三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】
一.知识与技能目标
理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二.过程与方法目标
1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三．情感、态度和价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】
一.教学重点
定理的理解和运用
二．教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。
【教学方法】
以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。
【教学过程】
一复习引入：
1.复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；
设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。）
2.有意设疑，引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢
学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：
平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）
设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）
二、新课讲授：
由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO
⊥a，问PA与a所成的角；
显然PO⊥α?PO a
⊥
α
?
a OA a
⊥?a⊥平面POA ?PA
PO I OA=O PA?平面POA
即：PA与a所成的角为900
三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO，
才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书）
设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。）
剖析命题
（1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。
（2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结：
一找垂面：即先确定平面及平面的垂线：
二找斜线：接着确定平面的斜线：
三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；
四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书）
设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。）
三讲解例题
例1.已知：点O 是ABC ?的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥． 证明：∵点O 是ABC ?的垂心，
∴AD BC ⊥
又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ，
PA ABC A =I 平面
所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．
例 2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠BAC 在α内，P ，PE AB 于E ，PF AC 于F 且PE=PF ，PO
求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ）
证明：连接OE ，OF ∵PO
∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在上的射影
∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE AB ，PF AC
∴OE AB ，OF AC(三垂线定理的逆定理 )
∴O 到∠BAC 两边距离相等
∴O 在∠BAC 的平分线上
变式：
已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P PE AB PF AC PO αα?⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =，求证：BAO CAO ∠=∠．
证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，
∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理）
∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ???，
∴AE AF =，又∵AO AO =，∴Rt AOE Rt AOF ???
∴BAO CAO ∠=∠．
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3.在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心
求证:(1)PH 底面ABC (2)△ABC 是锐角三角形.
证明: (1)略
(2)设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE 由(1)知PH 底面ABC
∴AE 为PE 在平面ABC 的射影，
由三垂线定理：PE BC
∵PB PC 即△BPC 是直角三角形，BC 为斜边
∴E 在BC 边上 由于AE BC ，故B ∠C 都是锐角
同理可证：∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形
设计意图（为了培养学生灵活应用定理的能力，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面”，然后，由学生板书解答后，我再较正学生的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。）
四 小结：
知识：三垂线定理以及逆定理
问题：平面中斜线和射影的垂直问题
方法：空间垂直与平面垂直互相转化
思想：转化思想
五 作业：
1.边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面内，PA ⊥，PA=a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .
是平面的斜线，且AO=a ，AO 与成60o角，OC ，AA ＇⊥于A ＇，∠A OC=45o， 则A 到直线OC 的距离是 ，∠AOC 的余弦值是 .
答案：1.a a 27,
2; 2.42,414a
3.如图，已知ABCD 是矩形，AB=a ，AD= b ，PA 平面ABCD ，PA=2c ，Q 是PA 的中点． 求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离．
六 板书设计：
七 教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式，学生反映较好，定理记得牢，理解深刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。从学生的课后作业看，书写规范，推理正确，取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。
A
A ′ C O H E Q
P D C B A
三垂线定理
