正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理

1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -

面积公式:

111

sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=

== 在三角形中大边对大角，反之亦然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)

形式二：

??

?

??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)

形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四：

sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =

==

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2

2

2

2cos a b c bc A =+- 2

2

2

2cos b c a ca B =+- 222

2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具)

形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222

cos 2a b c C ab +-=

二、方法归纳

(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c

A B C ==

，可求出角C ，再求b 、c .

(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2

-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .

(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .

(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b

A B =

，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b

A B =

求B 时，可能出一解，两解或无解的情况

a =

b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解

三、课堂精讲例题

问题一：利用正弦定理解三角形

【例1】在ABC ?中，若5b =，4B π∠=

,1sin 3A =，则a =

.3

【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

【解析】 ∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B

a sin =2

45sin 3? =23,

则A 为60°或120°.

①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=

B

C b sin sin =??45sin 75sin 2=??+?45sin )3045sin(2=226+.

②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=B

C

b sin sin =??45sin 15sin 2=??-?45sin )3045sin(2=226-.

故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=

226+或A=120°,C=15°, c =2

2

6-. 【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =

2

3

,在(0,)π上显然有两个解。sin y x =在(0,)π上的值域为（0,1】，

sin 1x =在(0,)π只有

2x π

=

一解。

【适时导练】

1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ; （2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a. 【解析】（1）由正弦定理得B b A a sin sin =.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=?

?

?=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. （2）由正弦定理得sinC=

4

30sin 8sin ?

=b B c =1.又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°. ∴A=180°-(B+C)=60°, a =2

2b c -=43.

问题二：利用余弦定理解三角形

【例3】设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4

1

cos =C . （Ⅰ）求ABC ?的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.

【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力 【解析】（Ⅰ）∵44

1

441cos 22

2

2

=?

-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ?的周长为5221=++=++c b a . （Ⅱ）∵41cos =

C ，∴415411cos 1sin 2

2

=??

? ??-=-=C C ，∴8

152415

sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 2

2

=???

? ??-=-=A A

∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16

114158154187=?+?=

. 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβαβαβαβααα

αα

αβα

αβααβα

αα

αα

=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=

-m m 【例4】（2010重庆文数） 设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32

a =42

b

c .

(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求

2sin()sin()

441cos 2A B C A

ππ

+++-的值.

【适时导练】

2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且

C B cos cos =-c

a b

+2.

（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.

【解析】 （1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 22

22-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-c

a b +2得:

ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-c a b +2整理得: a 2+c 2-b 2=-a c ∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac 2- =-2

1

∵B 为三角形的内角，∴B=

32

π. （2）将b =13,a +c =4,B=3

2

π代入b 2=a 2+c 2-2a c cosB,得b 2=(a +c )2-2a c -2a c cosB

∴b 2=16-2a c ??

? ?

?-211,∴a c =3.∴S △ABC =21

a c sinB=

4

33. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用

【例5】（2011山东文数）在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a

=

cos B b

． （I ）求

sin sin C A

的值； （II ）若cosB =1

4，?ABC 的周长为5，求b 的长。

【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。

【解析】（I ）由正弦定理，设

,sin sin sin a b c k A B C ===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B

---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B

--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，

化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此

sin 2.sin C

A

= （II ）由

sin 2sin C A =得2.c a =由余弦定得及1

cos 4

B =得 22222222cos 1

444

4.

b a

c ac B a a a a =+-=+-?=

所以2.b a =又5,a b c ++=从而1,a =因此b=2。 【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”

【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

【解题思路】对已知条件(1)2

2

2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)

sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。

【解析】解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc +-+-=g

g 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2

2

2

2cos a c b bc A -=-.又2

2

2a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+

①

又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

=

，故4cos b c A = ②

由①，②解得4b =.

【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。 【适时导练】

3． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 2

2

B C

+－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；（2）若a 3b ＋c ＝3，求b 和c 的值．

解:（1）∵ A ＋B ＋C ＝180°，∴2B C +＝90°－2

A ．∴ sin 2

B C

+＝cos 2A ．

由8sin

22B C +－2cos 2A ＝7，得8cos 22A －2cos 2A ＝7．∴ 4(1＋cos A )－2(2 cos 2

A －1)＝7，

即(2cos A －1)2＝0．∴ cos A ＝

1

2

∵ 0°＜A ＜180°，∴ A ＝60°． （2）∵ a 3A ＝60°，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝9－3bc ． ∴ bc ＝2．又b ＋c ＝3，∴ b ＝1，c ＝2或b ＝2，c ＝1． 问题四：三角恒等变形

【例7】（08重庆） 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A=60o

，c=3b.求：

（Ⅰ）a

c 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.

