文献综述范例

题目：面向多领域物理系统统一模型的求解引擎研究

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华中科技大学研究生院制

根据CAD中心目前的发展方向，以课题为驱动，结合国内外相关领域的发展趋势，确定本人研究论文题目为“面向多领域物理系统统一模型的求解引擎研究”，具体研究面向多体系统动力学模型的求解引擎和面向多领域物理系统统一模型的求解引擎。

下面，从计算多体动力学和多领域物理系统建模与仿真两个角度对国内外研究现状进行综述，并进行总结，进一步指出目前存在的问题和可能的发展方向。

一、国内外研究现状

1.1 计算多体系统动力学

1.1.1 多体系统动力学数学模型

计算多体系统动力学的概念首由E.J.Haug[1]提出，是指用计算机数值手段来研究复杂机械系统的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析的理论和方法。

计算多体系统动力学中所研究的多体系统，根据系统中物体的力学特性可分为多刚体系统、柔性多体系统和刚柔混合多体系统[2]。多刚体系统是指可以忽略系统中物体的弹性变形而将其当作刚体来处理的系统，该类系统常处于低速运动状态；柔性多体系统是指系统在运动过程中会出现物体的大范围运动与物体的弹性变形的耦合，从而必须把物体当作柔性体处理的系统，大型、轻质而高速运动的机械系统常属此类；如果柔性多体系统中有部分物体可以当作刚体来处理，那么该系统就是刚柔混合多体系统，这是多体系统中最一般的模型。

对于多刚体系统，自二十世纪六十年代以来，在航天和机械两个领域分别形成了两种不同的数学建模方法[2][3]，分别称为拉格朗日方法和笛卡尔方法，这两种建模方法的区别在于对刚体位形描述的不同。

航天领域是以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位置由铰的广义坐标（又称拉格朗日坐标）来描述。这样开环系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵q所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即

(1)

q

B

t

q

A

(t

,

),

q

(

),

q

这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，易转化

为常微分方程组（ODEs - Ordinary Differential Equations ），但方程呈严重非线性，为使方程具有程式化与通用性，在矩阵A 与B 中常常包含描述系统拓扑的信息，其形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。

机械领域是以系统每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标统一为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标，在二维系统中为3个，三维系统中为6个。对于由N 个刚体组成的系统，位置坐标阵q 中的坐标个数为3N （二维）或6N （三维），由于铰的存在，这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为

???=Φ=Φ+0

),(t q B q A T

q λ ………………………………………………….…… (2) 式中Φ为位置坐标阵q 的约束方程，q Φ为约束方程的雅可比矩阵，λ为拉格朗日乘子。这类数学模型就是微分-代数方程组（DAEs - Differential Algebraic Equations ），也称为欧拉-拉格朗日方程组（Euler-Lagrange Equations ），其方程个数较多，但系数矩阵呈稀疏状，适宜于计算机自动建立统一的模型进行处理。目前国际上最著名的两个动力学分析商业软件ADAMS 和DADS 都是采用这种建模方法[4]。

对于柔性多体系统，自二十世纪八十年代后在建模方法上渐趋成熟。从计算多体系统动力学角度看，柔性多体系统动力学的数学模型首先应该和多刚体系统与结构动力学有—定的兼容性。当系统中的柔性体变形可以不计时，即退化为多刚体系统。当部件间的大范围运动不存在时，即退化为结构动力学问题[2]。

柔性多体系统不存在连体基，通常选定一浮动坐标系描述物体的大范围运动，物体的弹性变形将相对该坐标系定义。弹性体相对于浮动坐标系的离散将采用有限单元法与现代模态综合分析方法。在用集中质量有限单元法或一致质量有限单元法处理弹性体时，用结点坐标来描述弹性变形。在用正则模态或动态子结构等模态分析方法处理弹性体时用模态坐标描述弹性变形。这就是莱肯斯首先提出的描述柔性多体系统的混合坐标方法。即用坐标阵T T T a q p )(=描述系统的位形，其巾q 为浮动坐标系的位形坐标，a 为变形坐标。考虑到多刚体系统的两种流派，在柔性多体系统动力学中也相应提出两种混合坐标，即浮动坐标系的拉格朗日坐标加弹性坐标与浮动坐标系的笛卡尔坐标加弹性坐标[2]。

