微积分课后题答案高等教育出版社

习 题 六 （A ）

1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）0d cos 20=?

x x π

（2）

x x x x d )1(2d )1(22

22

2+=+?

?

-

（3）

0d 3

1

1

=?-x x （3）x x dx x d 4

21

1

1

??

==

解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．

（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式dx x ?

-=1

1

2

等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等．

2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）x x d 2

10?与x x d 3

10? （2）x x d 2

3

1?与x x d 3

3

1

?

（2）x x d ln 4

3

?

与

x x d )(ln 2

4

3

? （4）x x d sin 2

?

π

与

x x d 2

?

π

解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2

, 0(π

范围x x

3．用定积分性质估计下列积分值 （1）x d e

2

x -1

?

（2）x x d )sin 1(24

54

+?

ππ

（3）

x x

x d 151

+?

（4）

x x

x

d sin 2

?

π

解：（1）因为2

x e -在]1 , 0[范围内的最大值为1，最小值为1-e 所以由定积分的估值定理可知：

dx dx e dx e x l 1

2

1

11

??

?

≤

≤

--

12

1

1≤≤

?--?

dx e e x

（2）因为x 2sin 1+在2

2

]

4

5

, 4

[π

π的最大值为2，最小值为1。 所以由定积分的估值定理可知：

dx dx x dx 2)sin 1(l 4

54

2

4

54

4

54

?

?

?≤+≤ππ

ππ

ππ

ππππ

2)sin 1(24

54

≤+≤

??dx x （3）设x

x x f +=

1)(5

则)

1(12)910(112x 15x

)( ' 4

5

4

x x x x x x x x f +++=++-

+= 令0)( ' =x f

则01 , 0)910(4≠+=+x x x 解得：9

10

x , 0-

==x 所以)(x f 在) , 0(∞+上单调递增

所以)(x f 在1] , 0[的最小值为0，最大值是2

2 所以由定积分的估值定理可知：

dx dx x x dx 2

2

101

51

1

?

?

?

≤

+≤

2

21051

≤

+≤

??

dx x

x

（4）由图中易知：AD

AB AB

<∧<

其中x AB sin =，x AD tan =，x AC = 即：x x x tan sin ≤≤ 亦得到：x

x x cos 1sin 1≤≤

2

0π

<

x

x

x

由定积分性质有：

dx dx x

x

xdx ?≤≤

?

?

?

1sin cos 2

2

2

π

π

π

2

sin 12

π

π

≤≤

??

?

dx x x

4．利用定积分的几何意义计算下列积分

（1）dx x 2

22

2-?- （2）dx x x )21(221--?

解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x 轴的

上方．

所以原式22

1R π=

π

=

（2）该定积分的几何意义是以1) , 1(为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x 轴的上方．所以原式22

1R π= π2

1= 5．求下列函数的导数 （1）t te

x f t x d )

(2

1

2

--?

（2）dt t x f x

e x )1ln()(2+=

?

（3）dt e x f t x x

2

3)(?

= （4）dt sin )()(330

t x t x f x

-=

?

解：（1）设?

=-)(2

t g dt te t

则m x g x g x e g x f =--=-=222

)1()(1

)

()(令 4

34

222x ' )(' g )( ' x x x e x e m m x f --===

（2）设?

=+)()1ln(2t g dt t 则m e x g e g x f x x =-=令)()()(

)ln()ln(e )( ' g ' )( ' g )( ' 22x x x e x x m m x f x +-+=-=

（3）设?

=)(2

t g dt e t

y x x 0 A B D C 1

则n m x x g x g x f ==-=x , )()()(33令

x

e x e n n m m g

f x

x 213 ' )( ' g ' )( ' (x) ' 26

-=-=

（4）设?

=-)(sin )(33t g t x t 则)0()()(g x g x f -=

0(0) ' g )( ' g )( ' =-=x x f

6．求下列极限 （1）?

→t t x x x d sin 01

lim 23

0 （2）?

→t t x

x

x d arctan 0

1lim 20 （3）

?

--+→t

t t x

x x d )11(0

1lim

2

23

（4）?

--+→t t x

x x d )1ln(0

1

1lim

20

（5）t t x

t x

x d )2sin 1(1lim

1

0+?

→ （6）2

11)1(d 1ln lim -+?

