成立；根据绝对值定义说明③成立；
举例说明④不成立. 【详解】
当0a ≠时，f a 没有意义，即不满足()()0f a f a +-=，故①错误；
对于任意a R ∈，存在实数2a
m =
，()()h x f x m =+=11222
2
a a x x a a x x
+++-++-
此时函数定义域为{|}2
a
x x ≠±，
且
1111()2222()2222
a a a a x x x x h x a a a a x x x x x h -+
++++=-++++=-+-+=+-
即函数()f x m +为偶函数；故②正确； 对于任意a R ∈，函数()1111
||||||||
f x x a x x a x x a x x a x =++-+=++-+-- 当0a =时，(
)12(||)24||f x x x =+≥?（当且仅当||1x =时取等号），此时函数()f x 存在最小值；
当0a >时，()11,11,011,0x x a x a x x a f x a x a x a x x x a x x x a ?++-+>?-?
?
=++
<
?---+-
当0x a <<时，()1111()1()(2)x a x a x a f x a a a x a x x a x a a x a x
+--=+
+=++=+++---
14
(2a a a a ≥++=+，当且仅当2a x =时取等号，此时当2
a x =时，()f x 存在最小值()2
a
f 当x a >时，()()()2233
111111,2,20,()22()f x x x a f x f x x x a x x a x x a '''=+
+-+=--=++>--- 因此()'
f x 在(,)a +∞上单调递增
又()2
2111240,1210,12(1)()2
f a f a a a ?
?''+=--<+=--> ?+??+
因此存在唯一0(,)x a ∈+∞，使得0()0f x '=
即当0a x x <<时，()0f x '<；当0x x >时，()0f x '>； 因此当0x x =时，()f x 存在最小值0()f x
综上，当0,x x a >≠时，()f x 存在最小值0min{(),()}2
a f x f 因为()()f x f a x =-，所以()f x 关于2
a
x =对称，从而函数()f x 必存在最小值，即③正确；
当1a =时，()1f 没有意义，即关于x 的方程()0g x =的解集不可能为{}3,1,1,2--，故④错误； 故选：A 【点睛】
本题考查函数奇偶性、最值以及函数与方程，考查综合分析判断能力，属中档题.
二、双空题 11．不等式231
13
3x
x x -+??
> ???
的解集是___________；不等式()24log 2log x x -<的解集是___________.
【答案】(,1)(1,)-∞?+∞ (1,2)
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性及其性质求不等式解集即可. 【详解】 231
13
3x
x x -+??
> ???
有23133x x x -+->，所以231x x x -+>-，即2(1)0x ->，解得1x ≠； ()24log 2log x x -<有()1
222
log 2log x x -<，所以()2
2{020
x x x x >->->，解得12x <<； 故答案为：(,1)(1,)-∞?+∞；(1,2)； 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性，结合一元二次不等式的解法解不等式，属于基础题. 12．函数()()cos 06f x x πωω?
?
=+
> ??
?
在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小
正周期为___________；()
fπ=___________.
【答案】
4
3
π1
2
【解析】将
4
,0
9
π
??
- ?
??
代入解析式，即可得
4
2
962
k
πππ
ωπ
-+=-+，再结合
2
2
T
π
ππ
ω
<=<，即可求得ω的值，从而求出()
f x的解析式，即可得周期和()
fπ
的值.
【详解】
由图知
4
,0
9
π
??
- ?
??
在()cos6
??
=+
?
??
ω
f x
x
π
图象上，且为图象上升时与x轴的交点，
所以
4
2
962
k
πππ
ωπ
-+=-+，()
k Z
∈，解得：()
39
2
k
k Z
ω
-
=∈，
因为2
T
ππ
<<，所以
2
2
π
ππ
ω
<<，所以12
ω
<<，
令0
k=，得
3
2
ω=，所以
224
33
2
T
πππ
ω
===
，
所以()
3
cos
26
f x x
π
??
=+
?
??
，()
31
cos sin
2662
f
ππ
ππ
??
=+==
?
??
，
故答案为：
4
3
π
；
1
2
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数图象求解析式，考查了周期公式和诱导公式，属于中档题. 13．已知双曲线:
C()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为3P为双曲线上一点，12120
F PF
∠=，则双曲线的渐近线方程为___________；若双曲线C的实轴长为4，则12
F PF
△的面积为___________.