根据动力学基本原理推导的柔性多体系统动力学方程，形式同式（1）和（2），只是将q 用p 代替。即，柔性多体系统具有与多刚体系统类同的动力学数学模型。

1.1.2 多体系统动力学数值求解

多刚体系统拉格朗日方法产生的形如式（1）的动力学数学模型，是形式复杂的二阶常微分方程组（ODEs ），系数矩阵包含描述系统拓扑的信息。对于该类问题的求解，通常采用符号-数值相结合的方法或者全数值的方法[5]。符号-数值方法是先采用基于计算代数的符号计算方法，进行符号推导，得到多刚体系统拉格朗日模型系数矩阵简化的数学模型，再用数值方法求解ODE 问题。鉴于计算机技术的发展，目前全数值方法也较为流行，就是将多刚体系统拉格朗日数学模型当作一般ODE 问题进行求解，这方面的技术已经非常成熟[6]。

多刚体系统笛卡尔方法产生的形如式（2）的动力学数学模型，是著名的微分-代数方程组（DAEs ）。DAE 问题是计算多体系统动力学领域的热点问题。

柔性多体系统的动力学数学模型，其形式与多刚体系统相同，可以借鉴多刚体系统数学模型的求解方法。只是混合坐标中描述浮动坐标系运动的刚体坐标q 通常是慢变大幅值的变量，而描述相对于浮动坐标系弹性变形的坐标a 却为快变微幅的变量，两类变量出现在严重非线性与时变的耦合动力学方程中，其数值计算呈病态，将出现多刚体系统中见不到的数值计算困难[2]。

综上所述，多体系统动力学问题的求解集中于微分-代数方程组的求解，下面将对多体系统动力学微分-代数方程组数值计算问题集中综述。

1.1.

2.1 微分-代数方程组的特性

多刚体系统采用笛卡尔方法建模生成的微分-代数方程组为：

0),,(),(),(=-Φ+t q q Q t q q

t q M T

q λ………………………… (3) 0),(=Φt q ……………………………………………………..… (4) 其中，q 、q

、n R q ∈ 分别是系统位置、速度、加速度向量，m R ∈λ是拉格朗日乘子，R t ∈是时间，n n R M ?∈为机械系统惯性矩阵，n m q R ?∈Φ为约束雅可比矩阵，n R Q ∈为外力向量，m R ∈Φ为位置约束方程。

将式(1.4)对时间求一阶和二阶导数，得到速度和加速度约束方程：

0),(),(),,(=-Φ=Φ

t q q t q t q q q υ …………………………….. (5) 0),,(),(),,,(=-Φ=Φ

t q q q t q t q q q q η………………………. (6) 其中，),(t q t Φ-=υ称为速度右项，tt qt q q q q q Φ-Φ-Φ-= 2)(η称为加速度右项。

给定方程组初始条件：

???==0

0)0()0(q q q q (7)

微分-代数方程组的特性和需要注意的问题有：

1.微分-代数方程问题不是常微分方程（ODE）问题[7]；

2.由式(3)和(4)组成的微分-代数方程组是指标3问题[8]，通过对约束方程求导化

为由式(3)-(6)组成的微分-代数方程组后，其指标降为1；

3.微分-代数方程数值求解的关键在于避免积分过程中代数方程的违约现象；

4.初值式(7)与位置约束式(5)及速度约束式(6)的相容性；

5.微分-代数方程组的刚性问题。

1.1.

