最新上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习

1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域 解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =

++-+

221cos 22sin cos 2x x x x =

++-

1cos 22cos 222

x x x =

+- s i n (2)

6

x π

=- 2T 2

π

π=

=周期∴ 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

（2）

5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-

在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调

递减，

所以 当3

x π=

时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

222f f π

π-

=-

<=，当12

x π

=-时，()f x 取最小值2-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为[

2．已知函数2

π()sin sin 2f x x x x ωωω??

=+ ??

?

（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03

??????

，上的取值范围．

解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=

+112cos 222

x x ωω=-+

π1sin 262x ω?

?=-+ ??

?．

因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以

2π

π2ω

=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262

f x x ??=-

+ ??

?． 因为2π03

x ≤≤， 所以ππ7π2666

x --≤≤，

所以1πsin 2126x ??-

- ??

?≤≤， 因此π130sin 2622x ?

?-

+ ??

?≤≤，即()f x 的取值范围为302??????

，．

3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1

2sin()1,sin().662

A A ππ-=-=

由A 为锐角得 ,6

6

3

A A π

π

π

-

=

=

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1

cos ,2

A =

所以2

2

1

3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2

2

f x x x x s x =+=-+=--+

因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3

2

.

当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-????

，

4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点

π132M ?? ???，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ??∈ ???

，，，且3()5f α=，12()13f β=，

求()f αβ-的值．

【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ?=+，将点1

(,)32M π代入得1

sin()32

π?+=，而0?π<<，536π

?π∴+=，2π?∴=，故()sin()cos 2

f x x x π

=+=； （

2

）

依

题意有312

cos ,cos 513

αβ==，而,(0,

)

2

π

αβ∈

，

45

sin ,sin 513

αβ∴====，

3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365

f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=

。

5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12

f t

g x x f x x f x x π

π=

=?+?∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.

解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x

x

g x x

x

x x

--=+++

2

2

22(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x

x

x x

--=+

1sin 1cos cos sin .cos sin x x

x

x x x

--=+

17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π??

∈π∴=-=- ???

1sin 1cos ()cos sin cos sin x x

g x x

x x x

--∴=+--

sin cos 2x x =+-

2.4x π??+

- ???

（Ⅱ）由1712x ππ≤

＜，得55.443

x πππ

+≤＜ sin t 在53,42ππ?? ???上为减函数，在35,23ππ??

???

上为增函数，

又5535sin

sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π??

∈π ??

?），

即1sin()2)23424

x x ππ

-≤+

-≤+--＜，＜， 故g (x )

的值域为)

2,3.?-?

6．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c

，a =tan

tan 4,22

A B C

++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c

解：由

tan

tan 422A B C ++=得cot tan 422

C C

+= ∴cos sin

224sin cos

22

C C C C

+= ∴14sin cos 22C C = ∴1

sin 2C =，又(0,)C π∈

∴566

C C ππ==，或

由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =

6

B C π

==

2()3A B C π

π=-+=

由正弦定理sin sin sin a b c

A B C ==得

1

sin 2sin B

b c a A ====

7.在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3

c C π

==.

⑴若ABC △

求,a b ;

⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.

说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．

解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2

2

4a b ab +-=， 又因为ABC △

1

sin 2

ab C =4ab =． ·

······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，

，

解得2a =，2b =． ·············································· 6分

（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，

即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=

，6

B π

=

，a =

b =，

当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?

，，

解得3a =

3b =．

所以ABC △

的面积1sin 23

S ab C =

=． ····················································· 12分 1.已知函数()sin()sin()cos (,)66

f x x x x a a R a π

π

=+

+-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；

(Ⅱ)若函数()f x 在[-

2π，2π

]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6

f x x x a π

=+

+cos x x a =++

2sin 6x a π?

?=++ ??

?

……………………5分

∴函数()f x 的最小正周期2T π=

………………………7分

(Ⅱ)∵,22x ππ??

∈-

????

，∴2363x πππ-≤+≤

(

)min 2f x f a π??

=-= ???……9分

()max 23f x f a π??

==+ ???

……11分

由题意，有()(2)a a ++=

∴1a =

……12分

2.（本小题12分）已知函数.2

1

)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-

+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调增区间；

解：（1）由????

??

?

==2

1)4

(23)0(πf f 得??