【解题思路】求a

c 的值需要消去角和;b 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系

【解析】（Ⅰ）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=＝222

972131231c c c c c =???-+??

? ??故7.a c =

（Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C B B C +＝sin()sin ,

sin sin sin sin B C A B C B C +=

由正弦定理和（Ⅰ）的结论得2

2

7sin 1143

9··.

1sin sin sin 333·3c

A a

B

C A bc c c ====

故

143

cot cot .9B C +=

解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有7

253

72)31(972cos 2

222

2

2

=??-+=-+=c

c c c c ac b c a B

故

2253sin 1cos 1.2827B B =-=-

=

同理可得7

213

137291972cos 2222

2

2

-=??-+=-+=

c

c c c c ab c b a C 2133sin 1cos 1.

2827C C =-=-= 从而

cos cos 51143

cot cot 33.sin sin 399B C B C B C +=

+=-=

【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”， 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：2

2

2

2

2

2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

== 【适时导练】

4.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B

C A B

+=

+,sin()cos B A C -=.

（1）求,A C ；（2）若33ABC S ?=+,求,a c . 【解析】(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B

+=

+，即sin sin sin cos cos cos C A B

C A B +=+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得3

C π

=

，所以.23

B A π+=

又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56

B A π-=（舍去） 得5,4

12

A B π

π

=

=

(2)162sin 332ABC S ac B ac ?+=

==+， 又

sin sin a c A C =, 即 23

=， 得22,2 3.a c == 问题五：判断三角形形状

【例8】在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC ?三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【解析】方法1：利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA ＝a cosB ∴222222

22b c a a c b b a bc ac +-+-?=?

∴222222

b c a a c b +-=+- ∴22a b = ∴a b =

故此三角形是等腰三角形.

方法2：利用正弦定理将边转化为角.

∵bcosA ＝a cosB 又b ＝2RsinB ，a ＝2RsinA ∴2RsinBcosA ＝2RsinAcosB ∴sinAcosB －cosAsinB ＝0 ∴sin （A －B ）＝0 ∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π ∴A －B ＝0，即A ＝B 故三角形是等腰三角形.

【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式. 【例9】. 在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b

a ，

试判断ABC ?三角形的形状.

【解析】：方法1：利用余弦定理将角化为边

由已知cosA cosB ＝b a 及正弦定理得cosA cosB ＝sinB

sinA ∴sin2A=sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2 ， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法2：利用正弦定理将边转化为角.

∵acosA ＝bcosB ∴22222222b c a a c b a b bc ac +-+-=∴

22222

()()0a b a b c -+-= ∴a=b 或者222

0a b c +-=故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

【适时导练】

5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A .等腰直角三角形

B .直角三角形

C .等腰三角形

D .等边三角形

【解析】2sinAcosB ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sinAcosB ＝sinC ，∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B

6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2

+b 2

）sin （A -B ）=（a 2

-b 2

）sin （A +B ），判断三角形的形状.

【解析】方法一 已知等式可化为a 2

［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2

［-sin （A +B ）-sin (A -B )］

∴2a 2cosAsinB =2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB =sin 2

BcosBsinA ∴sinAsinB (sinAcosA -sinBcosB )=0∴sin 2A =sin 2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =

2

π

-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2

cosAsinB =2b 2

sinAcosB 由正、余弦定理,可得

a

2

b b

c a c b 2222-+= b 2a ac

b c a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)( a 2+b 2-c 2)=0

∴a =b 或a 2

+b 2

=c 2

∴△ABC 为等腰或直角三角形. 问题六：与其他知识综合

【例10】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--?=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围. 【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。