2.2 微分-代数方程组的实时积分技术

自二十世纪七十年代以来，国际上对微分-代数方程问题作了大量的研究，时至如今，新的算法仍不断涌现。根据对位置坐标阵和拉格朗日乘子处理技术的不同，可以将微分-代数方程组问题的处理方法分为增广法和缩并法[2][9]。

1. 增广法

传统的增广法是把广义坐标加速度q 和拉格朗日乘子λ作为未知量同时求解，再对加速度q 进行积分求出广义坐标速度q 及广义坐标位置q，包括直接积分法和约束稳定法。近十年来，在传统增广法的基础上又发展形成了超定微分-代数方程组（ODAEs）方法等新的一类算法。

直接积分法[1]：将式(3)和(6)联立在一起，同时求出q 与λ，然后对q 积分得q 和q。该方法未考虑式(4)和(5)的坐标和速度违约问题，积分过程中误差积累严重，很易发散。在实际的数值计算过程中，并不直接采用直接积分法，但在直接积分法的基础上发展了一系列控制违约现象的数值方法。

约束稳定法[10][11][12]：将控制反馈理论引入微分-代数方程组的数值积分过程以控制违约现象。通过把式(6)右边量替换为含位置约束和速度约束的参数式，保证位置约束和速度约束在式(3)和(6)联立求解时恒满足。该方法稳定性好，响应快，但如何选择参数式中速度项和位置项适当的系数是一个问题。

对于约束稳定法中参数式速度项和位置项系数的合理选择，国内外作了不少研究，如文献[13][14]提出一种对位置约束方程用Tailer展开得到约束稳定法的速度项和位置项系数的方法，并进一步提出一种对位置、速度约束方程同时进行Tailer展开的所谓位置约束方程和速度约束方程同时自动修正的方法；文献[15]提出用修正的Adams-Moulton预估-校正法来提高约束稳定法的稳定性。

超定微分-代数方程组（ODAEs）法[16][17][18][19]：将系统速度作为变量引入微分-代数方程组，从而将原来的二阶DAE化为超定的一阶DAE，再为所得方程组引入未知参数，根据模型的相容性消除系统的超定性，如此可使数值计算的稳定性明显改变。

或者将系统位置、速度、加速度向量和拉格朗日乘子向量联立作为系统广义坐标，再将由式(3)、(4)、(5)和(6)组成的微分-代数方程组及速度与位置、加速度与速度的微分关系式作为约束，化二阶DAE 为超定的一阶DAE ，再根据系统相容性引入二个未知参数，消除超定性，这样所得的最终约化模型更为简单，但方程组要多n 个。在ODAE 方法的基础上产生了一系列新的更为有效的算法。

解耦ODAE 法[20][21]：在ODAE 方法的基础上，发展形成了一类解耦思想，就是在ODAEs 基础上，对常用的隐式ODE 方法采用预估式，再按加速度、速度和位置的顺序进行求解。后来进一步发展形成了无需对隐式ODE 方法利用预估式的解耦思想，更一步地提高了效率。

2. 缩并法

缩并法就是通过各种矩阵分解方法将描述系统的n 个广义坐标用p 个独立坐标表达，从而将微分-代数方程组从数值上化为与式(1)类似的数学模型，如此易于用ODE 方法进行求解。传统的缩并法包括LU 分解法、QR 分解法、SVD 分解法以及零空间方法等，后来在传统缩并法的基础上产生了局部参数化缩并方法等新的算法。缩并法中的这些具体方法，分别对应着约束雅可比矩阵的不同分解。

LU 分解法[22]：又称为广义坐标分块法。把广义位置坐标q 用相关坐标u 和独立坐

标v 分块表示，再将约束雅可比矩阵q Φ用LU 分解法分块，得到广义坐标速度q

、加速度q

用独立坐标速度v 、加速度v 表达的式子。将这两个表达式代入式(3)，就可得到形如式(1)的关于独立坐标加速度v

的二阶微分方程。该算法可靠、精确，并可控制误差，但效率稍低。

综合LU 分解法和约束稳定法的优点，文献[1][23]提出了混合算法，它具有广义坐标分块法中可靠性和积极的误差控制的特性，并且接近约束稳定法的运算速度。文献[24]把用于结构动力学的Newmark 法引入LU 分解法，以提高稳定性。

