Jensen不等式在数学上的应用
初一下数学不等式应用题汇总[1]
初一下数学不等式应用题汇总 例1、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 首先考虑一下： 甲商店优惠方案的起点为购物款达元后； 乙商店优惠方案的起点为购物款达元后 （1）现在有4个人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，那么去哪家商店更合算？为什么？ （2）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？（3）累计购物超过100元而不到150元时，在哪个店购物花费小？累计购物恰好是150元时，在哪个店购物花费小？ （4）根据甲乙商店的销售方案，顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？你能为消费者设计一套方案吗？ 解：设累计购物Ｘ元（Ｘ＞１００），如果在甲店购物花费小，则 50+0.95(X-50)>100+0.9(X-100) 得 X>150 答:累计购物超过150元时在甲店购物花费小 例2、某班同学外出春游，需拍照合影留念；若一张底片需0.57元，冲印一张需0.35元，每人预定得到一张而且出钱不超过0.45元，问参加合影的同学至少有几人？ 答案（不是唯一的，仅作参考）及评分标准： 解：设参加合影的同学至少有X人，根据题意，得：………1分 0.57 + 0.35 X ≧ 0.45X……… 2分 解这个不等式，得：X≧5.7 因为参加的人数只能是整数,所以参加的人数至少是6人。……… 1分 答：参加合影的同学至少有6人。……… 1分 例3、某服装厂现有A种布料70米、B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需要用A种布料0．6米、B种布料0．9 米，可获利润45元，做一套N型号的时装需要用A种布 料1．1米、B种布料0．4米，可获利润50元，请你设 计最佳方案。 分析：我们可以将问题转化为一元一次不等式组 的问题来求解。 (参考解：设生产N型号的时装套数为x，用这批 布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元，根 据题意 0.6(80-x)+1.1x≤70, 0.9(80-x)+0.4x≤52 ∴40≤x≤44； ∵x的取值范围是40、41、42、43、44，又 y=50x+45(80-x)，即y=5x+3600。 由观察知：当x=44时，y有最大值，最大值为 5x44+3600=3820，即当N型号的时装为44套时，所获利 润最大，最大利润为3820元 例4、某学校需刻录一批教学用的VCD光盘，若电脑公 司刻录，每张需9元(包括空白VCD光盘费)；若学校自 刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元(包括 空白VCD光盘费)。问刻录这批VCD光盘，到电脑公司刻 录费用省，还是自刻费用省?请说明理由。 教师：同学们仍然分组讨论交流。 设需刻录x张VCD光盘，则到电脑公司刻录需9x元， 自刻需要(120+4x)元。 当9x>120+4x时，即x>24时，自刻费用省。 当9x=120+4x时，即x=24时，到电脑公司与自刻费 用一样。 当9x<120+4x时，即x<24时，到电脑公司刻录费用 省。 例5、一个长方形足球场的长为xm，宽为70m；如果它 的周长大于350m，面积小于75602 m，求x的取值范围， 并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛o (注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之 间，宽在64m到75m之间) 参考解：依据长方形的周长和面积公式，得 2(x+70)>350，① 70x < 7560 ② 解：①得x>105，解②得x<108． ∴105 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用 拉格朗日MJ 兰三中 摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。 关键词：cauchy不等式、radon不等式。 一、不等式的引入 数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。其中不等式的学习也变得尤为重要。近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。 二、不等式在数学问题中求解的重要性 不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。 不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。高等数学中又接触了各式各样的“穿马甲”的不等式。从数学分析到初等数学研究，从竞赛数学到相似微积分，我们都能看到不等式的身影。其中较常用的不等式有均值不等式、Jensen不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Radon 不等式、伯努利不等式、young不等式、加权幂平均不等式等等。 不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen不等式、Cauchy 不等式、Radon不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon不等式则是指数函数的Jensen不等式的特例而已。利用凸函数的jensen不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。 一元一次不等式应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 一．分配问题： 1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 2 .把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？ 3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 4．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？ 5. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 （1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 二速度、时间问题 1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？ 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 学生姓名陈 年级初一 授课时间2012.6 .2 教师姓名刘 课时 2 不等式易错题、难题集合 （注意：运用不等式的性质是解题的关键！ ！ ！ ！ ！ ！不等式的性质切记！ !!!!!!!） -，选择题 1.下列不等式一定成立的是（） A.5a >4a B.X +2 v X +3 C. — a >— 2a D.- a 2. 右一a >a ,贝U a 必为（） A.正整数B .负整数C .正数D .负数 3. 若a > b ,则下列不等式一定成立的是（ ） b a A . <1 B. >1 C.-a>-b D.a-b>0 a b 4. 若a — b v 0,则下列各式中一定正确的是（ ） a <0 D . b A. a >b B . ab>0 C —a >— b 5.如果b A.- a 那么 1 1 b 6. 若果 x-y>x,x+y>y A.0 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法 ●教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程： 一、复习引入： 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？ 