知识讲解_微积分基本定理
微积分基本定理 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。 2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 （1）导数和定积分的直观关系： 如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？ 一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有： ()d b a v t t =? s （b ）－s （a ） （2）导数和定积分的直观关系的推证： 上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下： 如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间： [t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图，可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在 区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。 一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理： 一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b a F x ，即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有 界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、 高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ
微积分大一基础知识经典讲解
Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 高中微积分知识点总结
微积分（下）知识点总结 6月26日 马上就要进入期末考试了，本学期的推送也将告一段落了，希望同学们期末考试能有个好成绩，现将本学期所做的推送归纳一下。 微积分（下）的主要知识点和考点归纳如下： 第6章定积分及其应用 1、定积分的计算（换元积分法、分部积分法、定积分的对称性问题）； 2、定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）； 3、反常积分（无穷区间上的反常积分、无界函数的反常积分）。 第7章多元函数微分学 1、空间解析几何基础（空间两点间的距离、平面方程：一般方程、截距式方程特殊的平面方程、球面方程）； 2、多元函数的概念（二元函数的极限、二元函数的连续性）； 3、偏导数（偏导数的定义、偏导数的计算、偏导数存在与函数连续性的关系、高阶偏导数）； 4、全微分及其应用（全微分的定义、全微分的计算、可微与连续，偏导数存在之间的关系）； 5、多元复合函数的微分法； 6、多元函数的极值（二元函数的极值、二元函数的最值、条件极值）。 第8章二重积分 1、二重积分的几何意义； 2、二重积分的性质； 3、二重积分的计算（在直角坐标系中计算二重积分、交换积分次序、在极坐标中计算二重积分）。 第9章无穷级数 1、常数项级数的概念和性质（常数项级数收敛与发散的定义、常数项级数的性质、级数收敛的必要条件）； 2、三类常用的级数（等比级数、调和级数、p级数）； 3、正项级数及其审敛法（比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法、根值判别法）； 4、任意项级数（交错级数及其莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛）； 5、幂级数（求幂级数的收敛半径及收敛域、求幂级数的和函数）； 6、函数展开成幂级数（常用的函数的幂级数展开式、间接展开法）。 第10章微分方程 1、微分方程的基本概念（微分方程的阶数、验证函数是微分方程的解）； 2、可分离变量的微分方程； 3、齐次方程； 4、一阶线性微分方程及其常数变易法； 5、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构及求解方法。 §6.3定积分的换元积分法和分部积分法知识点； §6.4 定积分的应用知识点； §6.5 反常积分的知识点； 第6章定积分及其应用练习题及答案；
(完整版)高等数学(下)知识点总结
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
定积分与微积分基本定理1
第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2 －2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1 2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1 2g B ．g C.32 g D ．2g 3．(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x －a )d x ＝∫π 40cos 2x d x ，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2 －1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 －1|d x B.???? ??02(x 2 －1)d x C.??0 2(x 2 －1)d x D.??01(x 2 －1)d x ＋??1 2(1－x 2 )d x
5．(2016·天津蓟县期中)由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2－x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C ．π D ．2π 7．(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 －2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．若函数f (x )，g (x )满足? ?1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组 正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2 . 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2016·江西高安二中段考)已知? ?a －a(sin x ＋3x 2 )d x ＝16，则正实数a 的值为________． 10．(2017·德州月考)如图，已知点A ? ?? ??0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2 上，若阴影 部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________. 11．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2 ＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ；力的单位：N)． 12．(2016·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2 ，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝1 2和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为 ________.
(完整)高中微积分基本知识
高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1． 数列 定义： 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1,,,n x x K L 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念： 一个数列{}n x ，若0M ?>，..s t 对*n N ?∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ?∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界 {}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界 2． 数列极限的概念 定义： 设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对?0ε>，总?N ,..s t 当n N >时，有 n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞ =或()n x a n →→∞ 数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义： 从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3． 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系?数列大小关系（n N >时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形 ①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0ε?>， 0δ?>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有 极限A 记作0 lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
大学微积分l知识点总结(一)
大学微积分I 知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式: 2 2 a b 2ab 3 abc c 3 3abc a b a 2 b 2 2 ' 2 当且仅当，a i b i 为常数，i 1,2,3...n 时取等号 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若 f (X+a ) =± f (X+b )，则 f (x )具有周期性；若 f (a+X )=± f (b-X )，则 f ( X )具有对 称性。 双向不等式: 扩展：若有y -b b 两侧均在ab > 0或ab < 0时取等号 且x 1 n 则的最大值为：Xl X2 ... X n n x 1 ?X 2?...?X n , X 2 ... x n p p 为常数 柯西不等式: ^设 a i 、a 2、...a n ， b i 、 b 2、..?b n 均是实数，则有: a 〔 b-] a 2 2 2 2 a n b n a i a 2 2 2 2 ... a n b| b ? bn 2 a i a 2??? a n n n
口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性 (1) 若f (x+a) =f (b+x)，贝U T=|b-a| (2) 若f (x+a) =-f (b+x)，则T=2|b-a| (3) 若f (x+a) =± 1/f (x),贝U T=2a (4) 若f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x)】，则T=2a (5) 若f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x)】，则T=4a 3、对称性 (1) 若f (a+x) =f (b-x)，贝U f (x)的对称轴为x= (a+b) /2 (2) 若f (a+x) =-f (b-x) +c，则f (x)的图像关于((a+b) /2，c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 (1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| 。 (2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a，0)和(b，0)，(a^b)，则f (x) 必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| (3) 若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心 则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a| 3、三角函数 正弦sin 余弦cos 十「十n 正切tan b，0) ，( a^ b)，
