63知识讲解_函数的极值与最值_提高
导数的应用二------函数的极值与最值
【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】 要点一、函数的极值
（一）函数的极值的定义：
一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，
（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作
)(0x f y =极大值；
（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作
)(0x f y =极小值.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；
③求方程0)(='x f 的根；
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3
，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.
②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，
且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
要点二、函数的最值
（一） 函数的最大值与最小值定理
若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1
()(0)f x x x
=
>. 要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 （二）求函数最值的的基本步骤：
若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；
（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数
()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. （三）最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三、函数极值与最值的简单应用
1. 不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，
若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）
的形式。若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。 2. 证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，
我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。 【典型例题】
类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。 （1）.)(23a x x x x f +--= （2）22()21
x
f x x =-+。
【解析】(I)'()f x =32x －2x －1
若'()f x =0，则x ==－1
3
，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是()327
f a -=+，极小值是(1)1f a =-
（2）函数的定义域为R 。
222222
2(1)42(1)(1)
'()(1)(1)
x x x x f x x x +--+==-++。 令'()0f x =，得x=―1或x=1。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：
由上表可以看出，当x=―1时，函数有极小值，且(1)232
f -=-=-， 当x=时，函数有极大值，且2
(1)212
f =
-=-。 【总结升华】 解答本题时应注意0'()0f x =只是函数()f x 在x 0处有极值的必要条件，如果再加
上x 0左右导数的符号相反，方能断定函数在x 0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
举一反三：
【变式1】 求下列函数的极值：
（1）3
()126f x x x =-++；
（2）32
2
()2(1)
x f x x -=-。 【答案】（1）2
'()3123(2)(2)f x x x x =-+=-+-。
令'()0f x =，解得x 1=―2，x 2=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
当x=―2时，()f x 有极小值，并且，()(2)10f x f =-=-极小值， 而当x=2时，()f x 有极大值，并且，()(2)22f x f ==极大值。 （2）函数定义域为（－∞，1）∪（1，+∞）。
∵23
(2)(1)'()2(1)x x f x x -+=-，
令'()0f x =得x 1=―1，x 2=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
故当x=―1时，8
y =-
最大值。 【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题1】 【变式2】 讨论函数43
210()213
f x x x x =-
++（x ∈R ）的单调性并求极值． 【答案】3
2
'()41042(21)(2)f x x x x x x x =-+=--
令'()0f x =，解得x 1=0， x 2=
1
2
, x 3=2 。 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：
由上表可以看出，()f x 在（－∞，0）和（2，2）上为减函数，在（0，2
）和（2，+∞）上 为增函数。
当x=0时，函数有极小值(0)1f =; 当x=2时，函数有极小值5
(2)3
f =-。
当
x=
12时，函数有极大值155()248
f =。 【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题3】
【变式3】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。
类型二：函数极值的逆向应用
例 2. 已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点x 0处取得极大值5，其导函数
'()y f x =的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。求： （1）x 0的值；
（2）a ，b ，c 的值。
【思路点拨】观察图像的正负和零点。
【解析】 （1）由图象可知，在（―∞，1）上'()0f x >，在（1，2）上'()0f x <，在（2，+∞）上'()0f x >，
故()f x 在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。 因此()f x 在x=1处取得极大值，所以x 0=1。 （2）方法一：2'()32f x ax bx c =++， 由'(1)0f =，'(2)0f =，(1)5f =，
得32012405a b c a b c a b c ++=??++=??++=?，解得2
912a b c =??
=-??=?
。 方法二：设2
'()(1)(2)32f x m x x mx mx m =--=-+。 又2
'()32f x ax bx c =++， 所以3m a =
，3
2
b m =-，c=2m ，
32
3()232
m f x x mx mx =
-+， 由(1)5f =，即2
2533m m m -+=，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。 【总结升华】
（1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x 轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负。
（2）注意条件“在点x 0处的极大值是5”的双重条件，即0'()0f x =，0()5f x =。 举一反三：
【变式】已知函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx+a 2
在x=1处有极值10，求a,b 的值. 【答案】2
'()32,f x x ax b =++
依题意得方程组2
320
110
a b a b a ++=??+++=? 解得34
311
a a
b b =-=???
?
==-??或. 当a=-3,b=3时，2
'()363,f x x x =++
令'()0f x =得x=1.
显然a=-3, b=3不合题意，舍去.
当a=4, b=-11时，f ′(x)=3x 2
+8x-11=(x-1)(3x+11) 令'()0f x =得11
x -
=或 x=1.
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4, b=-11.
类型三：求函数的最值
【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题2】
例3、求函数()3
2
21f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【解析】
解法一： ()()()243434,00,03f x x x x x f f ??
'''=-=-==
???