QR 分解法[25][26][27]：通过对约束雅可比矩阵q Φ正交分解的结果作微分流型分析，

得到可选作受约束系统独立速度的z ，并将微分-代数方程组化作形如式(1)的关于z

的二阶微分方程，如此可保证在小时间间隔内由z

积分引起的广义坐标的变化不会导致大的约束违约。

SVD 分解法[28]：把约束雅可比矩阵q Φ作奇异值分解所得结果分别用于式(3)和(6)，得到缩并后的系统动力学方程。在该方法推导过程中没有用到式(4)和(5)，所以也存在位置和速度违约问题，可用约束稳定法改善其数值性态。

可微零空间法[29]：通过Gram-Schmidt 正交化过程自动产生约束雅可比矩阵q Φ的可微、唯一的零空间基，来对系统方程降阶。具体做法是对由n m q R

?∈Φ和任意矩阵

n m n R B ?-∈)(构造的矩阵n n R P ?∈采用Gram-Schmidt 正交化过程，将P 化为正交非奇

异矩阵V 。再引入新的速度矢量n R z

∈ ，使满足q V z T =，将新速度矢量z 和加速度矢量z

按正交化结果分块，得到新的独立速度矢量I z 和加速度矢量I z 。如此可将微分-代数方程组化为关于新的独立加速度矢量I z

的动力学方程。 局部参数化缩并方法[30][31]：先将式(3)-(6)改写为等价的一阶形式，再用微分流形理论的切空间局部参数化方法将等价的欧拉-拉格朗日方程降为参数空间上的常微分方程。

文献[32]提出的一种新方法也属此类，但更易理解。它是把时间并入广义坐标讨论，化式(3)-(6)为指标1的一阶模型，再引入局部等价方程组概念对其作局部数值离散。

3. 其它方法

总的说来，微分-代数方程组数值求解的方法都可归为增广法或缩并法，除了上面所介绍的这些增广法和缩并法所运用的增广和缩并技术外，近几年来还出现了不少独具特色的处理算法，它们或者是在数值求解算法中独具匠心，或者针对某些具体情况作了专门研究。

文献[33]提出，对于用笛卡尔坐标建模的系统，先将微分-代数方程组化为关于拉格朗日乘子的线性形式，然后用基于系统拓扑图的方法对其系数矩阵进行简化。

鉴于递归公式在求解大规模约束机械系统运动方程上的有效性，文献[34]推广了递归公式，并用速度变换公式将运动方程从笛卡尔空间变换到铰空间，提高了算法效率。

文献[35]将处理优化问题的约束变尺度法引入到约束多体系统动力学正则方程中，以克服数值积分过程中的违约问题，提高算法稳定法。

文献[36]提出一种求解多体系统动力学方程的子系统迭代法，通过系统分割大大降低了方程的耦合程度、非线性和刚性。

文献[37]对多体系统处于奇异位置的动力学问题作了研究，推导了应用于拉格朗日正则方程隐式算法的雅可比矩阵的分块形式，以提高计算效率。

对于变拓扑多体系统，文献[38]提出将约束分为基本约束和附加约束（或称为条件约束）的处理方法。

文献[39]根据对系统仿真逼真度的不同要求，把系统动力学模型分成低逼真度和高逼真度两种不同的形式区别开来，并给出了相应的误差估计。

4. 对相容性和刚性问题的处理

初值相容性问题：在微分-代数方程组的数值求解过程中，给定的位置和速度初始条件与微分-代数方程组中的位置和速度约束的相容性是值得注意的一个问题。文献[40]对此作了讨论，说明了相容性的充分条件，并指出相容性是微分-代数方程组有解的必

