2019-2020年高中数学 11.1《随机事件的概率》备课资料 旧人教版必修
2019-2020年高中数学 11.1《随机事件的概率》备课资料旧人教版必修
一、参考例题
［例1］先后抛掷3枚均匀的一分，二分，五分硬币.
(1)一共可能出现多少种不同的结果？
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？
(3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？
分析：(1)由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有2×2×2=8种.
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的情况可从(1)中8种情况列出.
(3)因为每枚硬币是均匀的，所以(1)中的每种结果的出现都是等可能性的.
解：(1)∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况,
抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况,
抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况,
∴共可能出现的结果有2×2×2=8种.
故一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为：
(正，正，正)，(正，正，反)，
(正，反，正)，(正，反，反)，
(反，正，正)，(反，正，反)，
(反，反，正)，(反，反，反).
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).
(3)∵每种结果出现的可能性都相等，
∴事件A“2枚正面，1枚反面”的概率为P(A)=.
［例2］甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率.
分析：这里从甲、乙、丙、丁中选3名代表就是从4个不同元素中选3个元素的一个组合，也就是一个基本事件.
解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁选为代表.
∵每种选为代表的结果都是等可能性的，甲被选上的事件个数m=3,
∴甲被选上的概率为.
［例3］袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.
(1)共有多少种不同结果？
(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
(4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.
分析：(1)设从4个白球，5个黑球中，任取3个的所有结果组成的集合为I，所求结果种数n就是I中元素的个数.
(2)设事件A：取出的3球,2个是白球，1个是黑球，所以事件A中的结果组成的集合是I 的子集.
(3)设事件B：取出的3球至少有2个白球，所以B的结果有两类：一类是2个白球，1个黑球；另一类是3个球全白.
(4)由于球的大小相同，故任意3个球被取到的可能性都相等.故由P(A)=,P(B)= ，可求事件A、B发生的概率.
解：(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I,
∴card(I)==84.
∴共有84个不同结果.
(2)设事件A：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A,
∴card(A)=·=30.
∴共有30种不同的结果.
(3)设事件B：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B,
∴card(B)=+·=34.
∴共有34种不同的结果.
(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同,
∴事件A发生的概率为,事件B发生的概率为.
二、参考练习
1.选择题
(1)如果一次试验中所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率
A.都是1
B.都是
C.都是
D.不一定
答案：B
(2)抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的数都是3的概率是
A. B.1
C. D.
答案：D
(3)把十张卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率是
A. B.
C. D.
答案：D
(4)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为
A. B.
C. D.
答案：D
(5)甲袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从2个袋内各摸出一个球，那么等于
A.2个球都是白球的概率
B.2个球中恰好有一个是白球的概率
C.2个球都不是白球的概率
D.2个球都是白球的概率
答案：B
(6)某小组有成员3人，每人在一个星期(7天)中参加一天劳动，如果劳动日可任意安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为
A. B.
C. D.
答案：C
2.填空题
(1)随机事件A的概率P(A)应满足________.
答案：0≤P(A)≤1
(2)一个口袋内装有大小相同标号不同的2个白球，2个黑球，从中任取一个球，共有________种等可能的结果.
答案：4
(3)在50瓶饮料中，有3瓶已经过期，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率是________.
答案：
(4)一年以365天计，甲、乙、丙三人中恰有两人在同天过生日的概率是________.
解析：P(A)=.
答案：
(5)有6间客房准备安排3名旅游者居住，每人可以住进任一房间，且住进各房间的可能性相等，则事件A：“指定的3个房间各住1人”的概率P(A)=________；事件B：“6间房中恰有3间各住1人”的概率P(B)=________；事件C：“6间房中指定的一间住2人”的概率P(C)=________.
解析：P(A)=；
P(B)=；
P(C)=.
答案：
3.有50张卡片(从1号到50号)，从中任取一张，计算：
(1)所取卡片的号数是偶数的情况有多少种？
(2)所取卡片的号数是偶数的概率是多少？
解：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有25种.
(2)所取卡片的号数是偶数的概率为P==.
●备课资料
一、参考例题
［例1］一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在此楼的同一单元的概率.