→x t t t

x

x （7）22

1

0d lim x t x

x t e ???

?

?

?

?

+∞→ （8）t e t t x x t

x

x d )(1

lim 2

2

20

-+∞→+?

（9）x

x x t

x t x

x arctan sin d e lim 2

??-

-→?

解：（1）?

→=dt t x x x 2

3

00

1

lim

dt t x x 3303

11

lim

-=→ 3

1=

（2） ?

→=tdt x

x x 0

1lim

2

021 1lim 220x x x x →=

2

1

=

（3）?---=→dt t t x

x x )sin 1tan 1(0

1lim 223

0 ?-=→dt x x x x x )cos cos 1(01lim 3

0 ?

→=dt x x x

x x sin tan 0

1

lim

3

?

→=dt x x x x 2

3

00

1

lim

31 1lim 330x t x x →= 3

1=

（4）dt t x x

x )1ln(1

1lim

20

---+=?

→

)

1()1ln(1

1lim

20

-t d t x x

x ---

-+=?

→

0)

1ln (1

1lim

20=---+=→ππx x （5）dt

t x

t x

x 1

0)2sin 1(1

lim +?

?

→

dt t t

x

x 1

)2sin 1(lim

+=?

→

洛必达法则x

x x 1)sin 1(lim 0

+→

221

)

21(lim 0

?+=→x

x x 2e =

（6）2

1

1)1(1ln lim -+?

→x dt t t

x

x

2

21ln lim 1-+=→x x x x 4

121

lim 211ln 21lim 121==-=→→x x x x x x （7）2

2

2

21

lim 1

0)ln(lim x t x

x t x

x dt e e dt e x ?

?

+∞→=???

?

??+∞→

e e

x x e

dt

e x

t

x x ==

=???+∞

→2

2

2

02

1ln 1lim

（8）2

20

1)(arctan lim

x

dt t x

x +?

+∞

→

2

2

01lim arctan)lim (x

dt

x x x

+=

+∞

→+∞→?

01lim

42

2

=+=

+∞

→x

x π

（9）

dt e t t x

x t

x

x 2

2

)(1

20

lim -+?

?

+∞

→

dt e x e t t x

t x

x 2

2

)(lim

20

?+=?

+∞

→

洛必达法则2

1)

21()(lim

2

2

2

2=

+++∞

→x x x

x e e x x

7．设)(x F 在]b , [a 上连续，且0)(>x f

t t f t t f x F x

b

x

a

d )

(1

d )()(?

?

+

=

求证：（1）2)( ' ≥x F ；

（2）)( ' x F 在]b , [a 内有且仅有一个实根．

解：证明： （1）设??

==)(1

)()(t h dt f(t)

t g dt t f f(t)

f(t)b)h x h g x g x F b h x h a g x g x F 1( ' -)( ' (a) ' -)( ' )( ' )

()()()()(+

=+=∴-+-= 又因为2)( ' , 0)(≥∴>x F t f

（2）因为b] , [a F(x)在上单调增加，又因为0)

(1

)

(1

)(<-==

?

?

de t f de t f a F b

a

a

b

0)()(>=

?

dt t f b F b

a

又因为F(x)在区间] , [b a 上连续． 所以在区间] , [b a 内紧有一个实根．

8．设)(x f 为连续函数，且存在常数a 满足

dt t f x a

x

x-)(e 1?

=

-

求)(x f 及常数a ．

解：设?

=)()(t g de e f

则)()(1x g a g x e x -=-- 对等式两边求导，得：

)(( ' )( ' 1x f x)g a g x e x -=-=--

所以11)(--=x e x f 所以

x e e a x a

e x dx e dt t

f x a x x a

x

a

x

-+-=--==

----?

?

111

11

)( 所以1=a 9．设x dt t f t x x

cos 1)()(0

-=-?，说明1)(20

=?

dx x f π

．

解：

x

dt x Q dt

t Q x

t tQ Q x Q x t tdQ Q x Q x t Q td Q x Q x dt

t tf Q x Q x dt

t f t x t Q t t f t Q x

x x x x

x

cos 1)()(0)()]0()([)

()]0()([)(()]0()([)()]0()([)()()

()( ' P , )()( ' 0

000

-==

+--=--=--=-

-=-==??