，
∴ 函数()3
2
21f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。
解法二：()()()2
43434,00,03f x x x x x f f ??
'''=-=-==
???
， ∵f(-1)=-2,f(0)=1,f(
43)=527
,f(2)=1, ∴ 函数()3
2
21f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。 【总结升华】1.解题格式要求：
ⅰ. 对于()f x '分解因式，写出相应方程的根；
ⅱ. 列表格，表格反映出()(),f x f x '随x 的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值。
ⅲ. 一般要注明x 取何值时f(x)取得最大最小值。
2.当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
举一反三： 【变式】（2017 红桥区模拟）已知函数f （x ）=（x 2―4）（x ―a ），a 为实数，f ＇（1）=0，则f （x ）在[―2，2]上的最大值是（ ）
A ．
92
B ．1
C ．35
D ．5027
【答案】D
【解析】∵函数f （x ）=（x 2―4）（x ―a ），
∴f ＇（x ）=2x （x ―a ）+（x 2―4）， ∵f ＇（1）=2（1―a ）―3=0，
∴1
a 2
=-
， ∴232
11()(4)()422
2
f x x x x x x =-+=+--， f ＇（x ）=3x 2+x －4， 令f ＇（x ）=0，则4
3
x =-
，或x=1， 当4
[2,)3
x ∈--，或x ∈（1，2]时，f ＇（x ）＞0，函数为增函数； 当4(,1)3
x ∈-时，f ＇（x ）＜0，函数为减函数； 由450
()327
f -=
，f （2）=0， 故函数f （x ）在区间[－2，2]上的最大值为5027
， 故选D 。
类型四：极值与最值的应用----证不等式问题。
例4. 求证：当x ＞0时，2
ln(1)2
x x x +>-。
【思路点拨】移项，化为等式左边为函数式的形式。
【解析】 设2
()ln(1)(1)2
x f x x x x =+-+>-， 2
1'()1011
x f x x x x =-+=>++，
所以()f x 在（―1，+∞）上为增函数， ∴当x ＞0时，()(0)0f x f >=，
即x ＞0时，2
ln(1)2
x x x +>-。
【总结升华】 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先
要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值。 举一反三：
【变式】 当0x >时，证明不等式：()2
1ln 12
x x x -
<+。
【答案】 设()()()22
21111ln 112111
x x f x x x x f x x x x x --'=--+?=--==-+++，
0x >，()100x f x '+>?<，则函数()f x 在()0,+∞上单调减函数，
()()00f x f <=
∴()2
1ln 12
x x x -
<+成立。 类型五：极值与最值的应用----不等式恒成立，求参数范围问题。
例5．设函数f(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f(x)≥ax 成立，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数。 【解析】
解法一：令g(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x ＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x ＝e
a －1
－1，
(i)当a ≤1时，对所有x ＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x ≥0，都有g(x)≥g(0)， 即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有f(x)≥ax ． (ii)当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1
－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e
a －1
－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x ＜e
a －1
－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a ＞1时，对所有的x ≥0，都有f(x)≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，于是不等式f(x)≥ax 成立
即为g(x)≥g(0)成立
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x ＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x ＝e a －1
－1，
当x ＞ e
a －1
－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x ＜e a －1
－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x ≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a －1
－1≤0．
由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]．
【总结升华】一般首选隔离参数法，转化为求不含参数的函数的最值问题；若不能隔离，则化为求含参函数的最值问题，往往需要对参数进行分类讨论才能得出最值。 举一反三：
【变式1】(2014 江西)已知函数f(x)＝(x 2＋bx ＋b)x 21- (b ∈R) (1)当b ＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间(0，3
1)上单调递增，求b 的取值范围．
【解析】(1)当b ＝4时，f(x)＝(x 2＋4x+4)x 21-＝()
??
? ??≤
-+212122
x x x )， 则()()()()()()x
x x x x x x x f 21252·
2121·22122212
-+-=--++-+='-
． 由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0．
当x ＜－2时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－2)上为减函数． 当－2＜x ＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(－2，0)上为增函数． 当0＜x ＜
21
时，f′(x)＜0，f(x)在(0，2
1)上为减函数． ∴当x ＝－2时，f(x)取极小值为0．
当x ＝0时，f(x)取极大值为4； (2)由f(x)＝(x 2＋bx+b)x 21-，得：
()()(
)
()().212352·2121·2122212
x
x bx x x b bx x x b x x f -+--=--+++-+='-
由f(x)在区间(0，3
1
)上单调递增，
得f′(x)≥0对任意x ∩(0，3
1)恒成立．
即－5x 2－3bx+2x ≥0对任意x ∈(0，3
1)恒成立．
∴352x b -≤
对任意x ∈(0，3
1
)恒成立． ∵
9
1331
523
52＝＞?--x ． ∴91≤
b ．∴b 的取值范围是??? ?