要条件。

刚性问题：由于现代机械系统的复杂性，会由于系统的耦合而使所得到的微分-代数方程组呈现刚性特性[41]。对于刚性问题的求解，目前最常用的方法是隐式方法，隐式方法不仅用于求解刚性问题，而且相比于显式方法具有更好的稳定性和计算精度。近几年来，无论是在LU分解法基础上发展起来的新缩并法[42][43]，还是基于ODAE方法的增广法[20][21]，或是基于多体系统正则方程的解法[44][45]，应用的无不是隐式方法。

1.2 多领域物理系统建模与仿真

1.2.1 多领域物理系统建模

随着科学技术和工程实践的发展，工业产品日趋复杂，这些复杂产品大多是由不同领域的零部件耦合组成的多领域物理系统（Multi-domain Physical Systems），如车辆、机器人、航天器等，都是由机械、电子、控制等多领域零部件构成。对于多领域物理系统的设计和分析，计算机辅助工程（Computer Aided Engineering – CAE）技术得到广泛应用。CAE技术应用于多领域物理系统复杂产品的设计与分析，集中体现在多领域物理系统建模与仿真。

多领域物理系统建模技术的发展，经历了从单领域独立建模到多领域统一建模、连续域或离散域分散建模到连续-离散混合建模、面向过程建模到面向对象建模的发展阶段。

在机械系统领域，常用的建模方法是如1.1.1所述的基于多体系统动力学的拉格朗日方法或笛卡尔方法[2][3]。对于机械系统动力学建模，并不存在某种标准的建模语言，模型文件是与商业软件相关联的。目前应用最为广泛的机械系统动力学分析软件是美国MSC公司ADAMS和比利时LMS公司https://www.360docs.net/doc/147297504.html,b（即DADS）。ADAMS的机械系统拓扑描述文本文件格式adm已经成为事实上的机械系统模型描述标准[46]。

在电子系统领域，针对模拟电路建模，在二十世纪七十年代由Nagel等人设计了模拟电路建模语言SPICE（Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis）[47][48]；针对数字电路建模，出现了数字电路建模语言VHDL（Very High-Speed Integrated Circuit Hardware Description Language）和Verilog[47][48]。1997年，IEEE对VHDL进行扩展，形成了VHDL-AMS（VHDL Analog and Mixed-Signal Extensions）[49]，同时支持模拟和数字信号，提供了连续和离散混合建模与多领域建模功能，但主要应用于电子领域。

在控制系统领域，二十世纪八十年代出现了控制系统建模工具MA TLAB和

MATRIXx[47]；1984年，Shah等人在工具软件SystemBuild中集成了MA TRIXx[47]，SystemBuild具有可视化建模功能；1991年，Grace在MA TLAB中集成了可视化建模工具SIMULINK[47]。

在能量与过程系统领域，英国伦敦帝国学院在二十世纪六十年代到八十年代开发了SpeedUp，广泛用于化学工程动态仿真[47]；1994年，该单位又进一步开发了gPROMS （general Process Modeling System），用于一般过程建模[47]。

针对连续域系统建模，1967年，Simulation Council Inc.（SCi）提出了连续域系统建模标准CSSL（Continuous System Simulation Language）[47]，CSSL支持仿真模型的三种描述：块图、数学表达式和程序结构。在CSSL的基础上，后来产生了一系列对其扩展的连续系统仿真语言，如在相当长时间内成为仿真事实标准的ACSL（Advanced Continuous Simulation Language）[47]。至于离散域系统建模，上述电子领域中出现的SPICE、VHDL、Verilog等都是此类工具。

早期基于CSSL的许多仿真语言本质上是程序式的和面向过程的，意味着模型要象多数程序语言一样通过赋值来定义。赋值表示相关变量是独立变量的函数，必须按序求解。这限制了程序性模型的重用性，而且并不利于符号操作的进行。在二十世纪八十年代到九十年代，仿真语言从程序式和面向过程向着描述式（基于方程）和面向对象发展，目前进一步向面向组件和混合建模方向发展。