???? 即

1

2sin )(cosx

f (x)sinx Q(x)cosx -1P(0)-)P(2

===∴=∴=?

π

π

x dx x f x

10．用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分 （1）3

8

1d x

x ?

（2）

x e e x x d )(1

1

---?

（3）

dx x x e 2

1)(ln 2

?

（4）x x

x d 1arcsin 2

2

22

1-?

（5）

x x d cos 0

?

π

（6）

x x d 2

1

?

- （7）

2

1

1

4d x

x -?

- （8）

2

20

4d x x +?

（9）

x x

x x e

d ln 2

21

-?

（10）x x d tan 36

?

π

π （11）xdx 236

tan ?

π

π （12）x x x d 12

41

???

?

??

-?

（13）x d sin 212

-?

π

（14）x x d 2sin 10-?π （15）x x x x

x x d )sin (sin cos 2

24

+?

π

π （16）x x d } , 1max{23

1

?

-

解：（1）

29182

3

32

3

8

1==?

x x dx

（2）

01

1

)()(1

1

=-+=----?

x x x x e e dx e e （3）

1

)(ln 31)(ln )(ln )(ln 2

32

1

2

1

2

2

e x x d x dx x

x e e ==?

?

（4）

x xd dx x

x arcsin arcsin 1arcsin 2

22

12

2

22

1

?

?

=

-

)3616(21122

arcsin 21222ππ-==s

x

288

52

π= （5）

2sin 02sin cos cos 2cos 2

2

00

=-=-+=?

?

?

x x

x

x

x x x xdx xdx dx x π

π

（6）2

5

10210221222

1

2

1=--=

+

-=?

?

?--x x xdx xdx dx x （7）3

112arcsin

42

1

1

π

=-=-?

-x x dx

（8）

8

0222142

2

0π==

+?x arctg x dx （9）

x

xd e

x dx x x xdx dx x

x x e

e

e

e

ln ln 21

21ln 21ln 1

21

1

2

21

?

?

?

?

-=-

=-

)3(211)(ln 2

1

2)1(21222-=--=

e e x e

（10）

3ln 2

1

6

3

cos ln tan 3

6

=

-=?

π

π

π

π

x xdx （11）

dx x dx x

xdx )1(sec l cos 1tan 236

2

3

6

23

6

-=-=?

?

?π

ππ

ππ

π

12ln 2-=

)6

33(

)3

3(ππ

---= 6

332π

-=

（12）

dx x

x

dx x

x x dx x

x 1

211

2)1(

4

1

4

1

24

1

+

-

=+-=

-?

?

?

14

ln 44(x x +-=

12ln 2-=

（13）

dx x dx x dx x )21

(sin )sin 2

1(6sin 2126

02

-+-=-?

??

π

πππ

62)21

cos (06)cos 2

1(ππ

πx x x x --++= 12

13π

-

-=

（14）

dx x x dx x x dx x x dx x x

x x

x

)cos (sin )sin (cos cos sin 2sin 14

4

-+

-=

-=

-?

?

?

?

π

2

2)sin cos (0

4)cos (sin 4

=--++=x

x x x x x π

（15）

π

ππ

π

ππ

π

2244

2sin 1)sin ()sin (1)sin (sin cos 2

2

4

2

2

4

-=-

==+?

?x x x x d x x dx x x x x x （16）3

2

1013311l } x , 1max{22

3

1

11

2

3

1

=+-++=

?

??

--x x dx x dx dx

11．设t t t x f t

x

d e

)l ()(20

--=?，问x 取何值时，)(x f 取极大值或极小值．

解：设

?

)(l)e (-2t t g de t t =-

则)()()(e g x g x f -=

所以x x e x x e x x x x f 22)1()1()( ' g )( ' ----=-==

因为)( ' x f 在,0) (-∞，) , (-1 , ) , 1(∞∞--上大于0，在1) , 0(内小于0

所以)(x f 在), (1 , 0) , (+∞-∞上单调递增，在1) , 0(内单调递增． 所以当0x =时，f (x)取极大值，1x =时，f (x)取极小值。

12．设

x

x x I x

x x I x x x

x I d )cos (sin d )cos (sin d cos 1sin 522

322

222

2

2

1-=

+=

+=

???

-

-

-

π

π

π

π

π

π

比较321 ，I ，I I 的大小．

解：

22122sin cos 1x

I xdx x π

π

-=+?

