2014年广西创新杯高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

2014年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷参考答案及评分标准

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ）

A.{|0}x x ≥

B.{|1}x x ≥

C.{|1}{0}x x ≥

D.{|01}x x ≤≤ 答案：C

解析：由(1)0,0x x x -≥≥解得：1x ≥或0x =.

2、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A.

B. C.6 D.4

答案：C

解析：几何体为三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,4AB BC AC ==，顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ⊥面ABC ，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6。

3、在区域22:(1)4D x y -+≤内随机取一个点，则此点到点(1,2)A 的距离大于2的概率是（ ）

A.13+

B.32π

C.13

D.13-答案：A

解析：如图，因为A 点在圆22(1)4x y -+=上，所以到点(1,2)A 的距离大于2的点构成的区域是区域D 内去除它与区域22(1)(2)4x y -+-≤公共部分剩

下的部分，剩下部分的面积为144242433πππ??-??-?=+ ???

，故

所求事件的概率为41343ππ+=+。 4、已知A 为ABC ?的最小内角，若向量

222211(cos ,sin ),(

,),cos 1sin 2

a A A

b A A ==+-则a b ?的取值范围是 ( ) A ．1(,)2-∞ B ．1(1,)2- C ．21[,)52- D ． 2[,)5-+∞ 解：选C. 22222222222cos sin cos sin 1tan 31cos 1sin 22cos sin 2tan tan 2

A A A A A a b A A A A A A --?=+===-+-+++，

(0,]3A π∈,tan A ∴∈.21[,)52a b ∴?∈- 5、设x x x f +=3)(，R x ∈，当20πθ≤

≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，

则实数m 的取值范围是（ ）

A.)1,0(

B. )0,(-∞

C. )2

1,(-∞ D. )1,(-∞ 解：选D 因为函数)(x f 是奇函数，所以不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立转化为)1()sin (->m f m f θ，又)(x f 是增函数，所以1sin ->m m θ在]2

,0[π

上恒成立。当0≥m 时，只要10->m ，解得10<≤m ，当0

m m 1si n -<θ，只要m m 11-<，此不等式恒成立，此时0

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解：选D.

()0ln |1|3f x x x =?-=-，所以()f x 的零点个数即函数ln |1|y x =-与函数3y x =-的图象交点的个数，作图可知有3个交点．

二、填空题（每小题9分，共54分）

7、已知sin

2cos 22αα=，1sin cos 1sin cos αααα

++=+-则____________. 答案：12. 解析：由sin

2cos 22αα=，有tan 22α=. 又1cos sin 1cos sin tan

2sin 1cos sin 1cos ααααααααα--+===+++，故原式=12

.

8、若12lg[()]lg lg 2

a b a b -=+，则b a 的值为—— 解析：原式化为 2)lg()](2

1lg[ab b a =-. ∴21()2a b ab ??-= ???

,即2260a ab b -+=. 由已知得0a b >>,两边除以2b 得2610a a b b ????-+= ? ?????

.

解得

3a b

=± 同样由0a b >>得1a b

>.

所以3a b

=+

9、已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的

距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是——

解：所作的截面与OE 垂直时，截面圆的面积最小。设正三角形ABC 的高为3a ，则4142=+a ，即2

3=a ，此时4743122=+=OE ，截面圆半径4947222=-=r ，故截面面积为π4

9 10、函数),)(23

sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ的最小正周期为 .

答案：π。解析：)23

sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=，所以最小正周期πω

π==2T 。 11、函数x

y -=11的图像与函数()42sin 2≤≤-=x x y π 的图像所有交点的横坐标之和等于—— 解析：由题意可知1

111--=-=x x y 的图像是双曲线，且关于()0,1成中心对称，又x y πsin 2=得周期为22==π

πT ，也关于()0,1成中心对称，故它们的交点也关于()0,1中心对称，画图可知，在给定的定义域内必有8个交点，824...821=?=+++x x x ，答案选D