【答案】2
y x
=
8
3
3
【解析】双曲线的离心率为c e a ===，所以b a =方程；设点P 在右支上，1PF m =，2PF n =，由双曲线的定义可知4n m -=，再利用余弦定理列方程，即可求出32
3
mn =，再利用三角形面积公式即可以求面积. 【详解】
双曲线的离心率为c e a ===，所以b a =
所以双曲线的渐近线方程为：y = ，
由题意知：2a =，所以c =，b =，
设点P 在右支上，1PF m =，2PF n =，则4n m -=，
在12F PF △中，由余弦定理得：()2
2
2
121222cos120c PF PF PF PF =+- ，
即2222
14822m n mn m n mn ??=+-?-=++ ???
①，
将4n m -=两边同时平方得：22216m n mn +-=②， 由①②得：332mn =，所以323
mn =，
所以12F PF △的面积为
1132sin1202232mn ?=??=
故答案为：y = 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率、渐近线，考查求焦点三角形的面积，涉及余弦定理和三角形面积公式，属于中档题.
三、填空题
14．已知函数()132
4,1
3,1x e x f x x x x -?-<=?-≥?
（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =___________；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实
数b 的取值范围是___________. 【答案】54e - (27,12]
(11,)---+∞
【解析】根据自变量范围代入对应解析式，计算即得第一空；先转化为函数
()132
94,,9131
x e x x h x x x x x -?--<=?-≥-?与y b =交点，再结合导数确定函数()h x 单调性，最后根据数形结合确定实数b 的取值范围. 【详解】
()()()3252232(4)4f f f f e =-?=-=-；
()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，即函数()132
94,,9131
x e x x h x x x x x -?--<=?-≥-?与y b =的图象有两个不同的公共点， 当1x <时，()194x
h x e
x -=--单调递减；
当1≥x 时，()()3
2
2
993(33(6)31)h x x x h x x x x x x -∴-=-'=-+=-，即()h x 在
[1,3)上单调递减，在[3,)+∞上单调递增；
画出示意图，由图可知当(27,12](11,)b ∈---+∞时，()y f x =与9y x b =+的图象
有两个不同的公共点，
【点睛】
本题考查求分段函数值、根据函数交点求参数，考查数形结合思想方法，属中档题. 15．某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________.
【答案】
43
【解析】先还原三视图，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】
先还原三视图，几何体为三棱锥11A BB D -,112A BB D d -=，因此体积为
1142222323
????= 故答案为：4
3
【点睛】
本题考查三视图、锥体体积公式，考查空间想象能力，属基础题.
16．已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()
2c a c b -?-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3
π
时，c a λ-的最小值是___________. 【答案】
12
【解析】设PA a =，PB b =，PC c =，(),C x y ，利用23a b -=可以设
()3,0A -)
3,0B
利用()()2c a c b -?-=-即可求出点C 的轨迹为单位圆，
c a PC AP λλ-==+， c a λ-的最小值是点C 到直线PA 的距离，从而求得答案. 【详解】
设PA a =，PB b =，PC c =，(),C x y 因为23a b PA PB AB -=-==，
()3,0A -，)
3,0B
，
因为a b -与a 的夹角为
3π，所以BA 与PA 夹角为3π
，所以3
BAP π∠=， 所以tan603OP OA ==，所以()3,0P
-，
因为()()
·
2c a c b --=-得：所()()
223,3,32AC BC x y x y x y ?=?=+-=-，
所以2
2
1x y +=，所以点C 的轨迹为单位圆，
c a PC PA PC AP λλλ-=-=+
所以c a λ-的最小值是点C 到直线PA 的距离. 过点O 作OH PA ⊥于点H ,交单位圆于点G ， 所以22
AOP
OA OP AP OH
S
=
=
， 即
3933
2OH +=
，解得：32OH =， 所以min
31122
c a
GH OH OG λ-==-=
-=， 故答案为：
1
2
【点睛】
本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难题.
17．若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则32
4a b
ab +的取值范围是___________.