?
∞-91,．
【变式2】 已知函数32
1()2
f x x x bx c =-
++。 （1）若()f x 图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围；
（2）若()f x 在x=1处取得极值，且x ∈[―1，2]时，2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 【答案】（1）2
'()3f x x x b =-+，()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，则'()0f x =有实数解，
即方程3x 2―x+b=0有实数解，∴Δ=1―2b ≥0，解得112
b ≤。 （2）由题意知x=1是方程3x 2―x+b=0的一个根，
设另一根为x 0，则00113
13x b x ?
+=?????=??
，∴0232x b ?=-???=-?，
∴32
1()22
f x x x x c =--+，2'()32f x x x =--。 当21,3x ??
∈--
???
，'()0f x >； 当2,13x ??
∈-
???
时，'()0f x <； 当x ∈（1，2）时，'()0f x >。
∴当23x =-
时，()f x 有极大值2227c +。 又1
(1)2
f c -=+，(2)2f c =+。
∴当x ∈[－1，2]时，()f x 的最大值为(2)2f c =+。 又∵当x ∈[－1，2]时，2
()f x c <恒成立， ∴c 2＞2+c ，解得c ＜－1或c ＞2。
故c 的取值范围是（－∞，－1）∪（2，+∞）。
类型六：极值与最值的应用----两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 例6. 已知函数3
()31,0f x x ax a =--≠ （1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=my 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围 【思路点拨】（2）中，先利用第一个条件求出函数式,再结合图像。 【解析】（1）'
2
2
()333(),f x x a x a =-=-
当0a <时，对x R ∈，有'
()0,f x >
当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞
当0a >时，由'
()0f x >解得x a <-或x a >
；
由'
()0f x <解得a x a -<<，
当0a >时，()f x 的单调增区间为(,),(,)a a -∞-+∞；()f x 的单调减区间为(,)a a -。 （2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'
2
(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴= 所以3
'
2
()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'
()0f x =解得121,1x x =-=。
由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>， 结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。
【总结升华】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题。 举一反三：
【变式1】（2015 昆明二模）设三次函数3
2
()1f x ax bx cx =+++的导函数为'()3(2)f x ax x =-，若函数()y f x =共有三个不同的零点，则a 的取值范围是（ ）
A.1,4??
-∞- ??? B. 10,4?? ??? C. 1,4??+∞ ???
D. ()0,2 【答案】
32()1f x ax bx cx =+++的导函数为2'()323(2)f x ax bx c ax x =++=-=236ax ax - ，
26,0b a c ∴=-=，即3,0,b a c =-= 则32()31,f x ax ax =-+
① 若0a >，则由'()3(2)0f x ax x =->得20,x x ><或 由'()0
f x <得02x << ，则函数在x=0时取得极大值(0)1f = ，在x=2时，函数取得极小值(2)812114f a a a =-+=-，若函数()y f x =共有
三个不同的零点，则(2)140f a =-<，解得1
4
a >
。 ② 若0a <，则由'()3(2)0f x ax x =-<得20,x x ><或由'()0f x >得02x << ，则函数在x=0时
取得极小值(0)1f = ，在x=2时，函数取得极大值(2)812114f a a a =-+=-，则此时函数()y f x =只有1个零点，不满足条件，综上1
4
a >
。故选：C 。 【变式2】 已知2
()210()f x x x x R =-∈，是否存在实数,m 使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
【答案】 方程37
()0f x x
+
=等价于方程32210370.x x -+= 设3
2
()21037,h x x x =-+则2
'()6202(310).h x x x x x =-=-
当10
(0,
)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10
(,)3
x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。
101
(3)10,()0,(4)50,327
h h h =>=-<=>
∴方程()0h x =在区间1010
(3,),(,4)33
内分别有唯一实数根，
而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根， 所以存在唯一的自然数3,m =使得方程37
()0f x x
+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。
函数的单调性、极值与最值问题
函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.
评分细则(1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．
跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2， g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a； (3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． (1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a， 则h′(x)＝a x ln a－ln a. 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝ 1 x ln a，可得曲线y＝g(x)在点
(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
函数的极值与导数教学设计一等奖
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
二次函数最值问题与解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长 最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值 3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
导数与函数极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
函数极值与最值研究毕业论文
函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧． Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of
高中数知识讲解_函数的极值与最值提高
导数的应用二------函数的极值与最值 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。 2. 会用导数求函数的极大值、极小值。 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。 4. 掌握函数极值与最值的简单应用。 【要点梳理】 要点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有() A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
导数与函数的极值、最值练习含答案
第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当0
∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.
