高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)
高等数学公式
基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）
（2）1
,1
x x dx C μμ
μ+=
++? (1)u ≠- （3）1
ln ||dx x C x =+?
（4）2
tan 1dx
arl x C x =++? （5）
arcsin x C =+
（6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+?
（8）2
1
tan cos dx x C x =+?
（9）21
cot sin dx x C x =-+?
（10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+?
（13）ln x
x
a a dx C a
=+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+?
（16）22
11tan x
dx arc C a x a a =++? （17）2
2
11ln ||2x a
dx C x a a x a -=+-+? （18）
sin
x
arc C a
=+
（19）
ln(x C
=++
（20）
ln |x C =++
（21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+?
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：
2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2
x
x +=
， 21cos 2sin 2
x
x -=
。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结：
1常用凑微分公式
x
u x
u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x
x f x
d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da
a f a dx a a f de
e f dx e e f x d x f dx x
x f x d x
f dx x x f a b ax d b ax f a
dx b ax f x x x
x
x
x
x
x
x
x
arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)
(arcsin .11)
(arctan )(arctan 11
)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1
)(.5)()(..4)
(ln )(ln 1
)(ln .3)
0()()(1
)(.2)
0()
()(1)(.12
2
2
21
==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?
≠=
≠++=+?
?
???????????
????
???
??
-μμ
μ
μμμμ
法
分积元换一第换元公式
积分类型
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u
du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
=
'='?-='?='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=
±?±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-=
=+=
-=
----11ln
21)
1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1
1(lim 1
sin lim
0==+=∞→→e x
x
x
x x x
·倍角公式：
·半角公式：
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率：
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
.
1
;0.)
1(lim M s M M :.,13202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???=
=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α
ααα
α
定积分的近似计算：
???----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：
??--==?=?=b
a
b a dt t f a b dx
x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2
221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
空间解析几何和向量代数：
。
代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M
d z
y
x
z y x
z y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u
??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
30
2),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++??
?
??+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y
v
dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=??-=??=?
-??
-??=-==??+??=??+??=
==???
??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=
， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F v u
G F J v u y x G v u y x F v
u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=???== 隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==????
?====-'+-'+-''-=
'-='-??
?
??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：
上的投影。在是单位向量。方向上的
，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。
轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l
f
l j i e e y x f l
f j
y
f i x f y x f y x p y x f z l x y f
x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴
?+?=?=????+??==??+??=??=
????
?多元函数的极值及其求法：
????
???
??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
??????
??????????????
????++-=++=++==>===
=
==
?
??
?
????+??? ????+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x
D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：
????????????????????????????????????Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===???=??
???=====??
?
??===dv
y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr
r
r F d d d drd r
r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??
θθ??θ?θ
??θ???θ?θ?θθθθθθθπ
πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：曲线积分：
??
?==<'+'=≤≤?
?
?==?
?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
?βαψ?ψ?βαψ?β
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧
。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：
二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00
)
,()
,(00==+=
+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?
?
?==??????????????y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψ??ψ?ψ?β
α
曲面积分：
??????????????????????
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。
，取曲面的右侧时取正号；
，取曲面的前侧时取正号；
，取曲面的上侧时取正，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：
??????????????????Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==?
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
?????????Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
?=++Γ??
????=
??=
????=????=????????
=??????++=??-??+??-??+??-??ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++- 级数审敛法：
散。
存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=??
?
??=><=??
?
??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n
n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ
级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n
n n n
幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ 函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m 欧拉公式：
???
????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix
ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数：
。
上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。
，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2)sin()(00101
0ππω???ω-====++=++=∑∑∞
=∞
= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：（相减）
（相加）
其中，周期∑?
∑???∑+=
==
======+-+-=++++=+++=
+++???
?
???=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b
x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n
n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
012413121164
1312112461412185
1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
2
2222
2222
222
2
221
0 π
π
π
ππ
ππ
π
πππππππ
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：
高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)
高等数学公式 基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）2 2 11ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+ （19） ln(x C =++
（20） ln |x C =++ （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 小结： 1常用凑微分公式
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
(完整版)定积分公式
二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++?