???==1

23

b a …………3分

)3

2sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-

+=x x x x x x x f ……6分 故最小正周期π=T （2）由)(2

23

22

2Z k k x k ∈+

≤+

≤-π

ππ

π

π

得 )(12

125Z k k x k ∈+≤≤-

π

πππ 故)(x f 的单调增区间为)](12

,125[Z k k k ∈+-π

πππ …………12分

3．已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2

+-=，将)(x f 的图象按向量)2,4

(π

-=→

b 平移后，

图象关于直线12

π

=

x 对称．

（Ⅰ）求实数a 的值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．

解：（Ⅰ）22cos 22sin 32)(--=x x a x f ，将)(x f 的图象按向量)2,4

(π

-=→

b 平移后

的解析式为2)4

()(++

=π

x f x g x a x 2cos 322sin 2+=．……………………………3分

)(x g 的图象关于直线12

π

=

x 对称，

∴有)6

()0(π

g g =，即a a 3332+=，解得1=a ． ……………………………5分

则2)6

2sin(422cos 22sin 32)(--=--=π

x x x x f ．

……………………………6分 当2

26

2π

ππ

+

=-

k x ，即3

π

π+

=k x 时，)(x f 取得最大值2．………………………7分

因此，)(x f 取得最大值时x 的集合是},3

{Z k k x x ∈+=π

π．…………………………8分

（Ⅱ）由2

26

22

2π

ππ

π

π+

≤-

≤-

k x k ，解得3

6

π

ππ

π+

≤≤-

k x k ．

因此，)(x f 的单调递增区间是]3

,6[π

πππ+-

k k )(Z k ∈．……………………………12分

4.已知向量= (θθsin ,cos ) 和=(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．

(1) 求||+的最大值；(2)当||+=

528时，求cos 28θπ??

+ ???

的值．

4．解：(1) ()

cos sin sin m n θθθθ+=-++ (2分)

(cos m n +=

(4分)

∵θ∈［π，2π］，∴

49445ππθπ≤+≤，∴)4

cos(π

θ+≤1 ||n m +max =22． (6分)

(2) 由已知825m n +=

,得7cos 425πθ?

?+= ??

? (8分) 又2cos 2cos ()1428πθπθ?

?

+

=+- ?

?

? ∴216cos ()2825

θπ+= (10分) ∵θ∈［π，2π］∴

898285π

πθπ≤

+≤，∴4cos 285θπ??+=- ???

． (12分) 。5.。已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），

).23,2(π

πα∈ （I ）若|,|||=求角α的值；

（II ）若α

α

αtan 12sin sin 2,12++-=?求BC AC 的值.

5、解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ，

αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴，

||cos BC ==由||||BC AC =得ααcos sin =. 又4

5),23,

2(

π

απ

πα=

∴∈ . （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=?αααα得

.3

2

cos sin =+∴αα①

又

.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222ααα

αα

ααααα=+

+=++ 由①式两边平方得,9

4cos sin 21=

+αα .9

5tan 12sin sin 2.

9

5

cos sin 22-=++∴-=∴ααααα

6.在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边，设2

2

2

2

2

()()4f x a x a b x c =---， （1）若(1)0f =，且B －C=

3

π

，求角C.（2）若(2)0f =，求角C 的取值范围. 6．解；（1）由f （1）=0，得a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c …………（1分）.

又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分）

∵B －C=3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3π

+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （3π）cosC + cos 3

π

sinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分）

∴tanC=

3

3

……………（5分） ∵角C 是三角形的内角，∴C=

6

π

…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2+2b 2－4c 2=0，即a 2+b 2－2c 2=0……………（7分）

由余弦定理，得cosC=ab

c b a 22

22-+……………………（8分）

=ab

b a b a 222

22

2

+-

+ ∴cosC=ab b a 422+2

1

42=≥ab ab （当且仅当a=b 时取等号）…………（10分）

∴cosC ≥

2

1， ∠C 是锐角，又∵余弦函数在（0，

2π）上递减，∴.0

π

………………（12分） 7． A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c. 若m ＝(－cos A 2，sin A

2

)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝1

2.（1）求A ；

（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值.

7.解：（1）∵m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝1

2

， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12

，………………………………………………2分 即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2

3π………………………………5分

（2）S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12b ·c ·sin

2

3π＝3，∴bc ＝4 …………………7分

又由余弦定理得：a 2

=b 2

+c 2

－2bc ·cos120°＝b 2

+c 2

+bc ………………10分 ∴16＝(b +c )2

，故b +c ＝4.……………………………………………12分

8.已知向量m →=（sin B ，1－cos B )，且与向量n →=(2，0)所成角为π3 ，其中A, B, C

是△ABC 的内角．

(1)求角Ｂ的大小；

(2)求sinA+sinC 的取值范围．(本题满分12分)

8.解：（1）∵m →=（sinB ，1-cosB) ,与向量n →=（2，0）所成角为

,3

π

∴

,3sin cos 1=-B B

……………………………………………………………3分

∴tan ,3

,32,32032π

πππβ=+==∴<<=C A B B B 即又 …………………6分

（2）：由（1）可得∴)3

sin(cos 23sin 21)3

sin(

sin sin sin π

π

+=+=

-+=+A A A A A C A ……………………………………8分

∵3

0π

<

∴

3

23

3

π

π

π

<

+

∴sin(A+π3 )∈( 3 2 ,1],∴sinA+sinC ∈( 3

2 ,1].