0=

222

(sin cos )I x x dx

π

π-=+?

2=

5232

(sin I x dx

π

π-=?

22

π

π-=?

22

cos 0

π

π

-

>

?

22

π

π-∴

312

I I I ∴<<

13．用换元积分法计算下列各定积分 （1）

x x

x d cos 1sin 2

+?

π

（2）

x

x e

1d 3

ln 0

+?

（3）

x

x e ln 1d 2

1

+?

（4）

3

21

)1(d x x +?

（5）

x x

x d 1

22

1

-?

（6）x x a x a

d 2220

-?

（7）

2

3

1

1d x

x x +?

（8）

x x x

x

d e

e e 1

-+?

（9）

x x d )cos tan(ln 4

?

π

（10）

x x

x d 2

ln 36

e e -? （11）x x x x ln )ln 1(d e e +?

（12）

x x d sin 920

?

π

（13）1

d 2

2

22

-?

x x

x （14）

x x x x d 5

232

1

1+++?

-

解：（1）x d x

x

cos cos 1120

+-

=

?

0)arctan(cos x x -=

2

π

=

（2）令t e x =+1 则)1ln(2-=t x

3ln =x ，时2=t ；0=x ，时2=t dt t 1

12

2

22

-=?

2

211

ln

+-=x x )]12ln(23[ln -+-=

（3）=

x

x dx e ln 12

1

+?

1

ln 12sin sin 2

20

e x

xdx x xdx x +=-

=

??

π

π

π

232-=

（4）232232)

1(3

20

113x dx x

x +

+

+

=

?

0121)1(32012

3)

1(322x dx x x

+++=

2

2

= （5）dx x x 1

22

1

-=

?

1

2

1arccos

1

212x x --=

3

3π

-

=

（6）0

arcsin

80

)2(8

42222a

a x a a x a a x x +--= 4416

160a a π

π

=

+

=

（7）令t x tan =，则积分区域为

4π到3

π

． t

t dt

t x

dx sec tan )(sec 123

4

2

3

1

??++?

?

π

π

t

t

d t dt 23

4

3

4

cos 1cos sin --==?

?

π

ππ

π

6

ln 2

1

)22ln()22(3ln 2

1

)22ln(214

3)

cos 1ln(2143)cos 1ln(2

1cos 1cos 21cos 1)cos (2134

34

-+=--+=+--=

+---??=?

?

ππ

ππ

π

πππt t t

t d t t d

（８）令t e x =

2

11ln

11ln 11112221

1

1

+++=??????++=+=

+=

+?

?

?

-e e e x x dt t dt t t

t t

dx e e e e

e

x

x x

（9）

（10）令x t ln =则t e x =

14

16)23(92

232

ln 32

3

6

1

6

=-=-=-?

?

t dt

t dx x

x e e

（11）令t x =ln ,则积分上下限变为2

1

与1.

t

t dt

x

x x dx e e

)1(ln )ln 1(1

2

1+=

+?

?

令x t 2sin =积分上下限为:2

,4π

π

3

122ln

2

32

221ln

4

2

1sin ln(sin sin 1sin 2sin sin 1sin sin 2222

4

22

4

++=++=++=+=?+?

?

π

π

π

ππ

π

x x x

x d x

x x xd

（12）

xdx 920

sin ?

π

cos )1cos 4cos

6cos 4(cos cos )cos 1(24

6

8

2

4

2

20=+-+--

---

=??x d x x x d x ππ

（13）令a x 32sec =则a a dx tan sec ?=

2

234

3

sin cos tan sec tan sec 1

34

23

4

2222

-=

+=+=???=-?

?

?

ππ

π

ππ

πa ada a

da a a x x dx

（14）令a x =+1

ππ412ln 21)04(2ln 210

22arctan 2ln 214

2

2ln 2

1

4

24

)4(2

1425

232

2

2

2

2

22

022

02

1

1+=-+=

+=++=

++

++=++=+++?

?

?

??

-a da

a da

a a a d da a a dx x x x

14．用分部积分法计算下列各定积分 （1）

x e x x d 21

0-?

（2）

x e

x x x

d )(1

1

--+?

（3）

x x x e d )1ln(1

+?

-

（4）

x x e

d )(ln 3

1

? （5）x x e

e

d ln 1

?