采用面向对象思想设计的第一个物理建模语言是Elmqvist在1978年设计的Dymola（Dynamic Modeling Language）[47]，Dymola深受第一个面向对象语言Simula 影响，引入了“类”的概念，并针对物理系统的特殊性作了“方程”的扩展。Dymola 采用符号公式操作和图理论相结合的方法，将DAE问题化为ODE问题。1992年，Elmqvist在瑞典Lund成立了Dynasim AB公司，继续Dymola的开发，并发布了商业版本。

二十世纪八十年代到九十年代，随着计算机硬件、软件和数值技术的发展，出现了其它一系列面向对象和基于方程的物理建模语言。1988年Andersson设计了Omola （Object-oriented modeling language）[47]，Omola支持类表示、层次建模、继承，以及DAE和差分方程的行为描述，Omola还通过有限状态机和Petri网的类定义支持离散事件描述。1993年，Mattsson用C++重写了Omola稳定版，同时和Andersson实现了基于Omola的建模交互环境OmSim，提供可视化模型编辑器、一致性分析、符号分析与操作、ODE和DAE求解器，以及交互绘图功能。

除了Dymola和Omola之外，出于类似设计思想的语言还有ASCEND（Piela et al.，1991）、gPROMS、NMF（Sahlin et al.，1996）、ObjectMath（Fritzson et al.，1995）、SIDOPS+

（Breunese and Broenink，1997）、Smile（Kloas et al.，1995）、U.L.M.（Jeandel et al.，1996）等等[47]。

鉴于多种物理建模语言并存的混乱局面，1996年9月，国际仿真界开始致力于多领域物理系统混合建模统一语言的研究，这种统一的物理建模语言被称为Modelica，并于1997年9月推出了1.0版[50]。Modelica是一种面向对象、基于方程、采用层次化组件模型和具有可重用性的物理建模语言，统一了其前多种面向对象的物理建模语言，包括Dymola、Omola、gPROMS、NMF、ObjectMath、Smile、U.L.M等，支持多领域物理系统，包括多体系统、电子电路系统、动力传动系统、液压系统、热动力学系统和化学过程等领域[50]，提供连续域和离散域混合建模功能[51]，支持模型的ODE、DAE、键图、有限状态自动机、Petri网描述[50][52][53]，并可适用于硬件在环（Hardware-In-The-Loop）仿真。

Modelica是一种面向对象的结构化数学建模语言，支持类、继承、方程、组件、连接器和连接[54][55][56]。Modelica还提供了语言固有的领域库[57]，包括标准库Blocks、Constants、Electrical、Icons、Math、Mechanics和SIunits，以及附加库Blocks、HeatFlow1D、MultiBody、Petri Nets和Tables，此外还有其它一些商业库，这些有力地保证了Modelica 领域组件可重用性。

Modelica在1999年12月推出1.3版，并首次开始商业应用；2002年3月推出了最新的2.0版，增加了组件数组、枚举类型、状态选择控制、改进的初始化、增强的函数、记录类型、迭代器、外部功能函数、外部对象、图形显示标记等数据类型或功能[58]。

Modelica目前已经开始应用于电动汽车系统[59][60][61]、机-电-液-控耦合系统[62]、化学反应过程系统[63]、热动力学系统[64]、汽车动力系[65]、硬件在环控制[66][67]、电力电子系统[68]、离散事件系统[69]等系统或过程的建模与仿真。

在多领域物理系统统一建模语言研究方面，国内国防科技大学针对基于虚拟原型的概念设计中产品模型描述的要求，采用扩充连接图（键图）的思想，以基于虚拟原型的概念设计产品描述模型V-desModel为核心，提出了一种虚拟原型建模语言VPML，客观上是领域无关的，而且具有较强的几何和行为建模能力。但其不支持连续域和离散域的混合建模[70]。