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课： 1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：例1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明） 解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。 （2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：例2、已知且，求证：分析：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为的乘积，问题就能得到解决。 2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是：②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。 例3．求证：分析：观察结构特点，可以利用分析法。 点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法. ③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综 一元一次不等式应用题专项练习 1．某校两名教师带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司优惠条件是1名教师全额收费，其余折收费；乙公司的优惠条件是全部师生8折收费．试问：当学生人数超过多少人时，甲旅游公司比乙旅游 公司更优惠 2．有人问一位老师：“您所教的班级有多少名学生”老师说一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一 的学生在学外语，还剩不足6位学生在玩足球．”求这个班有多少位学生 3．某工程队要招聘甲、乙两种工人150人，甲、乙两种工种的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人 数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付工资最少 4．某商店以每辆300元的进价购入200辆自行车，并以每辆400元的价格销售．两个月后自行车的销售款已超过这批 自行车的进货款，问这时至少已售出多少辆自行车 5．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：（1）用含x的代数式表示m； （2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数． 6．某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地．已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是Skm，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费用外，其他收取的费用和有关运输资料由表列出： 运输工具行驶速度（km/h）运输单价（元/t．km）装卸费用 汽车5023000 火车804620 （1）分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1元和y2元（用含S的式子表示）； （2）为减少费用，当s=100km时，你认为果品公司应该选择哪一家运输单位更为合算 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 2.3不等式的证明（2）——分析法与综合法习题 知能目标锁定 1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式; 2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法; 重点难点透视 1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点. 方法指导 1. 分析法 ⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”. ⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ????? 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆. ⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法 ⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件 B B B B A n ????? 21(结论),后一步是前一步的必要条件. ⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式. 一.夯实双基 1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b A.= B. < C.> D.不能确定 2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是（ ） A.0 lg >b a B.a b a b ->- C. a a a a ++< +211 D. 1 1++< a b a b 3.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,那么 c b a 111+ + 有最小值( ) A.6 B.9 C.4 D.3 4.设2 6,37,2-=-== c b a ,那么a,b,c 的大小关系是（ ） c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>. 5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A. 2 y x + B. y x xy +2 C.xy D. )11(21y x + 二.循序厚积 6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m y x ≥+ 41恒成立的实数m 的取值范 围是________; 7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________; 9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b a n b a m b a -= - = >>,,0若,则m 与n 的大小关系是______. 三、提升能力 11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证：(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12.设x>0,y>0,求证: 2 2 y x y x +≤ + 13.已知a,b + ∈R ,且a+b=1,求证：2 25)1()1(2 2 ≥ + ++ b b a a . 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等 号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2 ＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a )2·( c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4c d ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜3 1ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2ab ，显然矛盾． 