2019年北京市平谷区初三数学二模试卷及答案

平谷区2019～2019学年度第二学期初三第二次统一练习 数 学 试 卷 2019．6

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．4的平方根是

A ．16

B ．4

C ．±2

D ．2 2．近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温．据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游览的人数约为203 000人，把203 000用科学记数法表示为

A ．420.310?

B ．52.0310?

C ．42.0310?

D ．32.0310? 3．如图，□ABCD 的一个外角∠DC

E =70°, 则∠A 的度数是 A ．110° B ．70° C ．60° D ．120° 4．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四 个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指 在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）， 则指针指在甲区域内的概率是

A ．1

B ．12

C ．13

D ．14

5．正八边形的每个内角为

A ．120°

B ．135°

C ．140°

D ．144°

6．右图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么关于该班40名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误．．

的是 A ．极差是3 B ．众数是8

C ．中位数为8

D ．锻炼时间超过8小时的有21人

7．下列等式成立的是 A ．

1

1112+=

--x x x B ．()()2

233--=-a a C ．()c b a c b a +-=+- D ． 2

2

))((

b a a b b a -=-+ 8．如图是一个长方体，AB =3，BC =5，AF =6AG ，绳子与DE

交于点P ，当所用绳子的长最短时，AP 的长为 A ．10 B ．8 D ．

254

E

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y =

中，自变量x 的取值范围是_____________．

10．分解因式：2242a a -+= __________ ．

11．如图，在⊙O 中，直径AB =6，∠CAB =40°，则阴影部分的面积是 ． 12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 是

AC 上一点，点E 是CB 延长线上一点，且AD =BE ，连结 DE 交AB 于点F ．

（1）若AC =6，AD =4，则BEF ADF S S ??-= ； （2）若AD =3，AC >3，则BEF ADF S S ??-= ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．()1

31360cos 23-??

? ??--+?--π

14．用配方法解方程：0242=--x x

15．先化简，再求值：24

22

x x x +--，其中2x =．

16．如图，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥ED 于D ，∠ACB =90°，AC =BC ． 求证：AD =CE ．

17．已知：正比例函数111(0)y k x k =≠和反比例函数2

22(0)k y

k x

=≠的图象 都经过点A （.

（1） 求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；

（2） 设点P 是反比例函数图象上的点，且点P 到x 轴和正比例函数图象的距离相等，求

点P 的坐标.

18．列方程（组）解应用题：

夏季里某一天，离供电局30千米远的郊区发生供电故障，抢修队接到通知后，立即前去抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1．5倍，求这两种车的速度．

A

四、解答题（本题共20分，第小题5分）

19．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =150°∠D =90°，

AD =4，AB =6，CD =34．求四边形ABCD 的周长．

20．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是⌒

AD 的中点， 连结BE 交AC 于点G ，BG 的垂直平分线CF 交BG 于 H 交AB 于F 点.

（1） 求证：BC 是⊙O 的切线； （2） 若AB =8，BC =6，求BE 的长.

21．某校对中考前一次数学模拟考试进行抽样分析，把样本成绩按分数段分成

A B C D E 、、、、五组（每组成绩含最低分，不含最高分）进行统计，并将结果绘制成下

面两幅统计图.请根据图中信息，解答下列问题： （1）求A 组人数在扇形图中所占圆心角的度数； （2）求D 组人数；

（3）判断考试成绩的中位数落在哪个组？（直接写出结果，不需要说明理由）

22. 在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm ，宽为14cm 的长方形纸上剪下一个腰为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角 形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形 的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图， 请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图， 并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小

（含小明的设计方案示意图）. 图（1）

分数段

B

A

D E 12% 22%

30%

26%

C

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知抛物线2

2y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；

（2）若m 是整数，抛物线2

2y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．

24．如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．

（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，

若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别

交AG 、AD 于P 、H ．

① 求证：AG ⊥CE

② 如果AD =4，DG ，求CE 的长．

25．如图，抛物线42

++=bx ax y ()0≠a 与x 轴交于点A (－2，0)和B (4，0)、与y 轴交

于点

C ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是 以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标； (3)点M 、Q 分别从点A 、B 以每秒1个单位 长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M

到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒 3

2

个单位

长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物 线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线 l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时 间t (秒)与△APQ 的面积S 的函数关系式．

A B C D E F G 图2 A B C D E F

G 图1 A

图3

平谷区2019～2019学年度第二学期初三第一次统一练习 数学试卷参考答案及评分参考 2019.6

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

13．解：()1

31330cos 23-??