对于多领域物理系统的建模与仿真，除了在多领域物理系统统一建模与仿真方面的研究外，还有另外一个发展方向，就是对既有的不同领域的专业软件工具进行框架集成，以支持多领域物理系统的建模与仿真，并支持分布式协同设计。这个方面的研究主要以DIS（Distributed Interactive Simulation）和HLA（High Level Architecture）为标准，国内研究比较活跃的有中国航天机电集团二院、清华大学、北京航空航天大学、

国防科技大学等单位[71][72][73][74]。航天二院、清华大学、北京航空航天大学联合开发了协同仿真平台COSIM1.0（Collaboration Simulation Platform），COSIM基于协同仿真技术，支持复杂产品多领域协同仿真[75]。

1.2.2 多领域物理系统仿真

现代的多领域物理系统混合建模语言，都具有面向对象、基于方程、支持多领域统一建模、支持连续域与离散域混合建模等特点，如 1.2.1节所述的Modelica和VHDL-AMS。这类描述性的通用语言，由于其通用性特点，在将多领域复杂产品转化为用于仿真的数学模型时，往往会产生数量庞大的方程组，而且这些方程组一般是微分和代数方程混合的。如Modelica模型在转化为数学模型时，一个6R机器人模型会产生大约600个微分、代数方程[76]。

基于多领域物理系统统一模型的仿真，其关键问题在于：如何求解大规模的微分、代数和离散混合方程组。如Modelica，其生成的数学模型就是大规模的微分、代数和离散混合方程组，而且复杂问题的方程规模可达到100,000甚至更多[50]。针对其它现代物理建模语言模型的求解面对的是相同的问题。

多领域物理系统的仿真，一般要经历两个过程，首先是从描述式的Modelica模型（以下问题的讨论以Modelica为例）到求解器支持的数学模型的映射，再次是求解器对大规模数学模型的求解。

从Modelica模型到数学模型的映射是由编译器或转换器来实现的。鉴于手工编写的编译器容易出错，目前倾向于编译器的自动生成。K?gedal David和Fritzson Peter实现了一种从Modelica自然语义规范到Modelica编译器自动生成的设计[77]；Dormoy Jean-Luc和Furic Sébastien给出了一种设计，实现从初始的大规模DAE集合到可被通用DAE求解器求解的小规模DAE集合的转换[78]。

大规模的Modelica模型的微分、代数和离散方程的求解实质上是一个规划求解的问题，通常采用符号计算与数值计算相结合的方法。Modelica模型的规划求解一般要经过两个过程，Modelica模型的平坦化和大规模方程的拓扑排序[79]。平坦化将层次结构的Modelica模型通过继承展开、聚合展开、连接展开、算法展开和离散展开得到平坦的大规模方程集合；拓扑排序是对大规模方程进行规划求解，采用基于图论的方法和符号操作的方法缩减问题规模，以简化数值计算。规划求解的操作对于多领域物理系统的仿真是至关重要的，前述的6R机器人的例子，在经过规划操作后方程规模可由600降到6[76]。

1.3 软件系统

1.3.1 计算多体系统动力学软件

目前应用最为广泛的机械系统动力学分析软件是美国MSC公司的ADAMS和比利时LMS公司的https://www.360docs.net/doc/147297504.html,b（即DADS）。两者都是采用笛卡尔方法建模，都能用于刚柔混合多体系统的运动学、静力学和动力学分析，都提供了从自动建模、求解到后处理的完整解决方案，都提供了丰富的专业应用模块。但两者在求解方法、模块数量等方面略有差别[80]。

德国空间研究所（German Aerospace Establishment, DLR）在二十世纪七十年代到八十年代设计了机械系统动力学分析软件SIMPACK，具有特色的是其同时采用符号和数值的方法进行求解[47]。

二十世纪九十年代，韩国Function Bay公司推出基于拉格朗日方法建模的RecurDyn，也同时支持刚柔混合多体系统的运动学、静力学和动力学分析功能，并提供了专业应用模块。