【答案】335
[,]412
【解析】构造函数224
()a f b b ab
=+，根据其在24b ≤≤单调性，得到两边含有a 的不
等式组，结合a 的范围、基本不等式，应用导数研究2
2
()4a g a a
=+的最值，即可求
324a b
ab +的范围. 【详解】
设2222344124
()()a f b a b ab b a a =+=+-，故24b ≤≤上()f b 单调减，
∴2212()164a a f b a a +≤≤+，而221113
1616224a a a a a +=
++≥=, 当且仅当2a =时等号成立；令22()4a g a a =+，则32
4
()2a g a a
-'=，
即()g a 在上单调减，在上单调增， 而9(1)4g =
，35
(3)12
g =， 所以max 35
()(3)12
g a g ==
， 综上，有
324335
[,]412
a b ab +∈ 故答案为：335
[,]412
.
【点睛】
本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用基本不等式、导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围.
四、解答题
18．已知()sin (sin )f x x x x =，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，
c .
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()3
2
f A =
，2a =，求ABC 周长的取值范围.
【答案】（1）2[,]6
3k k π
πππ+
+
，k Z ∈；（2）(4,23
+ 【解析】（1）利用正余弦的倍角公式化简函数式得()1sin(2)26
f x x π
=
-+，结合正弦型函数的单调性求()f x 的单调递增区间即可；（2）由已知条件求A ，由余弦定理、基本
不等式、三角形三边关系有23
b c <+≤，进而可求ABC 周长的范围. 【详解】
（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226
f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤+
上单调递增， ∴2[,]6
3
x k k π
π
ππ∈+
+
，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=
-+=，得32262A k k Z ππ
π+=+∈，，即23
A k ππ=+，
0A π<<，则23
A π
=
， 而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有
22
()()444b c b c bc ++=+≤+
，所以03
b c <+≤b c =时等号成立，而在ABC 中2b c +>， ∵周长2l a b c b c =++=++，
∴423
l <≤+ 【点睛】
本题考查了应用三角恒等变换化简三角函数求其单调区间，利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系求周长范围.
19．已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，
AB =
（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ； （2）求二面角D PC A --的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2；
【解析】（1）由线线垂直证明线面垂直即可；（2）构建空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正余弦值，进而求得其正切值. 【详解】
（1）四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD 有：PA DA ⊥，AB DA ⊥， 由AB PA A ?=，即DA ⊥面PAB ，又//DA CB
∴CB ⊥面PAB ，又AM ?面PAB ，则CB AM ⊥，又AM PB ⊥且CB PB B =，
∴AM ⊥面PBC ，而PC ?面PBC ，有AM PC ⊥，又AN PC ⊥且
AM AN A =，
∴PC ⊥面AMN .
（2）由题意，构建以A 为原点，以,,AD AB AP 为,,x y z 轴正方向的空间直角坐标系，则有(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,22,0)C ，
∴(2,0,2)PD =-，(2,2,2)PC =-，(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =， 令(,,)m x y z =是面PDC 的一个法向量，则：
220
220x z x z -=???
+-=??
，若1z =，有(1,0,1)m =， 令(,,)n x y z =是面PAC 的一个法向量，则：
20
20z x =???
+=??
，若1y =，有(2,1,0)n =-， 3cos ,|
|||||
m n m n
m n ?<>==，由图二面角D PC A
--
∴二面角D PC A --. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定证垂直，通过空间向量求二面角的三角函数值，属于中档题. 20．已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131n
n n n n b a b a +++=-+，2,21
1,2n n k b n k ∈+?=?
∈?
且k ∈N ，
*n N ∈，且12a =.
（1）设2+121n n n c a a -=-，*n N ∈，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列； （2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S . 【答案】（1）112c =，证明见解析；（2）221243332
n
n S n +-+=
； 【解析】（1）根据已知条件即递推关系可求1c ，且2143n n c -=?即可证{}n c 是等比数列；（2）结合（1）奇数项之差为等比数列，同理可得偶数项之差也为等比数列，进而可得
2121312n n a --+=
、22134
n
n a -=，可知数列212{}n n a a -+前n 项和即为2n S ； 【详解】 （1）由题意知：
()()()()
()1
122
23334212122221231,231,231,...,
231,
23 1.