三垂线定理 周口市第三高级中学 王杰 教学目标 三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此 能够进行推理，论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点 三垂线定理及其逆定理的理解和应用 教学方法 启发式教学法 依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的 思路。 教学过程 引例： 如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，求证：BC ⊥PB 。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内， ∴PA ⊥BC ，又∠ABC=90°， ∴BC ⊥AB ∴BC ⊥平面PAB ，PB 在平面PAB 内 ∴BC ⊥PB 思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 线线垂直的方法 ： （1）a ⊥? ,b 在?内，则a ⊥b （2）a ∥b ，m ⊥b ，则a ⊥m （3）三垂线定理及其逆定理 三垂线定理包含几种垂直关系？ ○ 1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 定理 直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平 的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直 逆定理 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么， 它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂直。 B
例1： 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°， AQ ⊥PC ，AR ⊥PB ，试 证?PBC 、 ?PQR 为直角三角形。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°∴AC ⊥BC ∵AC 是斜线PC 在平面ABC 的射影 ∴BC ⊥PC ∴?PBC 是直角三角形；∴BC ⊥平面PAC ∵AQ 在平面PAC 内，∴BC ⊥AQ ，又PC ⊥AQ ， ∴ AQ ⊥平面PBC ，∴QR 是AR 在平面PBC 的射影 又AR ⊥PB ，∴QR ⊥PB （三垂线逆定理）， ∴?PQR 是直角三角形。 小结： 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明， 而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。 例2. 在四面体ABCD 中，已知AB ⊥CD ，AC ⊥BD 求证：AD 证明：作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO 则BO ，CO ，DO 分别为AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影。 ∵AB ⊥CD ，∴BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD 于是O 是△BCD 的垂心， ∴DO ⊥BC ，于是AD ⊥BC. 小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影. 例3 . 如图，已知DB 、EC 都垂直于正三角ABC 所在的平面，，BC=EC=2DB ， 求平面ADE 与平面ABC 所成二面角的平面角。 解：延长ED 、BC 交于F ，连AF ，则AF 为二面角的棱 由已知DB 、EC 都垂直正三角ABC ，∴ DB//EC 又BC=EC=2DB ∴ FB=BC=AB ，∴ ?FAC 为直角三角形，且FA ⊥AC 而EC ⊥平面ABC ∴ AF ⊥AE （三垂线定理） 于是∠EAC 为平面ABC 与平面ADE 的平面角， 又EC=AC ，∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。 思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？ （ 用 c o s ABC ADE s S θ??= ） 小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在 二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。 此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等. 例4： 直角三角形ABC 中，∠B= 90°，∠C= 30°，D 是BC 的中点，AC=2， DE ⊥平面ABC 且DE=1，求E 到斜线AC 的距离？ 解：过点D 作DF ⊥AC 于F ，连结EF ， ∵DE ⊥平面ABC ，由三垂线定理知EF ⊥AC 即E 到斜线AC 的距离为EF 在Rt ?ABC 中， ∠B= 90°，∠C= 30°，C=2 A
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 【学习内容分析】 “三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。 【课程目标】 一.知识与技能目标 理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二.过程与方法目标 1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。 三．情感、态度和价值观目标 3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。 【教学重点和难点】 一.教学重点 定理的理解和运用 二．教学难点 如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。 【教学方法】 以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。 【教学过程】 一复习引入： 1.复习提问 1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念； 设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。） 2.有意设疑，引入新课。 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢 学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。 启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题： 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书） 设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力） 二、新课讲授： 由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。 PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO ⊥a，问PA与a所成的角； 显然PO⊥α?PO a ⊥ α ? a OA a ⊥?a⊥平面POA ?PA PO I OA=O PA?平面POA 即：PA与a所成的角为900 三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO， 才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书） 设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。） 剖析命题 （1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。 （2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结： 一找垂面：即先确定平面及平面的垂线： 二找斜线：接着确定平面的斜线： 三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影； 四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书） 设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。） 三讲解例题