?

??--+?--π

=312

3

23-+?

- ……………………………………………………………………….4分 =2-……………………………………………………………………………………………5分 14．解：0242=--x x

242=-x x …………………………………………………………………….1 分 42442+=+-x x ………………………………………………………………. 2分

6)2(2=-x ..... (3)

分

62±=-x ..... (4)

分

∴621+

=x ，622-=x ………………………………………………………5分

15．解：原式x

x x ---=24

22….. ……………………………………………………………1分

x

x --=242 ….. …………………………………………………………………2分

(2)(2)

2x x x

+-=- ..... (3)

分

(2)

x =-+….. …………………………………………………………………4分

当2x =

时，原式22)=-+=5分

16．证明：∵ BE ⊥CE ，AD ⊥ED ，

∴ ∠E =∠D =90°. ….. …………………1分 ∵ ∠ACB =90°，

∴ ∠BCE +∠ACD =90°. ∵ ∠B+∠BCE =90°，

∴ ∠B =∠ACD . . ……………………………2分 在BEC △和CDA △中，

E D B ACD BC AC

∠=∠??

∠=∠??=?

∴ △BCE ≌△CAD ．…………………………………………………………………………4分 ∴ AD =CE . …………………………………………………………………………………5分 17．解：(1) 因为111(0)y k x k =≠和2

22(0)k y k x

=

≠的 图象都经过点A

（）.所以

12k k ==所以

12y y ==

，. ........................................2分 (2) 依题意（如图所示），可知，点P 在∠AOx 的平分线上. 作PB ⊥x 轴，由A

（）可求得∠AOB=60°， 所以 ∠POB=30°. 设(,)P x y ，可得

tan 303

y x =?=. 所

以

直

线

'

PP 的解析式为

y x =

.....................................................................................3分

把y x =

代入y =

，解得x =所以

'(1)P P -和.（'P 点的坐标也可由双曲线的对称性得到）.....................5分

….. …………………………………………………………………………3分

18．解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时．………………1分

根据题意，得

303015.1.560

x x =+ ...........................................................2分 解这个方程，得 40.x = ..... (3)

分

经检验，x = 40是原方程的根………………………………………………………4分

∴ 1.5 1.54060.x =?=

答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．………………………….5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.解：连结AC

在Rt △ADC 中，

∵ ∠D =90°，AD =4，CD =34， ∴ AC =

22CD AD +=8，…….……………………………1分

3tan ==

∠AD

DC

DAC . …..……………………………2分 ∴ ∠DAC =60°. ……………………………………………………………………………3分 ∵ ∠BAD =150°， ∴ ∠BAC =90°

. ∴ BC =

1022=+AB AC . …………………………………………………………4分

∴ 四边形ABCD 的周长20+ ……………………………………………………….5分 20．（1）证明：连结AE .

∵ BG 垂直平分CF ， ∴ CB =CG ， ∴

∠1=∠2. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴

B

E =90°. .......................................................................

..1分

∴ ∠3+∠4=90°. ∵ ∠3=∠1=∠2， ∴ ∠2+∠4=90°.

∵ ⌒AE =⌒ED ， ∴ ∠ABE =∠4.

∴ ∠2+∠ABE =90°. ∴ BC 是⊙O 的切

线...........................................................................................................2分 （2）∵ BC 是⊙O 的切线，

∴ ∠ABC =90°. 由勾股定理，可得

AC =10..............................................................................................3分

∵ CG =CB =6， ∴ AG =4.

可证 △AEG ∽△BEA , ∴

41

82

AE AG EB AB ===.....................................................................................................4分

设AE =x ，BE =2x .

由勾股定理，可得 222

(2)10x x +=.解得

x =∴

2BE x ==............................................5分

21．解：（1）A 组人数所占的百分比：1(26%30%22%12%)10%-+++=， ·· 1分

A 组人数在扇形图中所占的圆心角的度数：36010%36??=； ········· 2分 （2）样本人数：1530%50÷=（人）， ··················· 3分

D 组人数=5022%11?=（人）；

······················ 4分 （

3

）

考

试

成

绩

的

中

位

数

落

在

C

组..............................................................................................5分 22．

正确画出图形2分 图

（1）

272AEF S cm ?=；...............................................