分析：因为李明住在此楼的情况有6种，王强住在此楼的情况有6种，所以他们住在此楼的住法结果有6×6=36个，且每种结果的出现的可能性相等.而事件A：“李明和王强住在同一单元”含有6个结果.
解：∵李明住在这栋楼的情况有6种，王强住在这栋楼的情况有6种,
∴他们同住在这栋楼的情况共有6×6=36种.
由于每种情况的出现的可能性都相等,
设事件A：“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A所含的结果有6种,
∴P(A)=.
∴李明和王强住在此楼的同一单元的概率为.
评述：也可用“捆绑法”，将李明和王强视为1人，则住在此楼的情况有6种.
［例2］在一次口试中，要从10道题中随机选出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格.某考生会回答10道题中的8道，那么这名考生获得及格的概率是多少？
分析：因为从10道题中随机选出3道题，共有种可能的结果，而每种结果出现的可能性都相等，故本题属于求等可能性事件的概率问题.
解：∵从10题中随机选出3题，共有等可能性的结果个.
设事件A：“这名考生获得及格”，则事件A含的结果有两类，一类是选出的3道正是他能
回答的3题，共有种选法;另一类是选出的3题中有2题会答，一题不会回答，共有·种选法，所以事件A包含的结果有+·个.
∴P(A)=.
∴这名考生获得及格的概率为.
［例3］7名同学站成一排，计算：
(1)甲不站正中间的概率；
(2)甲、乙两人正好相邻的概率；
(3)甲、乙两人不相邻的概率.
分析：因为7人站成一排，共有种不同的站法，这些结果出现的可能性都相等.
解：∵7人站成一排，共有种等可能性的结果,
设事件A：“甲不站在正中间”；
事件B：“甲、乙两人正好相邻”；
事件C：“甲、乙两人正好不相邻”；
事件A包含的结果有6个；
事件B包含的结果有个;
事件C包含的结果有·个.
(1)甲不站在正中间的概率P(A)=.
(2)甲、乙两人相邻的概率P(B)=.
(3)甲、乙两人不相邻的概率P(C)=.
［例4］从1，2，3，…，9这九个数字中不重复地随机取3个组成三位数，求此数大于456的概率.
分析：因为从1，2，3，…，9这九个数字中组成无重复数字的三位数共有=504个，且每个结果的出现的可能性都相等，故本题属求等可能性事件的概率问题.由于比456大的三位数有三类：(1)百位数大于4，有·=280个;(2)百位数为4，十位数大于5，有·=28个;(3)百位数为4，十位数为5，个位数大于6有2个,因此，事件“无重复数字且比456大的三位数”包含的结果有280+28+3=311个.
解：∵由数字1，2，3，…，9九个数字组成无重复数字的三位数共有=504个，而每种结果的出现的可能性都相等.其中，事件A：“比456大的三位数”包含的结果有311个, ∴事件A的概率P(A)=.
∴所求的概率为.
［例5］某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等，若选出的2人性别相同的概率是，求该班男生、女生的人数.
分析：由于每人当选的可能性都相等，且从全班36人中选出2人去完成一项任务的选法有种，故这些当选的所有结果出现的可能性都相等.
解：设该班男生有n人，则女生(36-n)人.(n∈N*,n≤36)
∵从全班的36人中，选出2人，共有种不同的结果，每个结果出现的可能性都相等.其中，事件A：“选出的2人性别相同”含有的结果有(+)个,
∴P(A)=.
∴n2-36n+315=0.
∴n=15或n=21.
∴该班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.
评述：深刻理解等可能性事件概率的定义，能够正确运用排列、组合的知识对等可能性事件进行分析、计算.
二、参考练习
1.选择题
(1)十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为
A. B.
C. D.
答案：D
(2)将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是
A. B.
C. D.
答案：A
(3)从数字0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率等于
A. B.
C. D.
答案：B
(4)盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个不合格铁钉的概率为
A.0.9
B.
C.0.1
D.