三垂线定理及其逆定理例题
三垂线定理及其逆定理例题 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； P D A B C 1 A C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：Rt ABC ?中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3 PAB PAc π ∠=∠=。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理及其逆定理 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC B.直线 C.直线 D.直线 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( ) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( ) A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定 答案：A 解题思路：
三垂线定理
三垂线定理 教学目标： 1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明 2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 教学方法：启发式教学法 教 具：模具 教学过程 一、复习引入： 1.直线与平面垂直的定义： 2.直线与平面垂直的判定定理： 3.平面的斜线，斜线在平面内的射影： 4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？ 二、新授： 1.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α?，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 证明：∵PO α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥= ∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥． 说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； (2)符号表达：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈??=?⊥???⊥? . (3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线. 2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 说明：符号表达： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈??=?⊥???⊥? ． 注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 (2)要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 (3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
立体几何 三垂线定理及其逆定理
立体几何：三垂线定理及其逆定理
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用；
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，
那么这条直线就和这条斜线垂直；
已 知 ： PA, PO 分 别 是 平 面 α 的 垂 线 和 斜 线 ， AO 是 PO 在 平 面 α 的 射
影, a ? α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ? 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
大行不倦 呕心沥血 传道授业解惑！大思行广 打通大脑思维的任督二脉，大行无疆 捍卫中国文化最后良心！第 1 页
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 知识点: 1、三垂线定理;; 2、三垂线定理得逆定理; 3、综合应用; 教学过程: 1.三垂线定理:平面内一条直线,如果与这个平面得一条斜线在平面内得射影垂直,那么这条直线就与这条斜线垂直; 已知:,PA PO 分别就是平面α得垂线与斜线,AO 就是PO 在平面α得射影,,a α?a AO ⊥。 求证:a PO ⊥; 证明: 说明: (1)线射垂直(平面问题)?线斜垂直(空间问题); (2)证明线线垂直得方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定 理; (3)三垂线定理描述得就是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间得垂直关系。 (4)直线a 与PO 可以相交,也可以异面。 (5)三垂线定理得实质就是平面得一条斜线与平面内得一条直线垂直得判定定理。 例1、已知P 就是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证:PC BC ⊥。 例2、已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,O 为对角线BD 得 求证:,PO BD PC BD ⊥⊥。 例4、在正方体1AC 中,求证:1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥; 2.写出三垂线定理得逆命题,并证明它得正确性; 命题: 已知: 求证: 证明: 说明: 例2.在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证:(1)AD BC ⊥; (2)点A 在底面BCD 上得射影就是BCD ?得垂心; 例3、求证:如果一个角所在平面外一点到角得两边得距离相等这点在平面内得射影在这个角得平分线上 已知: 求证: 说明:可以作为定理来用。 P C
例5.已知:Rt ABC ?中,,3,42 A A B A C π ∠= ==,PA 就是面ABC 得斜线,3 PAB PAc π ∠=∠= 。 (1)求PA 与面ABC 所成得角得大小; (2)当PA 得长度等于多少得时候,点P 在平面ABC 内得射影恰好落在边BC 上; 作业: 1、正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别就是1,A A AB 上得点,1EC EF ⊥、 求证: 1EF EB ⊥。 2、已知:PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =就是BC 得中点。 求证:BC AM ⊥; 3、填空并证明: (1)在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD BCD 得 心。 (2)在四面体ABCD 中,AB 、ＡＣ、ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心 (3)在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。 (4)在四面体ABCD 中,顶点A 到BC 、CD 、DB 得距离相等,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。 4、正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, (1)求直线PQ 与平面ABCD 所成角得正切值; (2)求证:PQ⊥AD . 5、在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 就是棱1AA 上得点,且1:1:2A E EA =,F 就是棱AB 上得点,12 C EF π ∠= 。求AF:FB 。 6、点P 就是ABC ?所在平面外一点,且PA ⊥平面ABC 。若O 与Q 分别就是ΔABC 与ΔPBC 得垂心,试证:OQ ⊥平面PBC 。 7、已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα??∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈。求 证:D AT ∈; B