【解析】（1）由0?=m n 得2

2

2

()()()0a c a c b b a a b c ab +-+-=?+-=

由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-=

== 0πC <

3

C ∴=

（2）π3C =

Q 2π3

A B ∴+= 2π2π2π

sin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333

A B A A A A A ∴+=+-=+-

3331

sin cos 3(sin cos )22

A A A A =+=+ π3sin()6

A =

+

2π03A <<

Q ππ5π666

A ∴<+< 1π

sin()126A ∴<+≤ 3π3sin()36A ∴<+≤ 即

3

sin sin 32

A B <+≤. 【思考】坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则： 向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r

，12)y y ±。

实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r

。 平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r =cos a b θr r

【适时导练】

7（2009浙江文）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 2A =，3AB AC ?=u u u

r u u u r ．

（I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）5

3

1)552(212cos

2cos 22

=-?=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2

=-=A A ，而35

3

cos ...===bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：

25

4

521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=-+=A bc c b a

问题7：三角实际应用

【例11】 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离. 【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。 【解析】如图所示在△ACD 中， ∠ACD =120°，∠CAD =∠ADC =30°， ∴AC =CD =3 km .

在△BCD 中，∠BCD =45°， ∠BDC =75°，∠CBD =60°.∴BC =

?

?60sin 75sin 3=226+.

△ABC 中，由余弦定理，得AB 2

=2

）3（+2

）2

26（

+-2×3×226+×cos 75° =3+2+3-3=5，∴AB =5(km ).∴A 、B 之间的距离为5 km .

课后自我检测

A 组

1.已知△ABC 中，12

cot 5

A =-，则cos A = ( )

【答案】 1213

-

2.在ABC ?中。若1b =，c 23

c π

∠=，则a= 。 【答案】 1

3.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a =1, b 则sinC= . 【答案】 1．

【解析】由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，

1sin sin 60

A =o

，即1sin 2A =．由a b <知，60A B <=o ，则30A =o ，

180180306090C A B =--=--=o o o o o ，sin sin 901C ==o

3.在ABC ?中，a =15, b =10,A=60°，则cos B =

A －

3 B 3 C －33

【答案】D

【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =可得1510

sin 60sin B

=

o 解得sin B =b a <，则B A <，故B 为锐角，所以

cos B ==

D 正确. 4．某人朝正东方向走x 千米后，向右转o

150并走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为

（ ）

A ．3

B ．32

C ．3或32

D ．3

【答案】C

5.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2

+c 2

-b 2

)tan B =3ac ,

则角B 的值为 （ ）

A.

6

π

B.

3π

C.

6π或56π

D.

3π或23

π

【答案】 D

6．已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=

．

（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数． 【解析】（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=

+，2BC AC AB +=，

两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积

,sin 6

1

sin 21C C AC BC =??，得31=?AC BC ，

由余弦定理，得cos C =BC

AC AB BC AC ?-+22

22

=

2

1

22)(22=?-?-+BC AC AB BC AC BC AC ， 所以60C =o

．

7．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足sin 3cos b A a B =． （I ）求角B 的值；（II ）若25

cos

25

A =，求sin C 的值． 【解析】（I ）由正弦定理得

B A A B cos sin 3sin sin =，

0sin ≠A 因为，即3tan =B ，

由于π<

π

=B ．

（II ）5

3

12cos

2cos 2

=-=A A ， 因为0sin >A ，故5

4

sin =

A ， 所以10

3

34cos 23sin 213sin sin +=+

=???

?

?+

=A A A C π．

8在ABC ?中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3=a ，3

1

2sin

=B ，求b ． 【解析】（Ⅰ）由1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ， 得1sin sin 4)sin sin cos (cos 2-=-+C B C B C B ， 即1)sin sin cos (cos 2-=-C B C B ． 从而1)cos(2-=+C B ，得2

1

)cos(-=+C B ． ∴3

2π

=

+C B ,故3π=A ．

（Ⅱ）由3

1

2sin

=B ，得3222cos =

B ， ∴9

2

42cos 2sin 2sin =

=B B B ． ∵A a

B b sin sin =

， ∴

2

339

24=b

，

解得9

6

8=

b ． 9. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟文科)已知向量1

(sin ,1),(3,)2

a x

b x =-=-r r ,函数

()()2f x a b a =+?-r r r

.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期T ;

(Ⅱ)已知a 、b 、c 分别为ABC ?内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,23,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ?的面积S . 【解析】