答案：D
(5)将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是
A. B.
C. D.1
答案：C
2.填空题
(1)从甲地到乙地有A 1，A 2，A 3，A 4共4条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3共3条路线，其中A 1B 1是甲地到丙地的最短路线，某人任选了一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为________.
答案：
(2)袋内装有大小相同的4个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个白球的概率为________.
答案：
(3)有数学、物理、化学、语文、外语五本课本，从中任取一本，取到的课本是理科课本的概率为________.
答案：
(4)从1，2，3，…，10这10个数中任意取出4个数作为一组，那么这一组数的和为奇数的概率是________.
答案：
(5)一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚好十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴儿能使得排成的顺序为“xx 北京”或“北京xx ”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为________.
解:由题意，知婴儿受到夸奖的概率为P =1801A A 22
2
66
.
(6)在xx 年8月18日雅典奥运会上,两名中国运动员和4名外国运动员进入双多向飞蝶射击决赛.若每名运动员夺得奖牌(金、银、铜牌)的概率相等,则中国队在此项比赛中夺得奖牌的概率为________.
解:由题意可知中国队在此项比赛中不获得奖牌的概率为P 1=.
则中国队获得奖牌的概率为P =1-P 1=1-.
3.解答题
(1)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中任取2枝，求：
①恰好都取到正品的概率；
②取到1枝正品1枝次品的概率；
③取到2枝都是次品的概率.
解：①.
②.
③.
(2)某球队有10人，分别穿着从1号到10号的球衣，从中任选3人记录球衣的号码，求： ①最小的号码为5的概率；
②最大的号码为5的概率.
解：①.
②.
(3)一车间某工段有男工9人，女工5人，现要从中选3个职工代表，求3个代表中至少有一名女工的概率. 解：13
10C C C C C C 3143519252915=+?+?. (4)从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两数相乘而得到积，求：
①积为零的概率；
②积为负数的概率；
③积为正数的概率.
解：①；
②；
③.
(5)甲袋内有m 个白球，n 个黑球；乙袋内有n 个白球，m 个黑球，从两个袋子内各取一球.求：
①取出的两个球都是黑球的概率；
②取出的两个球黑白各一个的概率；
③取出的两个球至少一个黑球的概率.
解：①;
②;
③. ●备课资料
一、参考例题
［例1］一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6.求：
(1)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和是6的概率.
(2)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和小于5的概率.
分析：以(x 1,x 2)表示先后抛掷两次玩具朝上的面的数，x 1是第一次朝上的面的数，x 2是第
二次朝上的面的数，由于x 1取值有6种情况，x 2取值也有6种情况，因此先后两次抛掷玩具所得的朝上面数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现都是等可能性的.
解：设(x 1,x 2)表示先后两次抛掷玩具后所得的朝上的面的数，其中x 1是第一次抛掷玩具所得的朝上的面的数，x 2是第二次抛掷玩具所得的朝上的面的数.
∵先后两次抛掷这个玩具所得的朝上的面的数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现的可能性都相等.
(1)设事件A 为“2次朝上的面的数之和为6”，
∵事件A 含有如下结果：
(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，
∴P (A )=.
(2)设事件B 为“2次朝上的面上的数之和小于5”，
∵事件B 含有如下结果：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个，
∴P (B )=.
［例2］袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的，5枚是壹分的.现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率.
分析：由于从10枚硬币中，任取5枚所得的钱数结果出现的可能性都相等.
记事件A ：“取出的5枚对应的钱数不超过壹角”，
∴事件A 含有结果有：
①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共··种取法.
②1枚伍分，4枚壹分，共·种取法.
③3枚贰分，2枚壹分，共·种取法.
④2枚贰分，3枚壹分，共·种取法.
⑤1枚贰分，4枚壹分，共·种取法.
⑥5枚壹分共C 种取法.
∴P (A )=510
55451335232533451235131
2C C C C C C C C C C C C C +?+?+?+?+??=. ［例3］把10个足球队平均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在：(1)不同组的概率；
(2)同一组的概率.
分析：由于把10支球队平均分成两组，共有种不同的分法，而每种分法出现的结果的可能性都相等.
(1)记事件A ：“最强两队被分在不同组”，这时事件A 含有种结果.