..................................................3分

图

（2

）

2AEF S ?=；...........................................

................................................4分

图（3

）2AEF S ?=.

比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最

小. ............................................5分

五、解答题 （本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）证明：令0y =，则2

20x mx m -+-=．

因为2

48m m ?=-+2

(2)40m =-+>， ········ 1分

所以此抛物线与x 轴有两个不同的交点． ········· 2分

（2）因为关于x 的方程2

20x mx m -+-=

的根为x =，

由m 为整数，当2

(2)4m -+为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点．

设22

(2)4m n -+=（其中n 为整数），··············· 3分 所以 [(2)][(2)]4n m n m +---=．

因为 (2)n m +-与(2)n m --的奇偶性相同，

所以 2222n m n m +-=??-+=?，；或222 2.n m n m +-=-??-+=-?，

解得 2m =．

经检验，当2m =时，关于x 的方程2

20x mx m -+-=有

整

数根． 所以

2m =...................................5分

（3） 当2m =时，此二次函数解析式为

2

2

2(1)1y x x x =-=--，则顶点A 的坐标为（11-，）． 抛物线与x 轴的交点为(0)O ，0、(20)B ，．

设抛物线的对称轴与x 轴交于1M ，则1(10)M ，

． 在直角三角形1AM O

中，由勾股定理，得AO =，

由抛物线的对称性可得，AB AO ==

又

2222+=， 即 222

O A A B O B +=．

所以 △ABO 为等腰直角三角形．且11M A M B =．

所以 1(1)M ，0为所求的点．················ 6分

若满足条件的点2M 在y 轴上时，设2M 坐标为(0)y ，． 过A 作AN y ⊥轴于N ，连结2AM 、2BM ．则22M A M B =．

A 由勾股定理，有22222M A M N AN =+；222

22M B M O OB =+．

即 2222

(1)12y y ++=+． 解得 1y =．

所以 2(0)M ，1为所求的点． ················ 7分

综上所述满足条件的M 点的坐标为（10，）或（01，

）． 24．证明：（1）AG CE =成立．

∵ 四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，

∴ ,,GD DE AD DC ==…………………………1分

∠GDE =∠90ADC =?.

∴ ∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC .

∴ △AGD ≌△CED .………....................………2分 ∴ AG CE =.………………………………………3分 （2）①由（1）可知△AGD ≌△CED ，

∴ ∠1＝∠2 .

∵ ∠3＝∠4，∠4＋∠2＝90°，

∴ ∠3＋∠1＝90° ∴ ∠APH ＝90?. ∴ .AG CH ⊥……………………………………5分

② 过G 作GM AD ⊥于M .

∵ BD 是正方形ABCD 的对角线，

∴ 45

ADB GDM ∠=∠=?. ∴ ∠DGM ＝45°. ∵ DG

∴ 1

MD MG ==.

…………...................................................................6分

在Rt △AMG 中 ，由勾股定理，得

AG =∴ CE =AG ……………………………………………………………7分

25．解：（1）∵抛物线过点A (－2，0)和B (4，0)

∴ ???=++=+-044160424b a b a 解得?????=-

=1

21b a

∴ 抛物线的解析式为42

1

2++-=x x y …………1分

（2）抛物线的对称轴为1=x

令x =0，得y =4，∴()04C ，

设T 点的坐标为()h ,1，对称轴交x 轴于点D ，过C 作CE ⊥TD 于点E 在Rt △ATD 中， ∵TD =h ，AD =3

∴22229h TD AD AT +=+=………………………………………………………………2分 在Rt △CET 中， ∵E ()4,1

∴ET =h -4，CE =1 ∴()142

222

+-=+=h CE TE CT

∵AT =CT

∴()2

2

914h h +=+-，………………………3分

解得1=h . ∴

()1,1T . ...............….……………………………………………………………………

…4分

（3）当20≤

∴△APM ∽△ACO ∴

CO

PM

AO AM =

∴PM =2t

∴t t PM AQ S 62

1

2+-=?=………………6分 当32≤

∴BM =t -6.由OC =OB =4，可证BM =PM =t -6.

∵BQ =t t 2

3

5)2(232-=--

∴AQ =t t 2

312356+=??? ??-

- ∴()344

3

623121212++-=-???? ??+=?=t t t t PM AQ S ．……………………………..8分

综上所述，()??

?

??≤<++-=≤<+-=)32(34432062

2t t t S t t t S