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，A O 是P O 在平面α的射影,,a α?a A O ⊥。 求证：a P O ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与P O 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知P A ⊥正方形A B C D 所在平面，O 为对角线B D 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：11111,A C B D A C BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）A D B C ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是B C D ?的垂心； P D A B C 1
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：R t A B C ?中，,3,42 A A B A C π ∠= ==，PA 是面ABC 的斜线，3 P A B P A c π ∠=∠= 。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
三垂线定理
三垂线定理 黄冈中学肖平安 【教学目的】 1、使学生掌握三垂线定理及其逆定理，并能进行初步的应用。 2、向学生渗透化归的数学思想，培养学生的空间相象能力和逻辑推理能力。 【教学重点】 三垂线定理的证明及其应用。 【教学难点】 认识定理的本质，建立空间三线垂直的模型。 【教学方法】 启发式教学法。 【教具】 多媒体，三角板。 【教学过程】 （一）回顾引入 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线，平面的斜线不能垂直于平面内的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直，那么如何判定斜线与平面内的任一直线是否垂直呢？从而引出课程。 （二）发现命题 1、实验：将三角板一条直角边放在桌面内，另一条直角边与桌面垂直，将一直尺a放在桌面内，过三角板的顶点O且与桌面内的直角边垂直（AO⊥a）. 2、观察：直尺a与三角板的斜边PO所成角是多少度？（可用另一三角板度量） 3、结果：PO与a成90°角，即a⊥PO。 4、深化：如果将直线a在平面内平行移动到任意位置这种关系是否存在？（a⊥PO）。 5、结论：引导学生把PA、PO、AO、a抽象为直线，桌面抽象为平面，用数学符号将以上实验抽象为一个命题（若PA⊥a）。
（三）证明命题 结论的正确性需要严格的证明，请同学用数学符号和箭头形式写出证明过程。 .PA a PA a a PAO a PO a a AO a PO PAO ⊥⊥⊥??????⊥????⊥???? 平面平面 （四）表述定理 以上命题已经证明是正确的，应成为一个定理，这个定理叫三垂线定理。 1、哪位同学能用简炼的语言来表述三垂线定理？ 2、请同学朗读三垂线定理。 3、三垂线定理的逆命题该怎样表述？ 4、以上逆命题是否成立？你能证明吗？ 5、给出三垂线定理的逆定理。 （五）分析定理 1、三垂线定理（或逆定理）中有几个元素？ 2、三垂线定理（或逆定理）描述的是哪三条直线的垂直关系？ 3、三条直线间有怎样的垂直关系？ （六）应用举例 例：已知V A ⊥VB ，V A ⊥VC ，VD ⊥BC 求证：AD ⊥BC 。 （1）引导学生找出思路 （2）让学生写出证明过程 .VA VB VA VBC AD BC VA VC BC VD ⊥⊥????⊥??⊥⊥?? 平面 （3）教师指出；应用三垂线定理（或逆定理）解决问题时，找出平面的垂线是关键。 （七）反馈练习 1、课本P 321（演板） 2、思考题（依教学进程选择使用） 在正方体ABCD －EFGH 中，求BD 与EC 所成的角。 解：连结AC
三垂线定理及其逆定理之欧阳歌谷创编
三垂线定理及其逆定理 欧阳歌谷（2021.02.01） 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂 P
直的判定定理。 例 1.已知P 是平面ABC 外一点， ,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例 2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角 线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 B D A B C A
三垂线定理及其逆定理(人教A版)(含答案)
三垂线定理及其逆定理（人教A版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( ) 个个 个个 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC B.直线 C.直线 D.直线 ` 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( ) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 | 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( ) A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定 。 答案：A
三垂线定理
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 内心：三角形的三内角平分线交于一点。（内心定理） 外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。（外心定理） 中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点 垂心：三角形的三条高交于一点。（垂心定理） 重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）
重心： 三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。 1 重心的性质及证明方法 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 证明一 三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。EB、FC交于O。 证明：过F作FH平行BE。 ∵AF=BF且FH//BE ∴AH=HE=1/2AE（中位线定理） 又∵ AE=CE ∴HE=1/2CE ∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF） 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 证明二 证明方法： 在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则， S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证 S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以， S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB) 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形） 证明方法： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+ y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