函数的最值、极值问题专题训练
函数的最值、极值问题专题训练 【复习指导】 本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 双基自测 考点一 极值问题 【例1】设函数f (x )＝ax 2＋e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1 ＝0，故 f (x 1)＝12 1 +e x ax ＝1 11e e 2 x x x -＝231e x ，故1 1231e 1e e 02x x x --=．记 R (x )＝2 3 12 x x e e e x --(0 第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】： 1. 理解函数的极值的概念； 2. 掌握求函数的极值的方法； 3. 了解最大值和最小值的定义； 4. 掌握求函数的最值的方法； 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2. 导数不存在情况下极值的判定； 3. 函数最值的求解方法； 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】： 1. 导数不存在情况下极值的判定； 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3. 区分极值点与极值，最值点与最值； 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大；在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对 于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有 )()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则 （1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时， 图3-7 y O x a 1 x 2 x 3x 4x 5 x b 函数的极值与最值练习题 一、选择题 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是 ①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y =216x x +的极大值为 A.3 B.4 C.2 D.5 4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为 A.0 B.1 C.2 D.4 5.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为 A.e －1 B.0 C.－1 D.1 6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于 A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题 7.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 8.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值. 9.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a=____,b=____. 10.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________. 11.函数f (x )=sin2x －x 在［－2π,2 π］上的最大值为_____；最小值为____ 12.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大. 三、解答题 13.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值. 14.设y =f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x = 2 1时，f (x )的极小值为－1，求函数的解析式. 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015 天津校级模拟）设函数2 ()ln f x x x =+，则（ ） A.1 2x = 为()f x 的极小值点 B. 2x =为()f x 的极大值点 C. 1 2 x =为()f x 的极大值点 D.2x =为()f x 的极小值点 2．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和 1 3 ，则( ) A ．a －2b ＝0 B ．2a －b ＝0 C ．2a ＋b ＝0 D ．a ＋2b ＝0 3．函数y ＝2 3 x ＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．173- B ．10 3 - C ．－4 D ．643- 4．连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点 5．（2015 金家庄区校级模拟）若函数32()132x a f x x x = -++ 在区间1,43?? ??? 上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.102, 3?? ??? B. 102,3?????? C. 1017,34?? ??? D. 172,4?? ??? 6．已知函数y=―x 2―2x+3在区间[a ，2]上的最大值为 15 4 ，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32 - 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15 二、填空题 8．函数y=x+2cosx 在区间1 [ ,1]2 上的最大值是________ 。 9. 若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ _。 10．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时，tan x = 11．设函数3 ()31(R)f x ax x x =-+∈，若对于任意x ∈[－1，1]，都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为________。 2． 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则 当B 2 AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。 注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2 － 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数： 并求出相应的极值 . 2 z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 2 6x , x y x 2 z xy 2 z 2 y 2 再求函数的驻点．令 z = 0， x 得方程组 2 3x 2y 0, 2y 2x 0. 函数的极值与最值 【考纲要求】 1、掌握函数极值的定义。 2、了解函数的极值点的必要条件与充分条件、 3、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值与极小值 4、会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义, (1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 就是函数)(x f 的一个极大值,记作 )(0x f y =极大值; (2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 就是函数)(x f 的一个极小值,记作 )(0x f y =极小值、 极大值与极小值统称极值、 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点就是自变量的值,极值指的就是函数值、 要点诠释: 求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根; ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值、(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1、函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值;在开区间),(b a 内连函数的极值与最值 函数在闭区间上的最大值与最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值、如1()(0)f x x x = >、 要点诠释: ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。 2、通过导数求函数最值的的基本步骤: 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根; (3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值与)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值、 【典型例题】 类型一:利用导数解决函数的极值等问题 例1、已知函数.,33)(2 3R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程; 【解析】2 '()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=、 举一反三: 【变式1】设a 为实数,函数()22,x f x e x a x =-+∈R . (1)求()f x 的单调区间与极值; 函数的极值与最值测试 一、选择题 1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A.y ＝x 3 B.y ＝ln(－x ) C.y ＝x e －x D.y ＝x ＋2 x 2.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( ) 3.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2，0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A.1 4 B.13 C.12 D.1 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 5.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( ) 6.若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m ，0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为1 2，则m 的值为( ) A.－23 B.－32 C.23 D.32 7.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A.a >0，b <0，c >0，d >0 B.a >0，b <0，c <0，d >0 C.a <0，b <0，c >0，d >0 D.a >0，b >0，c >0，d <0 二、填空题 8.(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 9.(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝???x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________. 10.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________. 11.函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________. 三、解答题 12.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值. 13.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0) (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间； (2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 参考答案 1.解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值. 答案 D 2.解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ???? a ＋ b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 答案 D 3.解析 由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ，高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值
函数的极值与最值练习题
函数的极值与最值练习题及答案
二元函数的极值与最值
函数的极值和最值
函数的极值与最值测试