基于计算多体系统动力学的机械系统动力学分析软件总的说来数目繁多，但影响较大的商业软件只有ADAMS、DADS和SIMPACK。

国内在这方面工作做得比较多的以上海交通大学为著，他们也实现了相应的软件系统DAMB，但没有商业化。国内至今尚没有相应的成熟的具有自主版权的软件系统。

1.3.2 多领域物理系统建模与仿真软件系统

从多领域物理系统建模与仿真的发展历史可以看出，支持多领域物理系统建模与仿真的软件工具也是非常多的，特别是在二十世纪八十年代面向对象的物理建模语言蓬勃发展时，产生了相当多的相应的软件支撑工具，但较少有广泛的影响。待1997年Modelica出现时，基于Modelica的软件才开始逐渐受到关注。

目前基于Modelica的具有从建模到仿真以至后处理完整功能的软件只有2个：瑞典Dynasim AB公司的Dymola和瑞典PELAB实验室的MathModelica。Dymola基本上完整地实现了Modelica 2.0版，提供了从可视化建模、自动求解到曲线和动画后处理的完整功能[81]。MathModelica也提供了可视化建模、求解到后处理的完整功能，但其各模块不是集成的，可视化建模是基于Microsoft公司Visio软件二次开发实现的，求解是基于Mathmatica实现的[82][83]。

二、目前存在的问题

对于计算多体系统动力学来说，建模方法已经成熟，但DAE问题求解的效率仍有待提高，DAE问题求解仍是研究热点，基于DAE的更复杂的问题，如带DAE约束的动力学优化问题，有待进一步研究。

从基于计算多体系统动力学的软件系统对实际工程问题的解决来看，单纯的机械系统动力学分析不能满足实际的多领域复杂产品分析设计的要求，现有的基于多体系统向其它领域的扩展方式具有较大的局限性，不通用，不是面向物理组件的，特别不足的是，这种扩展不具有重用性。

从多领域物理系统建模与仿真来看，采用DIS或HLA的集成框架模式，对现有的不同领域的工具软件进行集成以实现对复杂产品分析设计的支持方式，其代价昂贵，不利于支持复杂产品设计的支撑工具的推广利用，此外，不同工具系统之间通信与协同具有较大困难。

从多领域物理系统统一建模与仿真来看，现有的多领域物理系统统一建模语言支持复杂产品的多领域一致和连续域/离散域混合建模，但仍有不足之处，如领域支持的不对等性，象VHDL-AMS是多领域物理系统统一建模语言，但其对电子领域的建模支持要远强于对机械领域建模的支持。更重要的是，现有的多领域物理系统统一建模与仿真工具不易继承前阶段的设计信息，如Modelica目前对CAD模型的支持就不够，这就会使得复杂产品结构设计在CAD系统上完成之后再进行性能分析时，完全需要重新建模，这是很不方便的。

三、可能发展的方向

在计算多体系统动力学方面，建模方法已经成熟，DAE问题的求解可能会借鉴近几年来计算代数的发展结果，符号与数值相结合的求解策略分支可能会重新兴起。近几年来，国外这方面的商业软件表现出一个很强的趋势就是计算多体动力学与结构有限元分析的融合，但这种融合目前还只是一种软件系统体系结构上融合，进一步的发展可能会从基本建模与求解上突破，寻求两者底层融合的方案。

面对单领域分析工具在进行多领域复杂产品分析时的不足，多领域物理系统的统一建模与仿真应该是CAE发展的方向；但对于设计要求更高的特殊部门，基于DIS和

HLA的多领域框架集成将进一步发展。

在多领域物理系统统一建模与仿真中，建模方面接口的丰富性和友好性将是发展重点，以提供多领域物理系统模型与CAD模型、与其它常用CAE软件的兼容性接口；在求解方面高效率求解策略仍将是研究方向。此外，基于多领域物理系统统一建模与仿真的并行与分布式仿真、多准则优化也将是研究方向。

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