（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =+ （20） ln |x C =+? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
微积分及三角函数公式
微积分及三角函数基本公式
cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α±β)= βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=β αβ αcot cot cot cot ±μ e x =1+x+!22x +!33x +…+! n x n + … sin x = x-!33x +!55x -!77 x +…+)!12()1(12+-+n x n n + … cos x = 1-!22x +!44x -!66 x +…+)!2()1(2n x n n -+ … ln (1+x) = x-22x +33x -44 x +…+)!1()1(1+-+n x n n + … tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x = 微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C a b c α β γ R 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+?? 9 22 1 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 22 11arctan x dx c a x a a =++? 17 22 11ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ? ，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ? 令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ? ，cos ax e xdx ? 令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a += ++? ? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ? ? 3. ()()()1 ln ln ln f x dx f x d x x ?=? ? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1 ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ? ? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2 tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-?? 11.()()()2 cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμμ+=++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? 9 221csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 21arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 2211arctan x dx c a x a a =++? 17 2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ? 令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ? ，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ? ，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1f ax b dx f ax b d ax b a +=++? ? 2. ()()()11f x x dx f x d x μμμμμ-=?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?=?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10. 21111()()()f dx f d x x x x =-?? 11. ()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx 微积分及三角函数公式 合集 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+? ? 9 221 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1 arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 22 11arctan x dx c a x a a =++? 17 2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a +=++?? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-? ? 11.()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 第二部分：常用微分、导数公式 （c=常数） 从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记 原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法 三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 定 义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + - 符号与 增 减 变 化 Ⅰ+↑+↓+↑+↓+↑+↓ Ⅱ+↓-↓-↑-↓-↑+↑ Ⅲ-↓-↑+↑+↓-↓-↑ Ⅳ-↑+↑-↑-↓+↓-↓1. 三角函数的记忆： 对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. 倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. 邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数 图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。 上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。 中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x， 微积分及三角函数公式合 集 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 22 1 sec tan cos dx xdx x c x ==+? ? 9 221 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1 arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 22 11arctan x dx c a x a a =++? 17 2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a +=++?? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-? ? 12-1三角函數之積分 當結合一些有用的三角恒等式及代換法時，可以求出更多含有三角函數型式的積分，以下是幾種常見的類型： 型1. 及 ∫xdx n sin ∫xdx n cos （1）n 為正奇數：可利用變數變換，提出或x sin x cos 後，再利用恒等式 或。 x x 22cos 1sin ?=x x 22sin 1cos ?= （為正整數） ∫∫∫==+xdx x xdx xdx k k n sin sin sin sin 212k 化簡得 ()()∫∫ ??= x d x xdx k n cos cos 1sin 2 令x u cos =，得 ( ) ∫∫ ??=du u xdx k n 21sin 再利用羃函數之積分公式即可。 1. 求。 ∫xdx 5sin 解答： ∫xdx 5sin 提出 x sin ∫=xdx x sin sin 4 用對作轉換 x x 22cos 1sin ?=x 2sin () ∫?=xdx x sin cos 12 2 將()2 2cos 1x ?展開 提出負號，將改寫成 (∫+?=xdx x x sin cos cos 214 2 ))xdx sin xdx sin ?()(∫?+??=xdx x x sin cos cos 214 2 利用變數變換xdx du x u sin cos ?=?= (∫+??=du u u 4 221) 將不定積分求出 c u u u +?+?=5351 32 將x u cos =代回式子 c x x x +?+?=53cos 5 1 cos 32cos （2）n 為正偶數：利用三角函數半角公式22cos 1sin 2x x ?=；2 2cos 1cos 2x x += 已知 ()∫∫∫==dx x xdx xdx k k n 2 2sin sin sin 代入 2 2cos 1sin 2x x ?= 得 ∫∫?? ?????=dx x xdx k n 22cos 1sin 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 工程力学公式微积分公 式高等数学公式汇总 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 公式： 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-= ?断面收缩率：1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ ρτρ= ，最大切应力：max P P T T R I W τ==， 4 4 (1)32 P d I πα= -，3 4(1)16 P d W πα= -，强度校核：max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ?θ= =，刚度校核：max max []P T GI θθ= ≤，长度为l 的 一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ，扭转外力偶的计算公式： ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -，sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力： '2 x y σσσ+= ，''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应力max ''' 2 σστ-=± =最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- - 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) =a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)(完整word)高数微积分公式+三角函数公式考研
高数微积分公式大全
微积分及三角函数公式合集
微积分及三角函数公式合集
角函数反三角函数积分公式求导公式
微积分及三角函数公式合集
三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法
微积分及三角函数公式合集
三角函数的积分
高等数学公式、定理 最全版
工程力学公式微积分公式高等数学公式汇总
三角函数-反三角函数-积分公式-求导公式