n n n n n n a a a a a a a a a a --++=-++=-++=-++=-++=-+
∵12a =，有22a =-，314a =， ∴13112c a a =-=，
由221212+121(3)(3)43n n n n n n c a a ---=-=---=?，*n N ∈， ∴数列{}n c 是首项为12，公比为9的等比数列. （2）由（1）知：21
22222()(3)
(3)n n n n a a ++-=---，
∴令22222(3)n
n n n d a a +=-=-?-，即{}n d 是首项为18-，公比为9的等比数列，
∴11212113...(91)2n n n c c c a a ---+++=-=-，即212131
2n n a --+=，
1
121229...(19)4n n n d d d a a --+++=-=-，即22134
n n a -=，
∴21
212334n n n a a ---+=，即数列212{}n n a a -+前n 项和即为2n S ，
∴122312433(981...9)41232
n n n
n n S +-+=-+++=
. 【点睛】
本题考查了数列的递推关系，根据递推关系求新数列的首项，且证明其为等比数列，由递推式将奇偶项分离，分别到它们的通项，将相邻的奇数项与偶数项的和作为新数列的项求原数列的前n 项和.
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
，短轴长为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围.
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）1). 【解析】（1）由已知条件求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可.
（2）()11,A x y ()22,B x y 将直线与椭圆方程联立，写出判别式>0?，以及
122412km x x k -+=+，2122
24
12m x x k
-=+，再利用点到直线的距离求三角形的高，利用弦长
公式求AB ，再利用面积公式求AOB
S
，利用基本不等式即可求得取得最值的条件是
2
2
21m k =+，再根据中点坐标公式求出21,k M m m -??
??
?，由两点间距离公式即可将MN 表示出来，从而求得取值范围.
【详解】 由题意知：
2
c e a =
=
，2b =222a b c =+，
解得：b =
2a =
，c =
所以椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=；
（2）设()11,A x y ()22,B x y ，将:l y kx m =+代入椭圆的方程得：
()2
224x kx m ++=，即()2
2
2124240k
x
mkx m +++-=，
()()222216412240k m k m ?=-+-> ，即22420k m -+>， 122412km x x k -+=+ ，2122
24
12m x x k -=+，
12AB x =-=
=
22
1212k k
==++， 坐标原点O 到直线:l y kx
m =+的距离为：d =
，
1122AOB
S
d AB =??=
=
=
2222224242122122
k m m k k k -+++≤?=?=++ 当且仅当22242k m m -+=，即2221m k =+时等号成立，
此时122244412km km k
x x k m m
---+=
==+，
()221212422
2k m y y k x x m m m
-++=++==，
因为M 为AB 中点，所以21,k M m m -??
???
， 所以()2
2
2
22
2
2
22211m k m k k MN m m m -+--????=++= ? ?????
2222422(1)k k k
m m m =-+=-，
1MN ∴=-，由2221m k =+，
得22212(
)12()k k m m m +=>，即22
k m -<<，
11122
k m -
-<-<-，得11122k m -
<-<+，
11MN <<，即11)MN ∈.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交所得原点三角形面积取得最大值的条件，涉及弦长公式，两点间距离公式，基本不等式求最值，属于难题. 22．已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.
（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间； （2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π?
?
∈ ??
?
恒成立，求满足条件的最大整数b .
【答案】（1）()f x 在(0,)3π上单调递增，在()3
π
π,上单调递减；（2）3；
【解析】（1）利用导数研究函数的单调区间即可； （2）根据分析()sin sin 2f x x x =+知在20,
3
π?
?
??
?
上()0f x >恒成立，分类讨论参数 b ，当0b =时不等式恒成立，0b <时，22(
)0()33
h f >=ππ
不能恒成立，0b >时，
2019年浙江省高考数学试卷(原卷版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 参考公式： 2) S h 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =e（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3- 2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥?? --≤??+≥? ，则32z x y =+的最大值是（ ） A. 1- B. 1 C 10 D. 12 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可
以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 5.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ??= =+> ?? ?且0)a ≠的 图象可能是（ ） A. B. C. D. 7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：
则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小 C. ()D X 先增大后减小 D. ()D X 先减小后增大 8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线 AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<< D. ,αβγβ<< 9.已知,a b R ∈，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-< 10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，2 1,n n n a a a a b +==+，b N *∈ , 则（ ） A. 当101 ,102 b a = > B. 当101 ,104 b a = > C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =-> 非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11.复数1 1z i = +（i 为虚数单位），则||z =________. 12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则 m =_____，r =______. 13. 在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 14.在V ABC 中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =____； cos ABD ∠=________.