当且仅当1sin sin ,6

=+=

=C A C A 时π

…………………………………12分

9.(本题满分12分)在△ABC 中，已知(a +b +c )(a +b －c )=3ab ，且2c osAsinB=sinC ，求证：△ABC 为等边三角形

9.解 由已知得：2

2

()3a b c ab +-=，即222

a b c ab +-=

∴2221

cos 22

a b c C ab +-=

= 即 ∠C=60? (1)

又 C=180?－(A+B)

∴sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosA sinB 由已知：sinC=2cosA sinB

∴sinA cosB －cosA sinB=0即sin(A －B)=0 A 、B 为三角形内角，A －B ∈(－180?，180?) ∴A －B=0? 即A=B

(2)

∴由(1)(2)可知：ΔABC 为等边三角形

10.（12分）已知ABC ?中?=?+?-)(2

,边AB 、BC 中点分别

为D 、E （1）判断ABC ?的形状

（2）若0=?，求B 2sin

10解：（1）由已知化简得CB CA BC AC AB AB ?=+-)( 即0=?CB CA 得；ABC ?为直角三角形------------6分 （2）设A(a,0)B(0,b)则E(0,

2b ),D(2

,2b

a ) 04222=+-=?

b a sinB=33

22=

+b

a a ∴3222sin =B ----------------12分 11．已知△ABC 内接于单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，

（1） 求证：内角C 为定值；

（2） 求△ABC 面积的最大值.

11. 本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识.

（1） 证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2?tanA ＋tanB ＝1－tanAtanB

?tan （A ＋B ）＝1. …………………… 3/

∵A 、B 为△ABC 内角， ∴A ＋B ＝

4

π

. 则 C ＝43π（定值）. …… 6/

（2） 解：已知△ABC 内接于单位圆， ∴△ABC 外接圆半径R=1.

∴由正弦定理得：2sin 2==C R c ，A a sin 2=，B b sin 2=.…… 8/

则△ABC 面积S ＝

B ac sin 21＝B A sin sin 2＝B B sin )4

sin(2-π

＝B B B sin )sin (cos -＝B B B 2

sin sin cos -

＝)2cos 1(2

1

2sin 21B B --＝21)42sin(22-+πB …… 10/ ∵ 0

4

π

， ∴43424πππ<+

故 当8

π

=

B 时，△AB

C 面积S 的最大值为

2

1

2-. …………………… 12/ 12.设函数f （x ）=m ·n ，其中向量m =（2cosx,1）,n =（cos x ,3sin2x ），x ∈R. （1）求f （x ）的最小正周期；

（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=2，a =3，b+c=3

（b ＞c ），求b 、c 的长.

12．（1）f (x )=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +

)6

π ∴f (x )的最小正周期为π.

（2）∵f (A)=2，即1+2sin(2A ＋

)6π

=2，∴sin(2A+)6π=2

1

∵6π＜2A+6π＜π613 ∴2A+6π=π65

. 3

π=∴A 由cosA=2

1=

,22

22bc a c b -+即(b+c)2-a 2=3bc, ∴bc =2.又b +c =3(b ＞c ), ∴??

?==1

2

c b

13.已知△ABC 的面积为1，tanB=

2

1

，tanC=－2，求△ABC 的边长及tanA ． 13．tanA =tan ［π－（B+C ）］=－tan （B+C ），

=－4

3112

21

tan tan 1tan tan =+-=-+C B C B ．

2分

∵tanB=

21，0

π

， ∴sinB=55，cosB=552，

又tanC=－2，2

π

∴sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC=

55（－5

5）+552·552=53 6分

∵

,sin sin B b

A a =∴a=

b B A b 5

3sin sin =，

8分

又S △ABC =21absinC=21

·5

3b 2·552=1，

解得b=

3

15

，于是a=3， 10分

∴c=

3

15

2sin sin =A C a ．

12分

14．（12分）已知函数

)

4

sin(sin )

2sin(

22cos 1)(2π

π

+

++-+=

x a x x x x f (1)求函数y = f （x ）的单调递增区间；

(2)若函数 y = f （x ）的最小值为

4，试确定常数a 的值．

14．（12分）解：

)

4

sin(sin )

2

sin(21cos 21)(22π

π

+++--+=

x a x x x x f

)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x …3分

)

4sin()2()4

sin()4

sin(222π

π

π

+

+=+

++

=x a x a x …………………6分

（1）由x +

4π

∈［2k π－2π，2k π＋2

π］（k ∈Z ）得 x ∈［2k π－34π，2k π＋4

π

］（k ∈Z ）

∵sin(

)cos 02

x x π

-=≠ ∴()2

x k k z π

π≠+

∈

∴ 函数y = f （x ）的单调递增区间是 [2k π－34π，2k π－2π], ( 2k π－2

π，2k π＋4π

］（k ∈Z ）．…9分

（2）由已知得2

)4a -=， ∴ a = ±2 ．………………………12分