考研数学二模拟题(新)
考研数学二模拟题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2
arctan x α=，11(0)a
x a β=(+)-≠，2
arcsin x tdt γ=?
，把三个无
穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（ ） （A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)
(0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为
则其导数的图像为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(3)若()f x 是奇函数，()x ?是偶函数，则[()]f x ?（ ） （A ）必是奇函数 （B ）必是偶函数
（C ）是非奇非偶函数 （D ）可能是奇函数也可能是偶函数
(4)设220ln(1)()
lim 2x x ax bx x
→+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-
；（B ）0,2a b ==-；（C ）5
0,2
a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)下列说法中正确的是（ ）
（A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解；
(6)设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶线性非齐次方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，
123,,C C C 为任意常数，则该方程的通解是（ ）
（A ）112333C y C y C y ++； （B ）1123123()C y C y C C y +++； （C ）1123123(1)C y C y C C y +---；（D ）1123123(1)C y C y C C y ++--；
(7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T
A x b =，对任何12(,,
)T n b b b b =
（A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解；
（C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解
(8)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020
T
A B -??
-?
???
的值为 （A ）1
(2)n A B
--； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1
2(2)n A B
--
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 (9)已知3232x y f x -??= ?
+??
，2
()arcsin f x x '=，则0
x dy dx == 。
(10) 方程
3
01()()3
x
x f x t dt x f t dt -=+?
?满足(0)0f =的特解为 。
(11) 2222()D
x y d a b σ+=?? 。其中D 为22
1x y +≤。
(12)设()f x 有一个原函数为2
x e ，则
1
20
()f x dx '=?
。
(13) 若2
2
1()lim 1xt x f t t x →∞
??
=+
???
，则()f t '= 。 (14) 设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，B 与A 相似，则B 的相似对角形为 。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10
分）求0x →。 (16)（本题满分10
分）计算
1
2
22
220
1
))dy x y dx dy x y dx +++?
?。
(17) （本题满分10分）设()f x 在[0,)+∞连续，且1
1()2f x dx <-?
，()
lim 0x f x x
→+∞=。证明：
至少0,ξ?∈(+∞)，使得()f ξξ+=0。
(18) （本题满分10分）设函数(,)z z x y =由方程(
,)0xz yz
F y x
=所确定，其中f 有一阶连续偏导数，求z z x
y x y
??+??。
(19) （本题满分10分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线2
110
x y =
+和210x y =绕y 轴的旋转面，容器的外高为10，比重为
25
19
。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少？（长度单位为厘米）
(20) （本题满分11分）设()0()0
x f x e x x g x x
ax b x ?--
=??+≥?
，其中()f x 在0x =处二阶可导，
且(0)(0)1f f '==。
（I ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续？ （II ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导？
(21) （本题满分11分）过椭圆22
3231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(22) （本题满分11分）设A 是实矩阵。证明：（I ）0T
A Ax =与0Ax =是同解方程组；（II ）秩()T
A A =秩()A
(23)（本题满分11分）设A 为三阶方阵，123,,ααα为三维线性无关列向量组，且有
123A ααα=+，213A ααα=+，312A ααα=+。求
（I ）求A 的全部特征值。 （II ）A 是否可以对角化？
考研数学二模拟题参考答案
二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）C
解：由22
200
220000arcsin arcsin 2arctan lim lim
lim lim 0arctan 2x x x x x x tdt tdt x x x x x
γα→→→→====?? 所以γοα=()
由22
000arctan lim lim
lim 0(1)1a x x x x x x ax
αβ→→→===+- αοβ=()。故C 成立。
（2）B
解：由于函数可导（除0x =）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点，故A ，C 不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D 不正确。 （3） B
解：设()[()]g x f x ?=，则()[()][()]()g x f x f x g x ??-=-== （4）A
解：2200ln(1)()1/(1)(2)
lim
lim 22x x x ax bx x a bx x x
→→+-++-+==，因0lim 0x x →=，则 0
lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=，故1a =。而
22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x x b x x →→+-++-=+=，故122b +=-，所以52
b =- 【也可以用泰勒公式计算】 （5）C
设()f x 在(,)a b 内有界，即1()f x M ≤；0(,)x a b ∈，0
lim ()x x g x →=∞，即21M M ?>，δ?>0，
使当00x x δ<-<时，2()g x M >。则21()()()()g x f x g x f x M M M +≥->-=，即对0M ?>，当00x x δ<-<时，()()g x f x M +>，故0
lim[()()]x x f x g x →+=∞
（6）D
由123,,y y y 都是已知方程的线性无关的解知113223()()y C y y C y y =-+-是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为
11322331123123()()(1)y C y y C y y y C y C y C C y =-+-+=++--
（7）A
解：0Ax =有非零解，充要条件是()r A n <，由此即可找到答案。 （8）D
解：1020T
A B -??-?
???=1120
2202T
T A A B B --??-=--??-??=12(2)n
A B -- 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 （9）应填
32
π
。 解：由3232x y f x -??=
?+??
，2
()arcsin f x x '=得
22232323212arcsin()()arcsin()323232(32)dy x x x dx x x x x ---'==++++ 0
123arcsin142
x dy dx
π==
= (10)应填()2(1)2x
f x x e =+- 解：令x t u -=，原方程变为3
001()()()3
x
x
x x f u du uf u du x f t dt -=+?
??
方程两边对x 求导得
20
()()x
f u du x f x =+?
再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+，即
2dy
y x dx
-=- [(2)]2(1)dx dx
y e x e dx C x C -??=-+=++?
由(0)0y =得2C =-，故()2(1)2x
y f x x e ==+-