高三数学第一次月考试题(文科)
高三数学第一次月考试题（文科） 一、选择题（四个选项中只选一项，每小题5分，共60分） 1. 设集合V={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ?（CuB ）= （ ） A. {2} B. {2，3} C. {3} D.{1，3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件，S 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 （ ） A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 （ ） A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 （ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax ＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 （ ） A. 8 B. 2 C. －4 D.－8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 （ ） A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书，全部分给4名学生，每名学生至少1本不同分法的种数为 （ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P 则||2PF = （ ） A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1，2)、B （3，1）则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 （ ） A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。（用数字作答） 14. 设x 、y 满足约束条件，?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样
高三数学第一次联考试题 文
江西省九江市十校2017届高三数学第一次联考试题 文 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1.已知集合2{|(1)(2)},{|9}00A x x x B x x Z =+->=∈-≤，则A B = （ ） A.{,}01 B.(,)01 C.[,)(,]3123-- D.{,,}323-- 2.“2x <”是“lg()10x -<”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.4cos15cos75sin15sin75??-??= （ ） A.0 B. 12 C.34 D.32 4.若函数1,1 ()(ln ),1x e x f x f x x ?+<=?≥? ，则()f e = （ ） A.0 B.1 C.2 D.1e + 5.已知||2a =，2a b a -⊥，则b 在a 方向上的投影为 （ ） A.4- B.2- C.2 D.4 6.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，满足1()10a q -<且0q >，则 （ ） A.{}n a 的各项均为正数 B.{}n a 的各项均为负数 C.{}n a 为递增数列 D.{}n a 为递减数列 7.已知各项不为0的等差数列n a 满足2 4 78 230a a a ,数列n b 是等比数列,且77b a ， 则3711b b b 等于 （ ） A.1 B. 2 C.4 D. 8 8.已知0,10a b >-<<，那么下列不等式成立的是 （ ） A.2a ab ab << B.2ab a ab << C.2ab ab a << D. 2ab a ab << 9.将函数()sin(2) 6 f x x π=- 的图像向左平移6 π个单位，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的 一个单调递增区间是 （ ） A.[],44ππ - B. 3[],44 ππ C.[],36 ππ - D. 2[],63 ππ 10.设1 1 323233 log ,log ,,3222 a b c d ====，则这四个数的大小关系是 （ ）
高三数学第一次月考试卷
高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
海南省2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
海南省2020届高三数学第一次联考试题（含解析） 考生注意： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上. 3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{ } 2 {|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ） A. {2} B. {1,0,1}- C. {2,2}- D. {1,0,1,2}- 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ， {|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =. 故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.命题“2 0,(1)(1)?>+>-x x x x ”的否定为（ ） A. 2 0,(1)(1)?>+-x x x x B. 2 0,(1)(1)?+>-x x x x C. 2 0,(1)(1)?>+-x x x x D. 2 0,(1)(1)?+>-x x x x 【答案】C 【解析】 【分析】 根据命题否定形式，即可求解. 【详解】命题“20,(1)(1)?>+>-x x x x ”的否定为“2 0,(1)(1)?>+-x x x x ”.
【点睛】本题考查全称命题的否定，要注意全称量词和存在量词之间的转换，属于基础题. 3.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ?”是“U A B =?”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【 详解】如图所示，???=?U A B A B ， 同时? =???U A B A B . 故选:C. 【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题. 4.已知函数()f x 的导函数2 ()33'=-f x x x ，当0x =时，()f x 取极大值1，则函数()f x 的 极小值为（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知设3 2 3()2 =- +f x x x c ，由(0)1f =，求出解析时，再由()0f x '=，即可求出结论 【详解】当2 ()330'=-=f x x x 时，0x =或1， 又()f x 在0x =处取极大值，在1x =处取极小值. 令3 2 3()2 =- +f x x x c ，(0)1f =，∴1c =， ∴3 23()12f x x x =-+，则1()(1)2 f x f ==极小值.