（6）

x x x d sin 2

?

π

（7）

x x x d arctan 1

?

（8）

x x x e e

d )

1(ln 2

2

-?

（9）x x e

x

d )34(21

+?

（10）x e x x d 2

32

ln 0-?

（11）

x x x d sin 20

?

π

（12）

x x x d )sin(ln 2

e 1

2

?

π

（13）x x x x d arcsin 122

1

-?

（14）

x x

x d ln 2

1

e e ?

-

解：（1）x

de

x -?=

21

xdx e e

x x x

20

1

(1

2--?

-=

)2(1

1

x

xdx

e --?+

-=

)0

122(11x e e e ---++-= )223(11-+-=--e e 152--=e （2）dx e

x x dx e x x x

x

--++-=??)()(1

01

x xde -?

=21

dx e xe

x x 20

1

2(1

--?

-

-=

)0

122(1x e e --+-= )222(11-+-=--e e 142--=e （3）=

21

)1ln(2

1dx x e +?

-

dx x x e x x e 1

1

1

)1ln((212

1

2+--+=?

- （4）dx x

x x e x x e

1ln 31

)(ln 1

3?

-=

xdx e e

ln 31

?-

=

dx x

x e x x e e

1

1

ln (31

?

-

-= )]1([3---=e e e 3-=e

（5）dx x

x e x x dx x

x e x x e

e

1

1ln )1

11

ln (1

1

1?

?

-

+-

-= )1()]11(1[--+----=e e e

e

11+= 2=

（6）x xd cos 2

?

-

=π

)cos 0

2cos (2

xdx x

x ?

-

-=π

π

sin x x

π= 1= （7）21

arctan 2

1xdx ?

=

)1101arctan (2

122

1

2

dx x x x x +-

=

?

)]1101(4

[212

dx x x +-

-=?

π

] 01arctan 14[21x +-=π

2

1

4

-

=

π

（8）)

1(1

ln 2

--

=?

x xd

e e

]1ln )1(1[ln 2

2e e x x e e x x ----=

e e

e +-

+=1)1ln( （9）x

de

x 21

)34(2

1+=

?

]40

1)34[(2121

3dx e e x x x --

+=?

)0

12

1437(2

122x e e --= )]1(237[2

122---=e e

)15(2

12-=e

（10）2

22

ln 0

2

1

x de x -?

-

=

]20

2ln [2

12

2

ln 0

2

2dx xe e x x x

--?

-

--=

]2[ln 2

12

2

ln 02ln x de e --?

+

=

]0

2ln 2ln 21[212

x

e -+-=

]12ln 2

1[212ln -+-=-e ]2

12ln 2

1[21--= )12(ln 41--= （11）xdx x xdx x sin sin 20

??

-

=

π

π

π

)cos 2cos ()cos 0

cos (20

xdx x

x xdx x x ??

-

+-

-=π

π

π

π

π

π

π4= （12）

)11(2

11)ln cos 1

ln sin 1(211ln sin 11ln cos 1

1ln sin 11

ln cos 1

ln sin 1

1ln cos 11ln sin 1

1ln sin ln sin 2

2

2

1

222

1

22

1

22

2

1

2

ππ

π

π

ππ

π

π

π

π

π

e e x x

x x dx x

x x e x x

e x x x

d

x e x x

dx x

x x e x x

x

xd

dx x x e -=

+-∴=?+

--=?-

-=??+

?-=-

=?

?

?

?

?

（13）

?

?

?

?=

-+

=???

??

??

??--?--

?--=-???-?=

-1

22

12

2321

2

322

3

21

21

9

4)1(3

2)1()1(01arcsin )1(32)1(arcsin 3

2

)1(arcsin 12dx x dx x x x x x d x xdx

x x

（14）

?

-2

1

ln e e dx

x

x

2

1212

12

121102

1

21022

12

1682

22

412

ln 212

ln 2ln

2

1

2

00

1

2

2

1

-

--

-

-+-=+-??-=?+-=??-??=?=?

?

?

?

?

--+-e dx

x

e

dx x

e dx x x e

e x x dx x

x e e x x

dx e e e e e e e e x

e e

15．利用函数奇偶性计算下列积分

（1）x x x x d )1ln(sin 2

23

3

++?