∴P (A )=95C 2
1A C 215102248=?. (2)记事件B ：“最强的两队被分在同一组”，这时事件B 含有种.
∴P (B )=94C 2
1C 51038=. ［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐标系中，点(x ,y )的坐标x ∈A , y ∈A ,且x ≠y ,计算：
(1)点(x,y)不在x轴上的概率；
(2)点(x,y)正好在第二象限的概率.
分析：由于点(x,y)中，x、y∈A,且x≠y,所以这样的点共有个，且每一个结果出现的可能性都相等.
解：∵x∈A,y∈A,x≠y时，点(x,y)共有个，且每一个结果出现的可能性都相等，
(1)设事件A为“点(x,y)不在x轴上”，
∴事件A含有的结果有·个.
∴P(A)=.
(2)设事件B为“点(x,y)正好在第二象限”，
∴x＜0,y＞0.
∴事件B含有·个结果.
∴P(B)=.
［例5］从一副扑克牌(共52张)里，任意取4张，求：
(1)抽出的是J、Q、K、A的概率；
(2)抽出的是4张同花牌的概率.
解：∵从一副扑克牌(52张)里，任意抽取4张，共有种抽法.每一种抽法抽出的结果出现的可能性都相等,
(1)设事件A：“抽出的4张是J，Q，K，A”,
∵抽取的是J的情况有种,
抽取的是Q的情况有种,
抽取的是K的情况有种,
抽取的是A的情况有种,
∴事件A含有的结果共有44个.
∴P(A)==.
(2)设事件B：“抽出的4张是同花牌”,
∴事件B中含·个结果.
∴P(B)=.
二、参考练习
1.选择题
(1)某一部四册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1，2，3，4册的概率等于
A. B.
C. D.
答案：C
(2)在100件产品中，合格品有96件，次品有4件，从这100件产品中任意抽取3件，则抽取的产品中至少有两件次品的概率为
A. B.
C. D.
答案：C
(3)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选3台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是
A. B.
C. D.
答案：D
(4)正三角形各顶点和各边中点共有6个点，从这6个点中任意取出3个点构成的三角形
恰为正三角形的概率是
A. B.
C. D.
答案：D
(5)在由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意抽取一个，正好抽出两位自然数的概率是
A. B.
C. D.
答案：A
2.填空题
(1)设三位数a、b、c,若b＜a,c＞a,则称此三位数为凹数.现从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字，组成三位数，其中是凹数的概率是________.
答案：
(2)将一枚硬币连续抛掷5次，则有3次出现正面的概率是________.
答案：
(3)正六边形的各顶点和中心共有7个点，从这7个点中任意取3个点构成三角形，则构成的三角形恰为直角三角形的概率是________.
解：P=.
答案：
(4)商品A、B、C、D、E在货架上排成一列，A、B要排在一起，C、D不能排在一起的概率是________.
解：P===.
答案：
(5)在平面直角坐标系中，点(x,y)的x、y∈{0,1,2,3,4,5}且x≠y,则点(x,y)在直线y=x的上方的概率是________.
解：P===.
答案：
3.解答题
(1)已知集合A={a,b,c,d,e},任意取集合A的一个子集B，计算：
①B中仅有3个元素的概率;
②B中一定含有a、b、c的概率.
解：①P=.
②P=.
(2)某号码锁有六个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数号码(开锁号码)时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开一次就能打开锁的概率是多少？如果未记准开锁号码的最后两位数字，在使用时随意拨下最后两位数字，正好把锁打开的概率是多少？
解：①P=.
②P=.
(3)9国乒乓球队内有3国是亚洲国家，抽签分成三组进行预赛(每组3队)，试求：
①三个组中各有一个亚洲国家球队的概率；
②三个亚洲国家集中在某一组的概率.
解：①P=［］÷［］=.
②P=·÷［］=.
(4)将m个编号的球放入n个编号的盒子中，每个盒子所放的球数k满足0≤k≤m,在各种放法的可能性相等的条件，求：
①第一个盒子无球的概率；
②第一个盒子恰有一球的概率.
解：①P=()m.
②P=·()n-1.