三垂线定理及其逆定理资料讲解
三垂线定理及其逆定 理
三垂线定理及其逆定理 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 P B
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例4.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： P B 1 A C
说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 D A B C
三垂线定理的证明及应用教案
三垂线定理的证明及应用教案 教学目的 使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力． 教学过程 一、复习和新课引入 师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题： (1)直线与平面垂直的定义． (2)直线与平面垂直的判定定理． (3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影． 生：略． 师：(板书)设斜线l∩α=O，作出l在平面α上的射影． (师生共同完成图1．学生叙述画法，教师画图，再次深化概念．) [平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的．] 二、猜想与发现 师：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面的任意一条直线都和平面的垂线垂直．现在我们想一想，平面的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？ (演示教具：用两根铁丝在桌面上演示，学生容易看出平面的任意一条直线，并不一定和平面的一条斜线垂直．)
师：那么，是否平面的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？ [演示教具：如图2，设直线l(铁丝)和平面α(桌面)斜交，使直线m(铁丝)和l垂直，把直线m沿直线l平行移动到平面α的n的位置，此时学生发现平面α有直线与平面的斜线垂直．] 师：如果我们把铁丝m在平面平行移动，使其到不同的位置(直线)，那么，这些直线与铁丝l垂直吗？ [学生根据“两条异面直线所成的角”的原理也很快判定这些直线与l(铁丝)垂直．] 师：平面一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面的直线与平面的一条斜线垂直呢？ [指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型(如图3)，使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律．经过实验，发现铅笔和三角板在平面α的直角边垂直时便与斜边垂直．] 师：(启发)如何归结为数学问题呢？(学生们恍然大悟，终于发现了，平面的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直．) 师：实验得出的结果是否正确还得进行证明． [引入新课是课堂教学的重要环节．新课引入得好，这节课就成功了一半，教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积极性，培养了学生的探索能力，体现了教师为主导、学生为主体的教学思想．] 三、证明 师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式．
三垂线定理及逆定理的应用
三垂线定理及其逆定理的应用教案 教学目的 (1)使学生初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律． (2)进一步培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力． 教学过程 一、复习 师：三垂线定理及逆定理的内容是什么？怎样证明？ (在学生回答时，教师画出图1，并强调指出：a在α内的位置不一定过点O．) 生：(三垂线定理的证法，要求学生用双剪头的书写格式．) 师：对于三垂线定理要注意以下三点： (1)三垂线定理包含三个垂直关系．PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，且
(2)三垂线定理及其逆定理是判定直线和直线垂直的重要命题． (3)在论证直线和直线垂直的问题中，常常要考虑应用三垂线定理及其逆定理． 二、应用 (教师根据复习时的小结引出课题：三垂线定理及其逆定理的应用．) 1．第一类练习题 目的：进一步使学生加深对三垂线定理的理解．复习应用三垂线定理的基本规律．从题目条件的变更中，增强学生对三垂线定理的认识以及应用能力． 教法：教师提出问题，利用投影机将图形映在屏幕上，全班学生思考，个别学生回答． 题目：如图2，已知矩形ABCD中，2BC=AB，M是DC的中点，PA⊥平面ABCD．求证PM⊥MB． 学生回答后，教师作简要讲评．然后，对题目的已知条件进行变换，让学生回答． (1)如果将题设中2BC=AB去掉，其他条件都不变，那么PM和MB是否垂直？ (教师随即在屏幕上映出图3，让学生思考议论、回答．)
(2)如果题设中的M不是DC的中点，其他条件都不变，那么PM和MB是否垂直？ (教师在屏幕上映出图4，让学生思考议论、回答．) (3)如果将题设“PA⊥平面ABCD”改为“PA为平面ABCD的斜线”，其他条件不变，那么PM和MB的位置关系将会怎样？ ①一定不垂直？ ②不一定垂直？在什么情况下垂直？ (根据学生回答，分别在屏幕上映出图5、图6、图7．)
三垂线定理及其逆定理的练习课教案
三垂线定理及其逆定理的练习课教案 教学目标 1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理； 2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题） 3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用； 4．了解课本第33页第11题． 教学重点和难点 教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小． 教学设计过程 师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1． 例1如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证： cosθ1·cosθ2＝cosθ． 师：这是要证明三个角θ1，θ2和θ的余弦的关系，θ1已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．
生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角． 师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道θ1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式． 师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理． 这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？ 生：因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式． 师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用． 应用这个公式可解决两类问题． 第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值． 例如： θ＝60°，这时θ2＜θ； 当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