-

π

π （2）x e

x

x d )21

11

(

212

1

1

-+-?

- （3）x x x d arccos cos 1

1

?

-

解：（1）设)1ln(sin )(22x x x x f ++= 则)1ln(sin )(22x x x x f ++-=-

)]ln()1[ln(sin )()(222+++++-=+-x x x x x x f x f

0)1ln(sin 222=-+=x x x

所以)(x f 为奇函数

因为)(x f ）在（-3，3）上连续且为奇函数，所以原式等于0； （2）设)2111

(

21)(2

-+-=

x e x x f )2

111

(

21)(2-+-=-=-x

e x x

f 0)11111(

21)()(2

=-++

+-=

-+=-x

x

e

e

x

x f x f

所以)(x f 为奇函数且)(x f 在（-1，1）上连续。

所以原式等于0； （3）设

dx dx dx 4)4()5(5

4

3

4

4

5

??

?

+-+

-----

因为)(arccos cos )(x f x x x f ==- 所以)(x f 为偶函数。

xdx x arccos cos 2

1

?

=

16．求dx x )(200

??

，其中)(x ?是x 到离它最近的整数的距离．

解：200])1([

1

2

12

10

?-+

?

?

dx x xdx

]2002

11)2

1

(02121[22x x x -+= 50=

17．求x x d ][5

5

?

-，其中][x 是不超过x 的最大整数，简称“取整”．

解：dx dx dx 4)4()5(5

4

3

4

4

5

??

?

+

+-+

-=

----

4312345++-----=

5-=

18．设函数)(x f ，)(x g 在) , (∞+-∞上连续，且满足等式

x x g x x f d )(3)(2

2?

+

=，x x f x x x g d )(3)(2

2

3?

+-=

求)()(x g x f +的极小值点． 解：令

C dx x f =?

)(1

（C 为常数）

则233)(Cx x x g +-=

02)4

1

()(342

Cx x dx x g +-=∴

?

C 84+-=

483)(2-+=∴C x x f

C x Cx x dx x f =-+=∴

?

2

)48()(32

即：C C =-+8168

0=∴C

3243)()(x x x g x f --=+∴ 03-6 )]'()([2==+∴x x x g x f

0=∴x 或2=x

当0=x 时4)]()([min -=+x g x f 当2=x 时0)]()([max =+x g x f

∴当0=x 时取极小值。

19．求下列定积分 （1）

x x x x d )

1(arcsin 214

1-?

（2）

x x d )1ln(1

+?

（3）

x x d )tan 1ln(4

+?

π

解：（1）dx x x x )

1(arcsin 2141-=

?

x d x

x -=?

1arcsin 2

2141

x d x arcsin arcsin 2

214

1?

=

4

121arcsin 2

x = 2144

5π= （2）2

1=

（3）4

121arcsin 2ln 8

2

x ==

π

20．设)0(d )

1ln()(1

>+=?

x t t t x f x

，求)1()(x

f x f +．

解：x 2ln 2

1=

21．求下列无穷限积分

（1）)(1d 21x x x +?

+∞

（2）

x

x

x -+∞

+?

21

e

e d （3）

2

d 2

2

-+?

+∞

x x x

（4）x x x d e

2

30

-+∞

?

（5）

x x x

d )1(30

+?

+∞

（6）x x x d arctan 2

1

?

+∞

（7）x x x x d )

e 1(e 2

--+∞

+?

（8）

x x x n d e 20

-++∞

?

解：（1）2ln 2

1= （2）14-=

e π

（3）2ln 32= （4）21= （5）2

1= （6）2ln 2

1

4

+

=

π

（7）2ln = （8）)!2(+=n

22．已知x x a x a x x a

x

x d -e 4lim 22?

+∞

∞→=

??

?

??+-，求常数a 之值．

解：0=a 或1=a

23．求下列瑕积分 （1）

x x d ln 21

?

（2）

x x

x d 12

1

1

-?

- （3）

x -1x)-(2d 1

0x ? （4）

x

x -?

5d 5

1

（5）

2

1

(lnx)

-1x d x e

?

（6）

1

d 2

1-?

x x x （7）

x x

x

d arccos 1

?

（8）

1

d 2

2

1

-?

x x x

解：（1）2= （2）0= （3）2

π

=

（4）3

44= （5）2

π

= （6）2

π

=