三角形不等式的应用举例 根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用. 类型一：证明形如a b c +>型的不等式 例1、已知x y z 、、 > 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理： == 又OA OB OC,+>所以原不等式成立. 例2、已知x y z 、、 > 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,， 则BC C A == 又AB BC C,A +>所以原不等式成立. 类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式 例3、已知x y z 、、 y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形， ).BC CD AB x y z =++≥++ D A x y z x y z 类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式 例4、设01,01x y <<<<求证： ≥ 证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部. 由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立. 应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等. 例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥ 分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝ 这个条件进行化简. 证明：2, 只要证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++x 即证22[()2]x y xy x y +-+++ 注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++ 即证14,xy ≥+ 即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++ 即证287,xy -≥-1,4 xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14 xy ≤成立. 所以原不等式成立. 如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式： 证明：左边== 七年级数学下册-一元一次不等式应用题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 一元一次不等式应用题 【典型例题】 1. 有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，这个两位数在30～50之间，求这个两位数。 解：设这个两位数的个位数字为x ，依题得： ∵x 为正整数或0，符合条件的为x=1，2，相对应的十位数字为3，4。 所以这个两位数可为31，42。 2. （实际问题）某市出租车的起价为 7元，达到5km 时，每增加1km 加价 1.20元。（不足1km 部分按1km 计算），现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付 17.8元的车费，从甲地到乙地的路程大约为多少？ 分析：根据已知甲到乙地的路程一定大于5km ，因为17.8元>7元， 设甲地到乙地的路程为xkm ，则有 解：设甲地到乙地的路程为xkm ，依题得 3、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。这些书有多少本？学生有多少人？ 设学生有x 人，则书有（3x+8）本，所以0〈3x+8-5（x-1）〈3，5〈x 〈6。5。又x 为正整数，所以x=6，所以3x+8=26。 4. 每期《初中生》发下来后，小刚都认真阅读，他如果每天读5页，9 天读不完，第10 天剩不足 5页，如果他每天读23页，那么2天读不完，第3天剩不足23页，试问《初中生》每期有多少页？（页数为偶数） 分析：“读不完”指的是有一部分未读，“不足”指的是“少于”的意思。 解：设《初中生》每期有x 页，依题意得 南化一中高三数学第一轮复习讲义55 第六章《不等式》 1 §6.2综合法和分析法证明不等式 【复习目标】 1． 熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式； 2． 理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式； 3． 对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。 【重点难点】 综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。 【课前预习】 1. “a>1”是“11 第55课：§6.2综合法和分析法证明不等式 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 - - 2 例2 已知a>0，b>0，2c>a+b. 求证：c －ab c -2 不等式的应用（1） 李柳娇 一、教材分析 跟前面第三章“一元一次方程”和第八章“二元一次方程组”一样，本章“不等式与不等式组”安排了一些有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料，实际问题贯穿全章，对不等式的概念及其应用的讨论，都是在建立和运用不等式这种数学模型的过程中进行的。 不等式式刻画不等关系的重要模型，本节安排了两个例题，重点说明如何根据实际问题列不等式，使学生经历建立一元一次不等式这样的数学模型，并应用它解决实际问题。 二、学情分析 学生有了列方程解决实际问题的基础，不难通过类比学习，把所学知识迁移到不等式的学习中，总结归纳出用不等式解决实际问题的几个步骤： （1）弄清题意； （2）设立未知数，并用未知数表示相应的量； （3）找出题中的不等关系（不等关系的给出一般以“少于”、“至多”、“至少”、“不大于”、“不少于”、“不超过”等等词语作为标志），列出不等式； （4）解不等式； （5）根据实际问题写出符合题意的解并作答。 虽然列方程与列不等式解决实际问题的步骤大致相同，但作为七年级的学生对于用不等式建立数学模型来解决实际问题，容易出现的认知困难主要是： 第一设立未知数时，一般不含表示“不等关系”的词语。 例如：教材第124页例2问明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？设元时，设明年空气质量良好的天数比去年增加了x，并不出现“至少”这一词。假如设明年空气质量良好的天数比去年至少要增加x，则列不等式就不合理了。 第二需按题意作答。 例如：例1中，列出不等时，求解得5.36 x，回答时需考虑到大 于36.5的整数，明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37。 第三找出问题中蕴含的不等关系，并会正确使用不等号列出不等式。 三、教学目标 （1）知识目标：帮助学生从实际问题中抽象出数学问题，根据数量关系建立一元一次不等式进行求解，体会数学模型的思想。 （2）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，综合归纳整理的能力，以及理论联系实际的能力。 （3）情感目标：①培养学生敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气；②鼓励学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；③培养学生学数学、用数学、爱数学的情怀。高中不等式的证明方法
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2、综合法和分析法证明不等式
人教版初一数学下册不等式的应用(1)[001]